概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)心得

淺談概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)作者：我認(rèn)為概率論的核心思想就是利用已有的數(shù)學(xué)工具去研究不確定的現(xiàn)從而總出其一般化的規(guī)律。而數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是以概率論為理論基礎(chǔ)，基于有效的觀測(cè)，收集，整理，分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象。研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支。隨機(jī)現(xiàn)象是指這樣的客觀現(xiàn)象但我們觀察它時(shí)，所得的結(jié)果不能預(yù)先確定，而只是多種可能結(jié)果中的一種。在自然界和人類社會(huì)中，存在著大量的隨機(jī)現(xiàn)象。例如，擲一硬幣，可能出現(xiàn)正面或反面；測(cè)量一物體長(zhǎng)度，由于儀器及觀察受到環(huán)境的影響，每次測(cè)量結(jié)果可能有差異；在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡，其壽命長(zhǎng)短參差不齊等等。這些都是隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)試驗(yàn)的每一可能結(jié)果稱為一個(gè)基本事件，一個(gè)或一組基本事件又通稱隨機(jī)事件。事件的概率則是衡量該事件發(fā)生的可能性的量度。雖然在一次隨機(jī)試驗(yàn)中發(fā)生某個(gè)事件是帶有偶然性的，但那些可以在相同條件下大量重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn)卻往往呈現(xiàn)出明顯的數(shù)量規(guī)律性。人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中已逐步覺(jué)察到某些這樣的規(guī)律性，并在實(shí)際中應(yīng)用它。例如，多次測(cè)量一物體的長(zhǎng)度，其測(cè)量結(jié)果的平均值隨著測(cè)量次數(shù)的增加，逐漸穩(wěn)定于一常數(shù)，并且諸測(cè)量值大都落在此常數(shù)的近旁，越遠(yuǎn)則越少，因之其分布狀況呈現(xiàn)“中間大、兩頭小”及某種程度的對(duì)稱性（即近似于正態(tài)分布）。大數(shù)律及中心極限定理就是描述和論證這些規(guī)律性的。在實(shí)際中，人們往往還需要研究在時(shí)間推進(jìn)中某一特定隨機(jī)現(xiàn)象的演變情況，描述這種演變的就是概率論中的隨機(jī)過(guò)程。例如，微小粒子在液體中因受周圍分子的隨機(jī)碰撞而形成不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)（即布朗運(yùn)動(dòng)）也是一隨機(jī)過(guò)程。研究隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，計(jì)算與過(guò)程有關(guān)的某些事件的概率，特別是研究與過(guò)程樣本軌道（即過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)）有關(guān)的問(wèn)題，是現(xiàn)代概率論的主要課題?？傊怕收撆c實(shí)際有著密切的聯(lián)系，它在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、軍事和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中都有廣泛的應(yīng)用。我認(rèn)為在概率的發(fā)展史中，隨機(jī)變量的引入是一個(gè)重大的進(jìn)步，將研究對(duì)象有隨機(jī)事件發(fā)展為隨機(jī)變量，使其得以用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表述，將工科數(shù)學(xué)分析的成果應(yīng)用于此，將其函數(shù)化，并利用微積分的方法來(lái)研究。這大大的提高了概率論的深入性及廣度性。首先我們將隨機(jī)變量分為兩類，離散型，連續(xù)型。對(duì)于離散型，在描述其分布的時(shí)候，我們還可以利用分布列的形式來(lái)簡(jiǎn)單的描述，如二項(xiàng)分布，泊松分布等。但是對(duì)于像燈泡的壽命這類非離散型的變量，他的取值有無(wú)限種可能，無(wú)法用分布列來(lái)表示，也無(wú)法確定他在一個(gè)點(diǎn)上發(fā)生的概率，并且研究一點(diǎn)也沒(méi)有價(jià)值，因此我們需要研究其在一個(gè)區(qū)間上發(fā)生的概率，這也就自然而然的引入了隨機(jī)變量分布函數(shù)這一概念，從而也連帶著引出了概率密度這念，即一個(gè)區(qū)間上的概率等于概率密度關(guān)于區(qū)間長(zhǎng)度dx的積分。故而研究的概率也就可以用積分的方式來(lái)解決了，同理，對(duì)于而為隨機(jī)變量，只不過(guò)變?yōu)榱硕胤e分，其本質(zhì)是不變的。