二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及練習(xí)

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)概念：1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)?！菊f明】這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)．2.二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2．⑵是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項．二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．2.的性質(zhì)：上加下減。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．3.的性質(zhì)：左加右減。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值．4.的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值．向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值．5.二次函數(shù)的性質(zhì)1.當(dāng)時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為．當(dāng)時，隨的增大而減小；當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，有最小值．2.當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為．當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減?。划?dāng)時，有最大值．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)；⑵保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．方法二：⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中．五、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：（，，為常數(shù)，）；2.頂點式：（，，為常數(shù)，）；3.兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.六、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然．⑴當(dāng)時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；⑵當(dāng)時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大．總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大?。?.一次項系數(shù)在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸．⑴在的前提下，當(dāng)時，，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當(dāng)時，，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè)．⑵在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)時，，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)；當(dāng)時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當(dāng)時，，即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)．總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”總結(jié)：3.常數(shù)項⑴當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為正；⑵當(dāng)時，拋物線與軸的交點為坐標(biāo)原點，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為；⑶當(dāng)時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為負．/總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置．總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．4.利用二次函數(shù)與軸的交點的個數(shù)來確定判別式的符號，利用特殊點的坐標(biāo)確定特殊代數(shù)式的值的范圍。有時還要利用等量代換來判斷特殊代數(shù)式的值的范圍。二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡便．一般來說，有如下幾種情況：1.已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；2.已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點式；3.已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式．二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用舉例：例1：小強從如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，觀察得出了下面五條信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.你認為其中正確信息的個數(shù)有（C）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個1111Oxy例2：已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：①；/②；③；④；⑤其中所有正確結(jié)論的序號是（C）A．①② B． ①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤例3：小明從圖所示的二次函數(shù)的圖象中，觀察得出了下面五條信息：①；②；③；④；⑤，你認為其中正確信息的個數(shù)有（C）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個分析：④錯誤.由得；由前面的分析知，又由題圖知當(dāng)時，，將代入中得.【練】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤，（的實數(shù)）其中正確的結(jié)論有（C）．A.2個 B.3個 C.4個 D.5個分析：由圖可知，，從而，①錯誤；又當(dāng)時，②錯誤；由拋物線的對稱軸為直線知，當(dāng)與時函數(shù)值相等，所以③正確；因為，所以④正確；因為二次函數(shù)的對稱軸為直線，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，即當(dāng)時的函數(shù)值小于當(dāng)時的函數(shù)值，所以，得，所以⑤正確.例4：如圖，是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1；④a-2b+c＞0．其中正確的命題是①③分析：由圖知①③正確且，所以，所以②錯誤；由①正確得，所以，所以④錯誤.【練】1.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，它的頂點的橫坐標(biāo)為－1，由圖象可知關(guān)于的方程的兩根為－3．2.二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線，其圖象的一部分如圖所示．對于下列說法：①＜0；②＜0；③＜0；④當(dāng)－1＜x＜3時，y＞0．其中正確的是④（把正確的序號都填上）．分析：由圖可知，拋物線的對稱軸為直線，與軸的一個交點為，得，，與軸的另一個交點為，所以，.例5：在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和（是常數(shù)，且）的圖象可能是（C）xxyOＡ．xyOＢ．xyOＣ．xyOＤ．例6：（1）已知二次函數(shù)的圖象以A（－1，4）為頂點，且過點B（2，－5）①求該函數(shù)的關(guān)系式；②求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)；答：，交點坐標(biāo)（2）拋物線過（－1，0），（3，0），（1，－4）三點，求二次函數(shù)的解析式；答：例7：已知函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，求：（1）求滿足條件的的值；（2）為何值時，拋物線有最低點？最低點坐標(biāo)是多少？當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大？（3）m為何值時，拋物線有最大值？最大值是多少？當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而減??？答：（1）或；例8：（1）利用配方求函數(shù)的對稱軸、頂點坐標(biāo)。（2）利用公式求函數(shù)的對稱軸、頂點坐標(biāo)。，例9：已知二次函數(shù)的圖象的對稱軸是，且最高點在直線上，求這個二次函數(shù)的解析式。答：例10.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，與x軸交于點A（－4，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在拋物線上存在點P，滿足，請直接寫出點P的坐標(biāo)．答：，P的坐標(biāo)為或例11.如圖，拋物線經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的兩個交點A、B，此拋物線與軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D.（1）求此拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上的一個動點，求使：5：4的點P的坐標(biāo)。答：，C，D，，所以，P的坐標(biāo)為或.二次函數(shù)練習(xí)試題一、選擇題二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a,b同號;②當(dāng)和時,函數(shù)值相等;③④當(dāng)時,的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個根分別是（）Ａ．－１.３B.-2.3C已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為（）A.B.C.或D.或二、填空題二次函數(shù)的對稱軸是，則_______。已知拋物線，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是.一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點（－1，2），②當(dāng)＜0時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個即可）。拋物線的頂點為C，已知直線過點C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。三、