第二章有導體時的靜電場

1

第2章

有導體時的靜電場2第2章有導體時的靜電場目錄§1靜電場中的導體§2封閉金屬殼內(nèi)外的靜電場§3電容器及電容§4靜電演示儀器§5帶電體系的靜電能量3

以靜電場基本規(guī)律為依據(jù)，討論有導體存在時對靜電場的影響。靜電場中放入導體后，導體和電場相互影響，相互制約,經(jīng)歷一個極短暫的時間，達到平衡狀態(tài)。我們研究的前提：假定導體在電場作用下已處于平衡，結(jié)合基本規(guī)律分析，解決問題。4電場的基本性質(zhì)方程仍是本章研究的問題仍然是靜電場場量仍是電場強度和電勢5§1靜電場中的導體一、導體和絕緣體1.導體存在大量的可自由移動的電荷2.絕緣體理論上認為無自由移動的電荷也稱電介質(zhì)3.半導體介于上述兩者之間本章討論金屬導體對場的影響6二、導體的靜電平衡1．

靜電感應(yīng)+++++++++感應(yīng)電荷7++++++++++++8++++++++導體內(nèi)電場強度外電場強度感應(yīng)電荷電場強度9定義：

導體內(nèi)部和表面都沒有電荷作宏觀定向運動的狀態(tài)。2、靜電平衡：電荷不動3、靜電平衡條件：導體內(nèi)部任何一點處的電場強度為零10注意：（1）“點”指導體內(nèi)部宏觀的點

（物理無限小體元）。（2）平衡條件中，根本的是（若有非靜電力時，例導體接了電池，平衡時靜電力、靜電場不等于零)。11導體三、導體靜電平衡的性質(zhì)1.導體為等勢體，表面為等位面證明：導體內(nèi)部任取兩點a、b122.導體內(nèi)部沒有電荷，電荷

只分布在導體表面證明：在導體內(nèi)任取體積元由高斯定理任取體積元電荷只能分布在導體表面！133.導體表面附近的電場①14②E與σ的關(guān)系取扁柱面為高斯面外法線方向?qū)懽鳓15四、帶電導體所受的靜電力設(shè)是導體表面含P點的小面元，是P點的電荷面密度，則受到的靜電力是除外所有電荷在P點貢獻的場強導體表面附近的場強為可以分為兩部分其中是在P1

的場強，是除16外的電荷在P1

的場強。P1點在導體附近，所以代入前式可得最后可得：17對導體表面作積分，可得整個導體所受的靜電力。由上述討論可知：導體表面稍微往外的

P1處的總場強為

它由兩個部分構(gòu)成，即18其中如果考慮導體表面稍微里面一點P2，則而的連續(xù)性保證于是故場強在導體表面一點p的突變完全是由含小面元的場強的突變引起的。19五、孤立導體形狀對電荷分布的影響

1.

孤立導體的電荷分布由自身的形狀和電荷總量決定表面突出的尖銳處（曲率為正且較大）:電荷面密度較大比較平坦地方（曲率較?。?電荷面密度較小20表面凹進部分（曲率為負）：電荷面密度最小尖端放電實驗給出了一個尖形導體的等勢面、電力線和電荷分布，如圖。＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋導線即：用導線連接兩導體球，則必有：孤立導體表面的電荷面密度與導體表面的曲率半徑有關(guān)：曲率半徑大處電荷密度低；即：表面上愈尖銳處電荷密度越大。孤立導體表面的電荷分布定性的證明：22由于帶電導體尖端附近的電荷密度最大，按照導體表面電場公式，該處的場最強。2、尖端放電現(xiàn)象在尖端處的空氣可能被電離而出現(xiàn)尖端放電現(xiàn)象，如圖。23

