中學(xué)數(shù)學(xué) 幾何最值問題 課件

15:57

幾何最值問題解題策略

15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀最值問題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,無論是代數(shù)問題還是幾何問題都有最值問題,在中考?jí)狠S題中出現(xiàn)比較高的頻率。主要有利用重要的幾何結(jié)論(如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊、垂線段最短等)以及用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題.一15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀一、幾何法通過轉(zhuǎn)化思想，將線段等值變換（常用方法：翻折（對(duì)稱）、平移、旋轉(zhuǎn)）

①[定點(diǎn)到定點(diǎn)]：兩點(diǎn)之間，線段最短；②[定點(diǎn)到定線]：點(diǎn)線之間，垂線段最短。由此派生：③[定點(diǎn)到定點(diǎn)]：三角形兩邊之和大于第三邊；④[定線到定線]：平行線之間，垂線段最短；一15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀【解析】本題考查直角坐標(biāo)系中垂線段最短的問題.當(dāng)PM⊥AB時(shí),PM最小,由此可得,∠BPM+∠PBA=∠PBA+∠OAB=90°,∴∠BPM=∠OAB.對(duì)于直線y=

15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀1、【翻折變換類】典型問題：“將軍飲馬”

秘籍12、【平移變換類】典型問題：“造橋選址”一15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀一15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例1（2019安徽）如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F將對(duì)角線AC三等分,且AC=12,點(diǎn)P在正方形的邊上,則滿足PE+PF=9的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是()A.0B.4C.6D.8注意轉(zhuǎn)化到我們的最小值問題上，能否找到PE+PF的最小值，這個(gè)最小值和題目要求的9又存在什么關(guān)系？【解答】解：如圖，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交BC于點(diǎn)N，連接EM，交BC于點(diǎn)H∵點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC＝12，∴EC＝8，F(xiàn)C＝4＝AE，∵點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱∴CF＝CM＝4，∠ACB＝∠BCM＝45°∴∠ACM＝90°∴EM＝＝4則在線段BC存在點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為4＜9在點(diǎn)H右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則PE+PF＝12∴點(diǎn)P在CH上時(shí)，4＜PE+PF≤12在點(diǎn)H左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，BF＝＝2∵AB＝BC，CF＝AE，∠BAE＝∠BCF∴△ABE≌△CBF（SAS）∴BE＝BF＝2∴PE+PF＝4∴點(diǎn)P在BH上時(shí)，4＜PE+PF＜4∴在線段BC上點(diǎn)H的左右兩邊各有一個(gè)點(diǎn)P使PE+PF＝9，同理在線段AB，AD，CD上都存在兩個(gè)點(diǎn)使PE+PF＝9．即共有8個(gè)點(diǎn)P滿足PE+PF＝9，故選：D．15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀一15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)將對(duì)角線AC三等分，且AC=6，連接DE，DF，BE，BF.(3)若P是菱形ABCD的邊上的點(diǎn),則滿足PE+PF=的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是___個(gè)15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀解：不妨假設(shè)點(diǎn)P在線段AD上，作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接FE′交AD于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PF的值最?。?/p>

