二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及練習(xí)

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)概念：1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。【說明】這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．2.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)．二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．2.的性質(zhì)：上加下減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．3.的性質(zhì)：左加右減。的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下X=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．4.的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上X=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下X=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．5.二次函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，有最小值．2.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。划?dāng)時(shí)，有最大值．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個(gè)單位，變成（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個(gè)單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．五、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點(diǎn)式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.六、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然．⑴當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小．2.一次項(xiàng)系數(shù)在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對(duì)稱軸．⑴在的前提下，當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的右側(cè)．⑵在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時(shí)，，即拋物線的對(duì)稱軸就是軸；當(dāng)時(shí)，，即拋物線對(duì)稱軸在軸的左側(cè)．總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對(duì)稱軸的位置．的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”總結(jié)：3.常數(shù)項(xiàng)⑴當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；⑶當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．/總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．4.利用二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定判別式的符號(hào)，利用特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定特殊代數(shù)式的值的范圍。有時(shí)還要利用等量代換來判斷特殊代數(shù)式的值的范圍。二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便．一般來說，有如下幾種情況：1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用舉例：例1：小強(qiáng)從如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，觀察得出了下面五條信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有（C）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)1111Oxy例2：已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①；/②；③；④；⑤其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（C）A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤例3：小明從圖所示的二次函數(shù)的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①；②；③；④；⑤，你認(rèn)為其中正確信息的個(gè)數(shù)有（C）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)分析：④錯(cuò)誤.由得；由前面的分析知，又由題圖知當(dāng)時(shí)，，將代入中得.【練】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤，（的實(shí)數(shù)）其中正確的結(jié)論有（C）．A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)分析：由圖可知，，從而，①錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，②錯(cuò)誤；由拋物線的對(duì)稱軸為直線知，當(dāng)與時(shí)函數(shù)值相等，所以③正確；因?yàn)?，所以④正確；因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為直線，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即當(dāng)時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，所以，得，所以⑤正確.例4：如圖，是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1；④a-2b+c＞0．其中正確的命題是①③分析：由圖知①③正確且，所以，所以②錯(cuò)誤；由①正確得，所以，所以④錯(cuò)誤.【練】1.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，它的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－1，由圖象可知關(guān)于的方程的兩根為－3．2.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，其圖象的一部分如圖所示．對(duì)于下列說法：①＜0；②＜0；③＜0；④當(dāng)－1＜x＜3時(shí)，y＞0．其中正確的是④（把正確的序號(hào)都填上）．分析：由圖可知，拋物線的對(duì)稱軸為直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，得，，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，所以，.例5：在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和（是常數(shù)，且）的圖象可能是（C）xxyOＡ．xyOＢ．xyOＣ．xyOＤ．例6：（1）已知二次函數(shù)的圖象以A（－1，4）為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)B（2，－5）①求該函數(shù)的關(guān)系式；②求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；答：，交點(diǎn)坐標(biāo)（2）拋物線過（－1，0），（3，0），（1，－4）三點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式；答：例7：已知函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，求：（1）求滿足條件的的值；（2）為何值時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)？最低點(diǎn)坐標(biāo)是多少？當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大？（3）m為何值時(shí)，拋物線有最大值？最大值是多少？當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而減?。看穑海?）或；例8：（1）利用配方求函數(shù)的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)。（2）利用公式求函數(shù)的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)。，例9：已知二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是，且最高點(diǎn)在直線上，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。答：例10.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A（－4，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在點(diǎn)P，滿足，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．答：，P的坐標(biāo)為或例11.如圖，拋物線經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線頂點(diǎn)為D.（1）求此拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使：5：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)。答：，C，D，，所以，P的坐標(biāo)為或.二次函數(shù)練習(xí)試題一、選擇題二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a,b同號(hào);②當(dāng)和時(shí),函數(shù)值相等;③④當(dāng)時(shí),的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根分別是（）Ａ．－１.３B.-2.3C已知拋物線過點(diǎn)A(2,0),B(-1,0),與軸交于點(diǎn)C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為（）A.B.C.或D.或二、填空題二次函數(shù)的對(duì)稱軸是，則_______。已知拋物線，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是.一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點(diǎn)（－1，2），②當(dāng)＜0時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個(gè)即可）。拋物線的頂點(diǎn)為C，已知直線過點(diǎn)C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。三、