尖端放電會損耗電能,干擾精密測量還會對通訊產(chǎn)生危害。然而，尖端放電也有很廣泛的應(yīng)用。尖端放電現(xiàn)象的利與弊例如：靜電加速器、感應(yīng)起電機、避雷針等。24<電風實驗>++++++++++將帶電的尖端物體接近火苗，由于尖端放電，電離空氣，將發(fā)現(xiàn)火苗被吹偏，稱為電風實驗。253.避雷針高層建筑物上的避雷針也是利用導體的尖端放電現(xiàn)象。尖端處：曲率大，電荷面密度大，導體表面的場強也大；這個電場擊穿空氣，產(chǎn)生電子和離子并加速它們；加速的電子和離子與空氣分子碰撞，進一步產(chǎn)生大量的電子和離子，被電離的空氣成為導體。﹢﹢﹢﹢﹢﹢﹢26

雷雨時節(jié)，大塊的云層頂部帶正點，底部帶負電，在接近地面時，地面感應(yīng)產(chǎn)生正電荷。云層與地面距離在３-４Km，其電荷大到足以使云層與地面產(chǎn)生一個20-30MV甚至100MV的電勢差。如果沒有避雷針地面與云層就會遭受雷擊；當裝上避雷針由于尖端放電，率先把周圍空氣擊穿，使云與地面電荷不斷中和，將大規(guī)模的放電變?yōu)樾∫?guī)模的放電，從而避免電荷積累和大規(guī)模放電帶來的危害。因此，避雷針實際上是“引雷針”。27閃電閃電28294.金屬尖端的強電場的應(yīng)用-場離子顯微鏡(FIM)

場離子顯微鏡結(jié)構(gòu)如下圖所示，其主要結(jié)構(gòu)為一玻璃真空容器，平坦的底部內(nèi)側(cè)涂有熒光粉，用于顯示圖像。被檢測樣品為陽極（一般為單晶細絲，頂端曲率半徑約為20~200nm的針尖），把樣品置于高真空的空間中，并固定在容器的軸線上，在空間中放入成像氣體(He、Ne、Ar等)中。為了減小樣品表面原子熱振動，通常用液氮或液氦降低樣品溫度，以提高像的分辨率。先將容器抽到1.33×10-6Pa的真空度，然后通入壓力約1.33×10-1Pa的成像氣體。圖

場離子顯微鏡示意圖

給樣品正高壓，樣品接+（10~40）kV高壓，而容器內(nèi)壁通過導電鍍層接地，一般用氧化錫，以保持透明。在樣品加上足夠高的電壓時，強電場使樣品附近的成像氣體原子發(fā)生極化和電離，使附著在樣品上的成像氣體解離成帶正電的陽離子。在熒光屏，上面有一電子通道倍增板，其作用是將微弱成像的離子束轉(zhuǎn)化為信號很強的電子束。最后，以電子射到熒光屏幕，我們就能在屏幕上看到一顆一顆的原子亮點！

圖

場離子顯微鏡示意圖

帶正電的氣體離子接著被電場加速射出，打到接收器訊號被放大。熒光屏上即可顯示尖端表層原子的清晰圖像。如圖所示，其中每一亮點都是單個原子的像。圖鎢單晶尖端的場離子顯微鏡圖像34六、導體靜電平衡問題的討論方法困難：

