2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式+課件【知識(shí)精研提升】高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

新課引入大家還記得二次函數(shù)與一元二次方程的內(nèi)容嗎?二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)

的圖象及性質(zhì)：如何求解交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?借助一元二次方程：

ax2+bx+c=0(a≠0),當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：當(dāng)△<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)根.二次函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c,

我們把使ax2+bx+c=0

的實(shí)數(shù)x

叫做二次函數(shù)的零點(diǎn).當(dāng)△>0時(shí)，二次函數(shù)的零點(diǎn)為

當(dāng)△=0時(shí)，二次函數(shù)的零點(diǎn)為

當(dāng)△<0時(shí)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn).何為一元二次不等式呢?引例：我家里有一塊空地，根據(jù)它的大小我買了一段24

米長(zhǎng)的柵欄.我想用這段柵欄圍成一個(gè)面積大于20平方米的矩形苗圃

.設(shè)該矩形的一邊長(zhǎng)為a

米，請(qǐng)你確定實(shí)數(shù)a

可以取哪些值?a12-aa(12-a)>200<a<12嘗試一：觀察這個(gè)不等式的形式，左側(cè)是兩個(gè)因式a

與(12-

a)

相乘的形式，我們能否利用這個(gè)特征來(lái)解呢?20可以分解為20=4×5=2×10

=1×20,顯然，a34612-a986沒什么

有用的規(guī)律.嘗試二：有些同學(xué)注意到a>0

且

1

2

-a>0

這個(gè)特征，運(yùn)用不等式同解原理，兩側(cè)同時(shí)除以a或者12-a,

轉(zhuǎn)化為：

或

)仍然不能求解!新課講授a(12-a)>20整理為

a2-12a+20<0,按照方程和不等式的命名規(guī)則，我們應(yīng)該稱它為一元二次不等式!ax2+bx+c>0

或ax2+bx+c<0,還包括

ax2+bx+c≥0

或

ax2+bx+c≤0,其中，

a,b,c

為常數(shù)，其中a≠0

.定義：我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，它的一般形式是：一次函數(shù)：

y=12x+20;一元一次不等式：

12

x+20<0.一元二次不等式：二次函數(shù)：

ya2-12a+20<0;=x2-12x+20.首先，

a2-12a+20<0

就是二次函數(shù)值

y<0.二次函數(shù)y

=x2-12x+20.用一元二次方程a2-

12a+20=0

來(lái)解出邊界值.計(jì)算判別式△=(-

12)2-4×1×20=64>0,求根公式：

,

所以邊界值為：

a?=2,a?=10,所以不等式的解集為{a

|2<a<10}.答：這個(gè)矩形苗圃的邊長(zhǎng)a

取大于2且小于10的數(shù)時(shí)，苗圃的面積會(huì)大于20平方米。例1.求解下列關(guān)于x

的一元二次不等式：(1)x2-5x+6>0;

(2)2x-x2+3<0.(1)解：設(shè)二次函數(shù)y=x2-5x+6,

其圖象開口向上，解一元二次方程x2-5x+6=0,得到二次函數(shù)的零點(diǎn)：

x?=2,x?=10,看函數(shù)的圖象，得到不等式的解集為{x

|x>3

或x<2}(2)2x-x2+3<0.(2)解：整理為

一般式-x

2+2x+3<0,法一：設(shè)二次函數(shù)y=-x2+2x+3,

其圖象開口向下，解一元二次方程-x2+2x+3=0,得到二次函數(shù)的零點(diǎn)：

x?=-1,x?=3,看函數(shù)的圖象，得到不等式的解集為x

|x>3

或x<-1

(2)2x-x2+3<0.(2)解：整理為一般式-x2+2x+3<0,

法二：整理為一般式x2-2x-3<0,二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎?，不等?hào)變?yōu)椤?gt;”號(hào).設(shè)二次函數(shù)y=x2-2x-3,

其圖象開口向上.解方程x2-2x-3=0,得到xi=-

1,x?=3,得到不等式的解集為

{二次函數(shù)：

y=ax2+bx+c(a≠0);一元二次方程：

ax2+bx+c=0(a≠0);一元二次不等式：ax2+bx+c>0

或

ax2+bx+c<0(a≠0).方程與不等式合在一起解決了自變量取何值時(shí)函數(shù)值為正、為零、為負(fù)的問(wèn)題!一元二次不等式的解法：ax2+bx+c>0

或

ax2+bx+c<0(a>0).第一步，設(shè)二次函數(shù)y

=ax2+bx+c(a>0),

開口向上.第二步，解一元二次方程ax2+bx+c=0,得到二次函數(shù)的零點(diǎn).△<0時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，函數(shù)無(wú)零點(diǎn).△>0△=0時(shí)

，時(shí)，))判別式△-b2-4ac△>0△=0A<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象x;

0

X?一元二次方程ax2+bx+c=0的根(不妨設(shè)x?<x?)無(wú)實(shí)根ax2+bx+c>0的解集Rax2+bx+c<0的解集のの一元二次不等式ax2+bx+c>0

或ax2+bx+c<0(a>0).練習(xí)求解下列關(guān)于x

的一

元二次不等式：(1)9x2-6x+1>0;(2)x2-2x+3>0.(1)解：設(shè)二次函數(shù)y

=9x2-6x+1,其圖象開口向上，△=36-4×9=0,零點(diǎn)為x=觀察函數(shù)圖象，得到不等式的解集為練習(xí)求解下列關(guān)于x

的一元二次不等式：(1)9x2-6x+1>0;(2)x2-2x+3>0.(2)解：設(shè)二次函數(shù)y

=x2-2x+3,其圖象開口向上，△=4-4×3<0,

無(wú)零點(diǎn).觀察函數(shù)圖象，得到不等式的解集為{x|x

∈R}.類比：

一次函數(shù)、

一元一次方程、

一元一次不等式這三者的關(guān)系!一次函數(shù)：

y=ax+b(a≠0);一元一次方程：

ax+b=0(a≠0);一元一次不等式：

ax+b>0

或

ax+b<0(a≠0).同種類型的函數(shù)、方程、不等式之間存在著緊密的聯(lián)系，數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，有完整而又嚴(yán)