談到這里我想舉例來(lái)說(shuō)明其在物理學(xué)中的重要應(yīng)用，那么就一本學(xué)期學(xué)到的熱學(xué)為例，其效用主要體現(xiàn)于熱學(xué)中的統(tǒng)計(jì)物理學(xué)分枝上，其主要研究熱現(xiàn)象的微觀理論，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)從宏觀物質(zhì)系統(tǒng)是由大量微觀粒子所構(gòu)成，這一事實(shí)出發(fā)，認(rèn)為物質(zhì)的宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子性質(zhì)的集體體現(xiàn)。宏觀物理量是微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值?；谶@一點(diǎn)，首先我們可以得到理想氣體的壓強(qiáng)公式p=2／3ne（e為分子的平均平動(dòng)動(dòng)能）。壓強(qiáng)是大量分子碰撞器壁的統(tǒng)計(jì)平均效應(yīng)，對(duì)個(gè)別分子是無(wú)意義的，并多次用到了統(tǒng)計(jì)平均的方法，例如速度向某一方向的概率為1／6.由此引出理想氣體分子的統(tǒng)計(jì)分布，麥克斯韋-玻爾茲曼分布，經(jīng)典粒子按能級(jí)的最概然分布，而粒子按速率分布的表達(dá)式為其表示我為速率在vdv范圍內(nèi)的概率，這里由于分子數(shù)比較大，所以，dNN表示的頻率即為分布的概率了。這一結(jié)果可以用大數(shù)定律來(lái)理解，而速率分布函數(shù)（概率密度）f(v)==,而根據(jù)概率密度的性質(zhì)自然而然的有，因此有了速率分布函數(shù)我們?cè)诿枋鳆溈怂鬼f速率分布的規(guī)律時(shí)就更加的清晰了，規(guī)律如下（1），其表示速率在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)之比，即分子在速率范圍內(nèi)的概率。（2）由概率密度的表達(dá)式，可以求出f（v）對(duì)應(yīng)的極大值，即為分子的最概然速率，從微元的角度來(lái)看，即在vp這點(diǎn)的微小鄰域內(nèi)，分子出現(xiàn)的概率最大。并得到該點(diǎn)坐標(biāo)為，其中R為氣體普適常數(shù)，可見(jiàn)該表達(dá)式中，T，u均為宏觀量，而氣體分子的最該然速率只與溫度有關(guān)，這一結(jié)論有機(jī)的將微觀粒子與宏觀的物理量聯(lián)系起來(lái)，并定量化其中的關(guān)系，由此可見(jiàn)數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論，在研究大量隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)可以科學(xué)的推導(dǎo)出其整體的宏觀特性，并通過(guò)分布函數(shù)和概率密度等函數(shù)量使得原本凌亂的數(shù)據(jù)得以清晰科學(xué)的利用數(shù)學(xué)工具規(guī)范化表達(dá)，可見(jiàn)這門學(xué)科對(duì)于跨學(xué)科的應(yīng)用起到了橋梁性的作用?？傊鞍氤痰母怕收搶W(xué)習(xí)教會(huì)我們?nèi)绾斡酶怕嗜ッ枋霾淮_定事件的發(fā)生問(wèn)題，其尤其一定的隨機(jī)性，但對(duì)于大量的隨機(jī)試驗(yàn)下，他所體現(xiàn)的規(guī)律分布式極為重要的。下面在概率論的基礎(chǔ)鋪墊下，我們便需要學(xué)會(huì)如何在總體參數(shù)未知的條件下，利用樣本的數(shù)據(jù)有效科學(xué)的去估計(jì)總體分布特性，這也就是數(shù)理統(tǒng)計(jì)所要研究的一個(gè)重要問(wèn)題。首先書中引入了幾個(gè)重要的數(shù)字特征，數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)，距，方差：即反映了隨機(jī)變量取值的平均情況；方差：表示數(shù)據(jù)偏離均值的平均情況。這兩大概念是我們?cè)诿枋鰳颖緮?shù)據(jù)的重要基礎(chǔ)量，由此引出的矩的概念都是以之為基礎(chǔ)的。有了這一鋪墊我們就可以通過(guò)樣本的情況來(lái)分析總體的性質(zhì)了，由于所學(xué)有限，我只說(shuō)一下關(guān)于樣本均值和樣本方差的應(yīng)用，舉個(gè)例子我們都知道樣本方差的表達(dá)式為，以前我一直不明白為什么分母要除（n-1），這一點(diǎn)相必很多人也有同樣的疑慮，但是在參數(shù)估計(jì)的一章，我才明白，如果利用樣本方差作總體方差的無(wú)偏估計(jì)，就必須滿足，這樣在推導(dǎo)過(guò)程中就認(rèn)為的除上了（n-1），以保證其估計(jì)的無(wú)偏性，而不同于二階樣本中心矩。由此可見(jiàn)再利用樣本估計(jì)量估計(jì)時(shí)也應(yīng)注意其科學(xué)性，因此無(wú)論是利用點(diǎn)估計(jì)，最大似然估計(jì)，還是區(qū)間估計(jì)都應(yīng)注意估計(jì)值的無(wú)偏性，有效性，相合性三個(gè)方面。而實(shí)際應(yīng)用中也往往使用符合性最好的估計(jì)。這一點(diǎn)在物理實(shí)驗(yàn)中體現(xiàn)的尤為突出，例如在利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)推到相應(yīng)物力量時(shí)，一個(gè)科學(xué)的表示要包含實(shí)際數(shù)據(jù)，不確定度，以及置信概率。