因為電場影響導體，使導體電荷發(fā)生重新分布；反過來，重新分布的電荷，又會改變電場的分布，這使得問題陷入了循環(huán)的地步，在數(shù)學上有相當?shù)睦щy。原則:1.靜電平衡的條件353.電荷守恒定律或電力線的兩條性質(zhì)2.基本性質(zhì)方程36例1：證明如圖的靜電感應(yīng)現(xiàn)象中，A是帶正電的點電荷，B是中性導體，試證導體B左端的感應(yīng)負電荷絕對值小于施感電荷。證：根據(jù)電力線的性質(zhì)1,B的左端一定有電力線終止。37這些電力線的發(fā)源地為：（1）A上的正電荷。（2）B上的正電荷。（3）無限遠?！哐仉娏€方向電位降低，與導體平衡時等勢體矛盾∴（2）不可能。38B右端的正電荷發(fā)出的電力線又終止于無窮遠處,,所以（3）不成立。∴終止于B左端的電力線全部來自A上的正電荷，而A的電力線有可能終止于感應(yīng)電荷，也可能終止于無窮遠，即感應(yīng)電荷一定不大于施感電荷。39（1）接地時導體上不能有正電荷，若B上有正電荷，發(fā)出電力線可能：①到無窮遠:沿電力線電位降低②到本身的負電荷:與導體是等位體矛盾,所以唯一可能是導體B上沒有正電荷。（2）接地只能說明電位為零，只提供了當?shù)亟粨Q電荷的可能性。討論40例2：中性封閉金屬殼內(nèi)有正點電荷q，求殼內(nèi)外壁感生電荷的數(shù)量。+q解：根據(jù)電場線的性質(zhì)，由q發(fā)出的電力線的條數(shù)正比于q；這些電力線不會在無電荷處中斷，也不能穿過導體（因?qū)w內(nèi)場強為0），它只能止于殼的內(nèi)壁，所以殼內(nèi)壁的總電荷為-q；又因殼為中性，內(nèi)外壁電荷的代數(shù)和為0，故外壁總電荷為q。41例3.把例1的導體B接地,試證B上不再有的點。證：選擇地與無限遠電勢相等，即。設(shè)B上某點有，它所發(fā)出的電力線只能延伸到無限遠，故。另一方面，B導體接地要求，這與矛盾。所以B導體上不能有的點。42說明：1）導體B右則的正電荷在接地后不存在可以認為它們沿著接地線流入了大地（實際是大地的電子流向?qū)w中和了正電荷）。而且，即使接地線在導體B左側(cè)結(jié)論仍然成立。2）接地不但使B右側(cè)的正電荷流光，而且改變了導體B左端的負電荷分布。43例4接地導體球附近有一點電荷q,如圖所示。求導體上感應(yīng)電荷的電量。解:導體接地，即設(shè)感應(yīng)電量為Q由于導體是個等勢體，可知o點的電勢為0;由電勢疊加原理有關(guān)系式：44SS例5兩塊平行放置的面積為S的金屬板，各帶電量Q1、Q2,板距與板的線度相比很小。求：

②若把第二塊金屬板接地，以上結(jié)果如何？EIEIIEIIIQ1Q2

①靜電平衡時,金屬板電荷的分布和周圍電場的分布。45EIEIIEIIIQ1Q2解：無限大帶電平面：靜電平衡條件電荷守恒?P1?P246解得：EIEIIEIIIQ1Q2?P1?P2取向右為正47電場分布：EIEIIEIIIQ1Q2?P1?P248EIEIIEIIIQ1Q2如果第二塊坂接地，則

4=0電荷守恒高斯定理靜電平衡條件解得：?P49§2

封閉金屬殼內(nèi)外的靜電場腔內(nèi)腔外導體殼的結(jié)構(gòu)特點：兩區(qū)域：

腔內(nèi)、腔外兩表面：

內(nèi)表面、外表面內(nèi)表面

外表面50理論上需說明的問題是：1)腔內(nèi)、外表面電荷分布特征2)腔內(nèi)、外空間電場分布特征基本思路:從特例開始-然后得出結(jié)論一、腔內(nèi)無帶電體時場的特征內(nèi)表面處處沒有電荷腔內(nèi)無電場結(jié)論51即或者說腔內(nèi)電勢處處相等證明:在導體殼內(nèi)緊貼內(nèi)表面作高斯面S。因為導體內(nèi)場強處處為零，所以S52由高斯定理得高斯面內(nèi)電量代數(shù)和為零，即由于空腔內(nèi)無帶電體，所以因為導體體內(nèi)場強處處為零531）處處不帶電，即處處無凈電荷2）一部分帶正電荷，一部分帶等量負電荷還需排除第2種情況，用反證法證明假設(shè)：內(nèi)表面有一部分帶正電荷一部分帶等量的負電荷。54這與導體是等勢體矛盾。故說明假設(shè)不成立！?則電力線從正電荷向負電荷。證明了：腔內(nèi)無帶電體時內(nèi)表面處處沒有電荷

