第六章 三維變換與投影

孔令德第六章主講：孔令德三維變換和投影2◆三維圖形基本幾何變換矩陣◆平行投影◆透視投影本章學(xué)習(xí)目標(biāo)本章內(nèi)容6.1三維基本幾何6.2三維基本幾何變換矩陣6.4投影變換6.5透視變換6.6本章小結(jié)6.7習(xí)題6.1三維基本幾何變換6.1.1三維變換矩陣6.1.2三維幾何變換同二維變換一樣，三維變換同樣引入了齊次坐標(biāo)技術(shù)。在定義了規(guī)范化齊次坐標(biāo)以后，圖形變換就可以表示為圖形頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣與某一變換矩陣相乘的形式。用規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示的三維圖形基本幾何變換矩陣是一個(gè)4×4方陣，簡(jiǎn)稱為三維變換矩陣。（6-1）6.1.1三維變換矩陣其中，為3×3階子矩陣，對(duì)圖進(jìn)行比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯(cuò)切變換。，為1×3階子矩陣，對(duì)圖形進(jìn)行平移變換。

，為3×1階子矩陣，對(duì)圖形進(jìn)行投影變換。，為3×1階子矩陣，對(duì)圖形進(jìn)行整體比例變換。

對(duì)于線框模型的變換，通常是以點(diǎn)變換為基礎(chǔ)。三維幾何變換的基本方法是把變換矩陣作為一個(gè)算子，作用到變換前的圖形頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣上，得到變換后新的圖形頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣。連接變換后的新的圖形頂點(diǎn)，可以繪制出變換后的三維圖形。6.1.2三維幾何變換設(shè)圖形變換前的頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為：

變換后的頂點(diǎn)集合的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為：變換矩陣為：則三維圖形基本幾何變換有可以寫(xiě)成：（6-2）6.2三維基本幾何變換矩陣

三維基本幾何變換是指將點(diǎn)從一個(gè)坐標(biāo)位置變換到另一個(gè)坐標(biāo)位置的過(guò)程。三維基本幾何變換和二維基本幾何變換一樣是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換，包括平移、比例、旋轉(zhuǎn)、反射和錯(cuò)切5種變換。因?yàn)槿S變換矩陣的推導(dǎo)過(guò)程和二維變換矩陣的推導(dǎo)過(guò)程類似，這里只給出結(jié)論。6.2三維基本幾何變換矩陣6.2.1平移變換6.2.2比例變換6.2.3旋轉(zhuǎn)變換6.2.4反射變換6.2.5錯(cuò)切變換6.2.1平移變換平移變換的坐標(biāo)表示為：因此，三維平移變換矩陣為：Tx，Ty，Tz是平移參數(shù)。（6-3）比例變換的坐標(biāo)表示為：因此，三維比例變換矩陣為：這里Sx，Sy，Sz是比例系數(shù)（6-4）6.2.2比例變換

6.2.3旋轉(zhuǎn)變換

三維旋轉(zhuǎn)一般看作是二維旋轉(zhuǎn)變換的組合，可以分為：繞x軸的旋轉(zhuǎn)，繞y軸的旋轉(zhuǎn)，繞z軸的旋轉(zhuǎn)。轉(zhuǎn)角的正向滿足右手定則：大拇指指向旋轉(zhuǎn)軸，四指的轉(zhuǎn)向?yàn)檎颉?/p>

因此，繞x軸的三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：這里θ是旋轉(zhuǎn)角繞x軸旋轉(zhuǎn)變換的坐標(biāo)表示為：（6-5）1.繞x軸旋轉(zhuǎn)

因此，繞y軸的三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：同理可得，繞y軸旋轉(zhuǎn)變換的坐標(biāo)表示為：（6-6）2.繞y軸旋轉(zhuǎn)

因此，繞z軸的三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：同理可得，繞z軸旋轉(zhuǎn)變換的坐標(biāo)表示為：（6-7）3.繞z軸旋轉(zhuǎn)