而在計(jì)算不確定度時(shí)，在A累不確定度中，我們就利用了樣本的標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)計(jì)算，以此來(lái)消除測(cè)量帶來(lái)的系統(tǒng)誤差，這樣就使得，最終的結(jié)果更加科學(xué)性。而同樣的在計(jì)算B類不確定度利用了儀器誤差的正態(tài)分布或者均勻分布的特性去消除這一方面的系統(tǒng)誤差。由此可見(jiàn)一次科學(xué)的物理實(shí)驗(yàn)不僅需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方面上亦要求我們利用科學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算物理量。以上就是目前我們所接觸的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的重要領(lǐng)域之一——物理學(xué)，當(dāng)然其應(yīng)用的適用面遠(yuǎn)不止這些。一下是我自己搜集的一些理論應(yīng)用成果。在物理學(xué)方面，高能電子或核子穿過(guò)吸收體時(shí)，產(chǎn)生級(jí)聯(lián)（或倍增）現(xiàn)象，在研究電了-光子級(jí)聯(lián)過(guò)程的起伏問(wèn)題時(shí)，要用到隨機(jī)過(guò)程，常以泊松過(guò)程、弗瑞過(guò)程或波伊亞過(guò)程作為實(shí)際級(jí)聯(lián)的近似，有時(shí)還要用到更新過(guò)程的概念。當(dāng)核子穿到吸收體的某一深度時(shí)，則可用擴(kuò)散方程來(lái)計(jì)算核子的概率分布。物理學(xué)中的放射性衰變，粒子計(jì)數(shù)器，原子核照相乳膠中的徑跡理論和原子核反應(yīng)堆中的問(wèn)題等的研究，都要用到泊松過(guò)程和更新理論。湍流理論以及天文學(xué)中的星云密度起伏、輻射傳遞等研究要用到隨機(jī)場(chǎng)的理論。探討太陽(yáng)黑子的規(guī)律及其預(yù)測(cè)時(shí)，時(shí)間序列方法非常有用。化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)中，研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率及影響這些時(shí)變率的因素問(wèn)題，自動(dòng)催化反應(yīng)，單分子反應(yīng)，雙分子反應(yīng)及一些連鎖反應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型等，都要以生滅過(guò)程（見(jiàn)馬爾可夫過(guò)程）來(lái)描述。隨機(jī)過(guò)程理論所提供的方法對(duì)于生物數(shù)學(xué)具有很大的重要性，許多研究工作者以此來(lái)構(gòu)造生物現(xiàn)象的模型。研究群體的增長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，提出了生滅型隨機(jī)模型，兩性增長(zhǎng)模型，群體間競(jìng)爭(zhēng)與生克模型，群體遷移模型，增長(zhǎng)過(guò)程的擴(kuò)散模型等等。有些生物現(xiàn)象還可以利用時(shí)間序列模型來(lái)進(jìn)行預(yù)報(bào)。傳染病流行問(wèn)題要用到具有有限個(gè)狀態(tài)的多變量非線性生滅過(guò)程。在遺傳問(wèn)題中，著重研究群體經(jīng)過(guò)多少代遺傳后，進(jìn)入某一固定類和首次進(jìn)入此固定類的時(shí)間，以及最大基因頻率的分布等。許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信，紅綠燈交換，存貨控制，水庫(kù)調(diào)度，購(gòu)貨排隊(duì)，船舶裝卸，機(jī)器損修，病人候診等等，都可用一類概率模型來(lái)描述。這類概率模型涉及的過(guò)程叫排隊(duì)過(guò)程，它是點(diǎn)過(guò)程的特例。當(dāng)把顧客到達(dá)和服務(wù)所需時(shí)間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律研究清楚后，就可以合理安排服務(wù)點(diǎn)。在通信、雷達(dá)探測(cè)、地震探測(cè)等領(lǐng)域中，都有傳遞信號(hào)與接收信號(hào)的問(wèn)題。傳遞信號(hào)時(shí)會(huì)受到噪聲的干擾，為了準(zhǔn)確地傳遞和接收信號(hào)，就要把干擾的性質(zhì)分析清楚，然后采取辦法消除干擾。這是信息論的主要目的。噪聲本身是隨機(jī)的，所以概率論是信息論研究中必不可少的工具。信息論中的濾波問(wèn)題就是研究在接收信號(hào)時(shí)如何最大限度地消除噪聲的干擾，而編碼問(wèn)題則是研究采取什么樣的手段發(fā)射信號(hào)，能最大限度地抵抗干擾。在空間科學(xué)和工業(yè)生產(chǎn)的自動(dòng)化技術(shù)中需要用到信息論和控制理論，而研究帶隨機(jī)干擾的控制問(wèn)題，也要用到概率論方法。由于我們本身是五系通信工程專業(yè)的，這門課程的學(xué)習(xí)為以后的專業(yè)課