易知PE+PF的最小值＝2，當(dāng)點(diǎn)P由A運(yùn)動(dòng)到D時(shí)，PE+PF的值由最大值6減小到2再增加到4，∵PE+PE＝，2＜＜4，∴線段AD上存在兩個(gè)點(diǎn)P，滿足PE+PF＝，∴根據(jù)對(duì)稱性可知：菱形ABCD的邊上的存在8個(gè)點(diǎn)P滿足條件．故答案為8．一15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀一15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀解：作A關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交CD于P，則點(diǎn)P就是使|PA﹣PB|的值最大的點(diǎn)，|PA﹣PB|＝A′B，連接A′C，∵△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∠ACB＝90°，∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°，∴∠CAA′＝15°，∵AC＝A′C，∴A′C＝BC，∠CA′A＝∠CAA′＝15°，∴∠ACA′＝150°，∵∠ACB＝90°，∴∠A′CB＝60°，∴△A′BC是等邊三角形，∴A′B＝BC＝4．故最大值為4.一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀模型三：一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀解：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，過點(diǎn)E′作E′M⊥AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P、M即為使PE+PM取得最小值，其PE+PM＝PE′+PM＝E′M，∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)E′在CD上，∵AC＝6，BD＝6，∴AB＝＝3，由S菱形ABCD＝0.5AC?BD＝AB?E′M得0.5×6×6＝3?E′M，解得：E′M＝2，即PE+PM的最小值是2，故選：C．一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀（2017泰安）如圖,正方形ABCD的面積為16,△ABE是等邊三角形,點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi),在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和最小,則這個(gè)最小值為(C)【解析】設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P',連接BD,P'D.∵點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱,∴P'D=P'B,∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE,當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)P'處時(shí),PD+PE最小.∵正方形ABCD的面積為16,∴AB=4,又∵△ABE是等邊三角形,∴BE=AB=4,∴PD+PE的最小值為4.一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀模型三：一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀模型四：一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀如圖,在矩形ABCD中,E是AB邊的中點(diǎn),F在AD邊上,M,N分別是CD,BC邊上的動(dòng)點(diǎn),若AB=AF=2,AD=3,則四邊形EFMN周長的最小值是()一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀解：如圖所示，延長EB至G，使BE＝BG，延長FD到H，使DH＝DF，連接GN，MH，GH．∴BC垂直平分EG，CD垂直平分FH，∴EN＝GN，MF＝MH，∵E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)在AD邊上，AB＝AF＝2，AD＝3，∴EF長不變，AE＝EB＝BG＝1，DF＝DH＝1即AG＝3，AH＝4，∵M(jìn)，N分別是CD，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)G、N、M、H在同一直線上時(shí)，GN+MN+MH＝GH最短，即EN+MN+MF最短，此時(shí)Rt△AGH中，GH＝＝＝5，∴EN+MN+MF＝5，又∵Rt△AEF中，EF＝＝，∴EN+MN+MF+EF的最小值為5+，∴四邊形EFMN周長的最小值是5+，故答案為5+．一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例6解：如圖1所示：作E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E′，點(diǎn)A關(guān)于DC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′E′，四邊形AEPQ的周長最小，∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1，∴AA′＝6，AE′＝4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中點(diǎn)，∴DQ是△AA′E′的中位線，∴DQ＝0.5AE′＝2；CQ＝DC﹣DQ＝3﹣2＝1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴＝，即＝，BP＝，CP＝BC﹣BP＝3﹣＝，S四邊形AEPQ＝S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP＝9﹣0.5AD?DQ﹣0.5CQ?CP﹣0.5BE?BP＝9﹣0.5×3×2﹣0.5×1×﹣0.5×1×＝．故答案為：．第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀5.(2016·武漢)如圖,∠AOB=30°,點(diǎn)M,N分別在邊OA,OB上,且OM=1,ON=3,點(diǎn)P,Q分別在邊OB,OA上,則MP+PQ+QN的最小值是

.

【解析】如圖,作點(diǎn)M關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)M‘,點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N’,連接M‘N’分別交ON,OA于點(diǎn)P,Q,此時(shí)MP+PQ+QN的值最小.由對(duì)稱性質(zhì)知,M‘P=MP,N’Q=NQ,∴MP+PQ+QN=M‘N’.連接ON‘,OM’,則∠M‘OP=∠MOP=∠N’OQ=30°,∴∠N‘OM’=90°,又∵ON‘=ON=3,OM’=OM=1,∴M'N'=

第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀1、【翻折變換類】2、【平移變換類】3、【旋轉(zhuǎn)變換類】OA與OB共用頂點(diǎn)O，固定OA將OB繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中的，會(huì)出現(xiàn)的最大值與最小值，如圖：秘籍2：，，第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀秘籍3：旋轉(zhuǎn)最值模型：單軌跡圓模型：如圖，點(diǎn)B在圓E上，求BD的最值圓中最值模型：1.過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中，直徑最長，垂直與直徑的弦最短。2.“隱圓”中的最值。如圖,AB是O的一條弦,點(diǎn)C是O上一動(dòng)點(diǎn),且∠ACB=30°，點(diǎn)E.F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與O交于G、H兩點(diǎn)。若O的半徑為5，則GE+FH的最大值為___.第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例1.如圖,AB是O的一條弦,點(diǎn)C是O上一動(dòng)點(diǎn),且∠ACB=30°，點(diǎn)E.F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與O交于G、H兩點(diǎn)。若O的半徑為5，則GE+FH的最大值為___.如圖,AB是O的一條弦,點(diǎn)C是O上一動(dòng)點(diǎn),且∠ACB=30°，點(diǎn)E.F分別是AC、BC的中點(diǎn)，直線EF與O交于G、H兩點(diǎn)。若O的半徑為5，則GE+FH的最大值為___.15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀解：如圖1，連接OA、OB，，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∵⊙O的半徑為5，∴AB＝OA＝OB＝5，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴EF＝0.5AB＝2.5，要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，∵當(dāng)弦GH是圓的直徑時(shí)，它的最大值為：5×2＝10，∴GE+FH的最大值為：10﹣2.5＝7.5．故答案為：7.5．一15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例2.(2016·江蘇淮安)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上,并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),將△CEF沿直線EF翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是

.