三維反射可以分為：關(guān)于坐標(biāo)軸的反射和關(guān)于坐標(biāo)平面的反射兩類。關(guān)于x軸的反射關(guān)于x軸反射變換的坐標(biāo)表示為：（6-8）6.2.4反射變換

因此，關(guān)于x軸的三維反射變換矩陣為：同理可得，關(guān)于y軸反射變換的坐標(biāo)表示為：

因此，關(guān)于y軸的三維反射變換矩陣為：（6-9）關(guān)于y軸的反射同理可得，關(guān)于z軸反射變換的坐標(biāo)表示為：

因此，關(guān)于z軸的三維反射變換矩陣為：（6-10）3、關(guān)于z軸的反射關(guān)于xoy面反射變換的坐標(biāo)表示為：

因此，關(guān)于xoy面的三維反射變換矩陣為：（6-11）4、關(guān)于xoy面的反射同理可得，關(guān)于yoz面反射變換的坐標(biāo)表示為：

因此，關(guān)于yoz面的三維反射變換矩陣為：（6-12）5、關(guān)于yoz面的反射同理可得，關(guān)于zox面反射變換的坐標(biāo)表示為：

因此，關(guān)于zox面的三維反射變換矩陣為：（6-13）6、關(guān)于zox面的反射三維錯(cuò)切變換的坐標(biāo)表示為：

因此，三維錯(cuò)切變換矩陣為：（6-14）6.2.5錯(cuò)切變換

三維錯(cuò)切變換中，一個(gè)坐標(biāo)的變化受另外兩個(gè)坐標(biāo)變化的影響。如果變換矩陣第一列中元素d和g不為0，產(chǎn)生沿x軸方向的錯(cuò)切；第二列中元素b和h不為0，產(chǎn)生沿y軸方向的錯(cuò)切；第三列中元素c和f不為0，產(chǎn)生沿z軸方向的錯(cuò)切。此時(shí)，b＝0，h＝0，c＝0，f＝0。因此，沿x方向錯(cuò)切變換矩陣為：當(dāng)d＝0時(shí)，錯(cuò)切平面離開(kāi)z軸，沿x方向移動(dòng)gz距離；當(dāng)g＝0時(shí)，錯(cuò)切平面離開(kāi)y軸，沿x方向移動(dòng)dy距離。（6-15）1.沿x方向錯(cuò)切2.沿y方向錯(cuò)切此時(shí)，d＝0，g＝0，c＝0，f＝0。同理可得，沿y方向錯(cuò)切變換矩陣為：當(dāng)b＝0時(shí)，錯(cuò)切平面離開(kāi)z軸，沿y方向移動(dòng)hz距離；當(dāng)h＝0時(shí)，錯(cuò)切平面離開(kāi)x軸，沿y方向移動(dòng)bx距離。3.沿z方向錯(cuò)切此時(shí)，d＝0，g＝0，b＝0，h＝0。同理可得，沿z方向錯(cuò)切變換矩陣為：當(dāng)c＝0時(shí)，錯(cuò)切平面離開(kāi)y軸，沿z方向移動(dòng)fy距離；當(dāng)f＝0時(shí)，錯(cuò)切平面離開(kāi)x軸，沿z方向移動(dòng)cx距離。（6-17）6.4投影變換

由于顯示器只能用二維圖像表示三維物體，因此三維物體就要靠投影來(lái)降低維數(shù)得到二維平面圖形，因此把三維物體轉(zhuǎn)變?yōu)槎S圖形的過(guò)程稱為投影變換。投影中心到投影面的距離為無(wú)限大時(shí)得到的投影稱為平行投影。平行投影的最大特點(diǎn)是無(wú)論物體距離視點(diǎn)多遠(yuǎn)，投影后的物體尺寸保持不變。平行投影可分成兩類：正投影和斜投影。當(dāng)投影方向與投影面垂直時(shí)，得到的投影為正投影，否則為斜投影。6.4投影變換