腔內(nèi)無電場551)導體殼是否帶電?2)腔外是否有帶電體?未提及的問題在腔內(nèi)說明：腔內(nèi)的場與腔外(包括殼的外表面)的電量及分布無關(guān)結(jié)論56二、腔內(nèi)有帶電體時場的特征用高斯定理證明：S在導體殼中作高斯面S如圖，因為導體體內(nèi)場強處處為零

所以可見57腔內(nèi)的電場1)與殼內(nèi)電量q有關(guān)2)與幾何因素(腔內(nèi)帶電體、腔內(nèi)表面形狀）有關(guān)，與殼外電荷無關(guān)。（內(nèi)要影響外）。581)殼是否帶電?2)腔外是否有帶電體?腔內(nèi)的場只與腔內(nèi)帶電體電量、形狀、位置）及腔內(nèi)的幾何因素、介質(zhì)有關(guān)，與殼外電荷無關(guān)

（外不影響內(nèi)）。未提及的問題或者說在腔內(nèi)結(jié)論59

腔內(nèi)部的電場：只與腔內(nèi)帶電體（電量、形狀、位置）及腔內(nèi)壁的幾何因素、介質(zhì)有關(guān),或說：在腔內(nèi)任一點小

結(jié)

腔外部的電場：只與腔外帶電（電量、形狀、位置）及腔外壁的幾何因素、介質(zhì)有關(guān)?；蛘f：在腔外任一點60三、靜電屏蔽的裝置---接地導體殼靜電屏蔽：腔內(nèi)、腔外的場互不影響腔內(nèi)場:只與內(nèi)部帶電量及內(nèi)部幾何條件及介質(zhì)有關(guān)腔外場:只由外部帶電量和外部幾何條件及介質(zhì)決定61思考：不接地行嗎？62

屏蔽外電場外電場

空腔導體可以屏蔽外電場,使空腔內(nèi)物體不受外電場影響。這時,整個空腔導體和腔內(nèi)的電勢也必處處相等?？涨粚w屏蔽外電場

封閉導體殼,殼內(nèi)外場強的關(guān)系63

接地空腔導體將使外部空間不受空腔內(nèi)的電場影響。導體殼接地，內(nèi)外電場互不影響——靜電屏蔽接地導體電勢為零

屏蔽腔內(nèi)電場：++++++++64例：有一外半徑，內(nèi)半徑的金屬球殼，在球殼內(nèi)放一半徑的同心金屬球，若使球殼和金屬球均帶有的正電荷。問兩球體上的電荷如何分布？球心的電勢為多少？65解：根據(jù)靜電平衡的條件求電荷分布作球形高斯面作球形高斯面66根據(jù)靜電平衡條件作球形高斯面67意味著球殼內(nèi)表面帶作球形高斯面意味著球殼外表面帶68總結(jié):69球心的電勢70§3.電容器及其電容一、孤立導體的電容電容只與導體的幾何因素有關(guān)——固有的容電本領(lǐng)。孤立導體的電勢定義:(capacitor)71單位:法拉FSI制：72例求真空中孤立導體球的電容(如圖)設(shè)球帶電為

Q解：導體球電勢導體球電容介質(zhì)幾何73例：欲得到1F

的電容，孤立導體球的半徑應(yīng)該為多大？解：由孤立導體球電容公式知地球平均半徑約為74二、電容器及其電容

由靜電屏蔽--導體殼內(nèi)部的場只由腔內(nèi)的電量和幾何條件決定(相當于孤立)腔內(nèi)導體表面與殼的內(nèi)表面形狀及相對位置