一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀【解析】本題考查與三角形有關(guān)的折疊的計(jì)算.由于FP的長度是不變的,于是P點(diǎn)在以點(diǎn)F為圓心,以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),由此可確定點(diǎn)P在什么位置時(shí)到邊AB的距離最小.如圖,當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),PF的長固定不變,即PF=CF=2.∴點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心,以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)F作FH⊥AB交☉F于P,垂足為H,此時(shí)PH最短,此時(shí)△AFH∽△ABC,∴

一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀（2019通遼）如圖，在邊長為3的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊上的一點(diǎn)，且AM=AD，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，連接A′C．則A′C長度的最小值是

一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀解：過點(diǎn)M作MH⊥CD交CD延長線于點(diǎn)H，連接CM，∵AM＝AD，AD＝CD＝3∴AM＝1，MD＝2∵CD∥AB，∴∠HDM＝∠A＝60°∴HD＝0.5MD＝1，HM＝HD＝∴CH＝4∴MC＝＝∵將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A′MN，∴AM＝A'M＝1，∴點(diǎn)A'在以M為圓心，AM為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)A'在線段MC上時(shí)，A'C長度有最小值∴A‘C長度的最小值＝MC﹣MA’＝﹣1故答案為：﹣1一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例4如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值為（）解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙O上，連接OC交⊙O于點(diǎn)P，此時(shí)PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值為2．故答案為2．第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀

如圖，△ABC為等邊三角形，AB=2.若P為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為___.解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是弧AC，當(dāng)O、P、B共線時(shí)，PB長度最小，設(shè)OB交AC于D，如圖所示：此時(shí)PA＝PC，OB⊥AC，則AD＝CD＝AC＝1，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝AD?tan30°＝AD＝，BD＝AD＝，∴PB＝BD﹣PD＝．故答案為：．第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀

一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例3如圖1在☉O中,直徑AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,點(diǎn)P在BC上,點(diǎn)Q在☉O上,且OP⊥PQ.如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí),求PQ長的最大值.【解析】本題考查解直角三角形與勾股定理等知識(shí).(1)連接OQ,在Rt△OPB中求出OP的長,在Rt△OPQ中求出PQ的長即可;(2)由勾股定理可知PQ2=OQ2-OP2,OQ的長為定值,則OP最小時(shí),PQ最大,此時(shí)OP⊥BC,即可求解.一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀解：（1）連結(jié)OQ，如圖1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B＝，∴OP＝3tan30°＝，在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，∴PQ＝＝；（2）連結(jié)OQ，如圖2，在Rt△OPQ中，PQ＝＝，當(dāng)OP的長最小時(shí)，PQ的長最大，此時(shí)OP⊥BC，則OP＝0.5OB＝，∴PQ長的最大值為＝．一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法1、在二次函數(shù)圖形內(nèi)的最值（1）理論基礎(chǔ)①列關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，利用關(guān)系式及X的取值范圍求最值如二次函數(shù)中斜三角形面積的最大值求法方法一:如圖1,利用S=ah(a為水平距離,h為鉛垂高)列出函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大值

一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法1、在二次函數(shù)圖形內(nèi)的最值（1）理論基礎(chǔ)②應(yīng)用一元二次方程根的判別式求最值如二次函數(shù)中斜三角形面積的最大值求法方法二:如圖,可轉(zhuǎn)化為求在第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)到直線AB距離的最大值根據(jù)直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn),通過根的判別式來求出最大值

一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法1、在二次函數(shù)圖形內(nèi)的最值（2）考法①線段的最值如圖,在第一象限內(nèi)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D,當(dāng)PD(或PH)最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

一15:57第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法1、在二次函數(shù)圖形內(nèi)的最值（2）考法②面積的最值.如圖,在第一象限內(nèi),拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,當(dāng)三角形ABP面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)

一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法1、在二次函數(shù)圖形內(nèi)的最值（2）考法③周長的最值如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上,頂點(diǎn)C,D在拋物線上,當(dāng)矩形ABCD的周長最大時(shí),求點(diǎn)A的坐析

一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀二、代數(shù)、函數(shù)法2、純幾何圖，通過將圖形中的線段關(guān)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)或者函數(shù)問題解決最值問題

常考直角三角形中求最值問題（1）根據(jù)勾股定理求各邊長（2）利用三角函數(shù)求各邊長（3）直角三角形中斜邊的中線是斜邊的一半（中線長定理）（4）利用中位線定理求值（5）含角的直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀例1一第二部分幾何最值問題解題策略考情分析專題歸納真題回顧小試牛刀解：如圖：當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P在P1處，CP1＝DP1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn)P在P2處，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝0.5CE當(dāng)點(diǎn)F在EC上除點(diǎn)C、E的位置處時(shí)，有DP＝FP由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝0.5CF∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段P1P2，∴當(dāng)BP⊥P1P2