6.4.1三視圖6.4.1三視圖

三視圖是正投影視圖，包括主視圖、俯視圖和側(cè)視圖，投影面分別與y軸、z軸和x軸垂直。即將三維物體分別對(duì)正面、水平面和側(cè)平面做正投影得到三個(gè)基本視圖。圖6-2為正三棱柱的立體圖，圖6-3為正三棱柱的三視圖。主視圖俯視圖側(cè)視圖圖6-2正三棱柱的立體圖圖6-3正三棱柱的三視圖將三棱柱向xoz面作平行投影，得到主視圖。設(shè)三棱柱上任一點(diǎn)坐標(biāo)用P(x，y，z)表示，它在xoz面上投影后坐標(biāo)為P’(x’，y’，z’)。其中x’=x，y’=0，z’=z。主視圖投影變換矩陣為：(1)主視圖將三棱柱向xoy面作平行投影得到俯視圖。設(shè)三維物體上任一點(diǎn)坐標(biāo)用P(x，y，z)表示，它在xoy面上投影后坐標(biāo)為P’(x’，y’，z’)。其中x’=x，y’=y，z’=0。投影變換矩陣為：⑵俯視圖

為了使俯視圖和主視圖在一個(gè)平面內(nèi)，就要使xoy面繞x軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

為了使俯視圖和主視圖有一定的間距，還要使xoy面沿z負(fù)方向平移一段距離-z0，平移變換矩陣為：

俯視圖的投影變換矩陣為上述三個(gè)變換矩陣的乘積：

俯視圖投影變換矩陣為：將三維形體向yoz面作垂直投影得到側(cè)視圖。設(shè)三維物體上任一點(diǎn)坐標(biāo)用P(x，y，z)表示，它在yoz面上投影后坐標(biāo)為P’(x’，y’，z’)。其中x’=0，y’=y，z’=z。投影變換矩陣為：⑶側(cè)視圖

為了在xoz平面內(nèi)表示側(cè)視圖，需要將yoz面繞z軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

為了使側(cè)視圖和主視圖之間有一定的間距，還要將yoz面沿x軸負(fù)向平移一段距離-x0，平移變換矩陣為：側(cè)視圖的投影變換矩陣為上面三個(gè)變換矩陣的乘積：

側(cè)視圖投影變換矩陣為：從三視圖的三個(gè)變換矩陣可以看出，三個(gè)視圖中的y坐標(biāo)始終為0，表明三個(gè)視圖均落在xoz平面上，即三維物體用二維視圖來(lái)表示。三視圖是工程上常用的圖樣，由于三視圖中物體的一個(gè)投影面平行于坐標(biāo)平面，其投影能真實(shí)地反映物體的實(shí)際尺寸，三個(gè)視圖具有長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等的特點(diǎn)，因此，機(jī)械工程中常用三視圖來(lái)測(cè)量形體間的距離、角度等尺寸。但是三視圖缺乏立體感，只有將主視圖、俯視圖和側(cè)視圖結(jié)合在一起加以抽象，才能獲得物體的空間結(jié)構(gòu)。三視圖的使用者一般需要接受《畫(huà)法幾何》、《機(jī)械制圖》等課程的專業(yè)培訓(xùn)。

與平行投影相比，透視投影的特點(diǎn)是所有的投影線都從空間一點(diǎn)投射，離視點(diǎn)近的物體投影大，離視點(diǎn)遠(yuǎn)的物體投影小，小到極點(diǎn)成為滅點(diǎn)。生活中，照相機(jī)拍攝的照片，畫(huà)家的寫(xiě)生畫(huà)等均是透視投影的例子。透視投影模擬了人的眼睛觀察物體的過(guò)程，符合人類的視覺(jué)習(xí)慣，所以在真實(shí)感圖形中得到廣泛應(yīng)用。一般將屏幕放在觀察者和物體之間，如圖6-8所示。投影線與屏幕的交點(diǎn)就是物體上點(diǎn)的透視投影。觀察者的眼睛位置稱為視點(diǎn)，視線與屏幕的交點(diǎn)稱為視心，視點(diǎn)到視心的距離稱為視距。6.5透視變換圖6-8透視變換中屏幕的位置6.5透視變換6.5.1透視變換坐標(biāo)系6.5.2坐標(biāo)系變換6.5.3用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換6.5.4觀察坐標(biāo)系到屏幕坐標(biāo)系的變換6.5.5透視投影分類

透視投影變換中，物體位于用戶坐標(biāo)系中，視點(diǎn)位于觀察坐標(biāo)系中，投影位于屏幕坐標(biāo)系中。三種坐標(biāo)系的關(guān)系如下圖所示.6.5.1透視變換坐標(biāo)系用戶坐標(biāo)系采用右手球面坐標(biāo)系。坐標(biāo)圓點(diǎn)在O點(diǎn)，視點(diǎn)的直角坐標(biāo)為Os（a，b，c），OOS的長(zhǎng)度為R，OOS和z軸的夾角為φ，O點(diǎn)在xoy平面內(nèi)的投影為P（a，b），OP和x軸的夾角為θ。視點(diǎn)的球面坐標(biāo)表示為Os（R，θ，φ）。視點(diǎn)的球面坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系為：

（6-31）1、用戶坐標(biāo)系觀察坐標(biāo)系為左手系，坐標(biāo)原點(diǎn)位于視點(diǎn)Os上。zs軸沿著視線方向OSO，視線的正右方為xs軸，視線的正上方為ys軸。2、觀察坐標(biāo)系3、屏幕坐標(biāo)系屏幕坐標(biāo)系也是左手系，坐標(biāo)原點(diǎn)Op位于視心。屏幕坐標(biāo)系的xp和yp軸與觀察坐標(biāo)系的xs軸和ys軸方向一致，也就是說(shuō)屏幕垂直于視線，zp軸自然與zs軸重合。6.5.2坐標(biāo)系變換如果觀察坐標(biāo)系中的視點(diǎn)固定，旋轉(zhuǎn)用戶坐標(biāo)系中的物體，就可以在屏幕上產(chǎn)生該物體各個(gè)方向的透視圖。把用戶坐標(biāo)系中三維物體上的點(diǎn)變換為觀察坐標(biāo)系中的點(diǎn)，等同于點(diǎn)固定，坐標(biāo)系發(fā)生變換。在6.2節(jié)講解三維基本幾何變換矩陣時(shí)，坐標(biāo)系固定，點(diǎn)發(fā)生變換。有時(shí)需要點(diǎn)固定，坐標(biāo)系發(fā)生變換，二者效果一致。如圖6-10中，點(diǎn)從P變換到P’等價(jià)于點(diǎn)P點(diǎn)固定，坐標(biāo)系從xyz變換到x’y’z’。這時(shí)，變換矩陣的參數(shù)需要取反。平移矩陣為：式中，Tx，Ty，Tz是坐標(biāo)系之間的平移參數(shù)。圖6-10坐標(biāo)系變換P’(x’,y’,z’)P(x,y,z)P(x,y,z)(P’（x’，y’，z’）)首先將用戶坐標(biāo)系圓點(diǎn)O平移到觀察坐標(biāo)系原點(diǎn)Os，然后將用戶右手坐標(biāo)系變換為觀察左手坐標(biāo)系，就可以實(shí)現(xiàn)從用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換。1.原點(diǎn)到視點(diǎn)的平移變換把用戶坐標(biāo)系的原點(diǎn)O平移到觀察坐標(biāo)系的原點(diǎn)Os，形成新坐標(biāo)系x1y1z1，視點(diǎn)的直角坐標(biāo)為Os（a，b，c），如圖6-11所示。變換矩陣為：6.5.3用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換圖6-11平移變換圖6-12中坐標(biāo)系x2y2z2繞x2作180°－φ的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換，使z2軸沿視線方向，形成新坐標(biāo)系x3y3z3，如圖6-13所示。這里坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換矩陣取為順時(shí)針變換陣。3、繞x2軸