廣西桂林一中2015-2016學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試卷（含解析）新人教版

PAGEPAGE5廣西桂林一中2015-2016學(xué)年八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．2．二次根式有意義的條件是（）A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥33．正方形面積為36，則對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為（）A．6 B． C．9 D．4．如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．5．下組給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．3，4，6 B．15，8，17 C．21，16，18 D．9，12，176．菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線(xiàn)相等 B．對(duì)角線(xiàn)互相垂直C．對(duì)角線(xiàn)互相平分 D．對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等7．能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD8．?ABCD中∠A為50°，則∠B為（）度．A．50 B．40 C．130 D．1509．如圖，在?ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，則EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm10．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若EF=3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（）A．12 B．16 C．20 D．2411．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．1212．如圖，正方形ABCD中，AE=AB，直線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)F，則∠BEF=（）A．45° B．30° C．60° D．55°二、填空題（本大題共6小題，每空3分，共18分）13．若，則m﹣n的值為．14．比較大?。憨?﹣2．15．已知菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為8cm和6cm，那么這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是cm，面積是cm2．16．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則線(xiàn)段CD的長(zhǎng)為．17．如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，則∠AOF=度．18．在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE和PC的長(zhǎng)度之和最小是．三．解答題：（本大題共66分）19．（16分）（2016春?桂林校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（2）（3）（4）．20．已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是cm，寬是cm，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積．21．如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分別交BC、AD于E、F．求證：AF=EC．22．已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．（1）四邊形EFGH的形狀是，證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）你學(xué)過(guò)的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？．23．已知：如圖，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13．（1）求BC的長(zhǎng)度；（2）線(xiàn)段BC與線(xiàn)段BD的位置關(guān)系是什么？說(shuō)明理由．24．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求證：DE∥FC．25．閱讀下面問(wèn)題：；；．試求：（1）的值；（2）（n為正整數(shù)）的值．（3）計(jì)算：．26．（10分）（2011?北京）在?ABCD中，∠BAD的平分線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，交直線(xiàn)DC于點(diǎn)F．（1）在圖1中證明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫(xiě)出∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．

2015-2016學(xué)年廣西桂林一中八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式．【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿(mǎn)足，同時(shí)滿(mǎn)足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【解答】解：A、被開(kāi)方數(shù)含分母，故A錯(cuò)誤；B、被開(kāi)方數(shù)含分母，故B錯(cuò)誤；C、被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因數(shù)，故C錯(cuò)誤；D、被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，故D正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．2．二次根式有意義的條件是（）A．x＞3 B．x＞﹣3 C．x≥﹣3 D．x≥3【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出x+3≥0，求出即可．【解答】解：∵要使有意義，必須x+3≥0，∴x≥﹣3，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件的應(yīng)用，注意：要使有意義，必須a≥0．3．正方形面積為36，則對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為（）A．6 B． C．9 D．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半，且正方形對(duì)角線(xiàn)相等，列方程解答即可．【解答】解：設(shè)對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是x．則有x2=36，解得：x=6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，注意結(jié)論：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半．此題也可首先根據(jù)面積求得正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解．4．如圖所示：數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則a的值是（）A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．【考點(diǎn)】勾股定理；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【分析】先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2，∴斜邊長(zhǎng)為：=，∴﹣1到A的距離是，那么點(diǎn)A所表示的數(shù)為：﹣1．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式，解答此題時(shí)要注意，確定點(diǎn)A的符號(hào)后，點(diǎn)A所表示的數(shù)是距離原點(diǎn)的距離．5．下組給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．3，4，6 B．15，8，17 C．21，16，18 D．9，12，17【考點(diǎn)】勾股數(shù)．【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．【解答】解：A、42+32≠62，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；B、82+152=172，能構(gòu)成勾股數(shù)，故正確；C、162+182≠212，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤；D、92+122≠172，不能構(gòu)成勾股數(shù)，故錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】解答此題要用到勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿(mǎn)足a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形．6．菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線(xiàn)相等 B．對(duì)角線(xiàn)互相垂直C．對(duì)角線(xiàn)互相平分 D．對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．【分析】菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分，矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是對(duì)角線(xiàn)互相平分．【解答】解：菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是對(duì)角線(xiàn)互相平分．故本題選C．【點(diǎn)評(píng)】熟悉菱形和矩形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7．能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD【考點(diǎn)】平行四邊形的判定．【分析】直接利用平行四邊形的判定定理判定，即可求得答案．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．【解答】解：A、AB∥CD，AD=BC，則四邊形ABCD是平行四邊形或等腰梯形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、AB=CD，AD=BC，則四邊形ABCD為平行四邊形；故本選項(xiàng)正確；C、∠A=∠B，∠C=∠D，則四邊形為等腰梯形或矩形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、AB=AD，CB=CD，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定．注意掌握舉反例的解題方法是解此題的關(guān)鍵．8．?ABCD中∠A為50°，則∠B為（）度．A．50 B．40 C．130 D．150【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)即可得出∠B的度數(shù)．【解答】解：∵在?ABCD中∠A=50°，∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)．9．如圖，在?ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，則EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)可以推導(dǎo)出等角，進(jìn)而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根據(jù)AD、AB的值，求出EC的值．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∴∠BAE=∠BEA∴BE=AB=3∵BC=AD=5∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當(dāng)出現(xiàn)角平分線(xiàn)時(shí)，一般可構(gòu)造等腰三角形，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．10．如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若EF=3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（）A．12 B．16 C．20 D．24【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形中位線(xiàn)定理．【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出BC，再根據(jù)菱形的周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線(xiàn)，∴BC=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4BC=4×6=24．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的四條邊都相等，三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半，求出菱形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為（）A．6 B．8 C．10 D．12【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【分析】因?yàn)锽C為AF邊上的高，要求△AFC的面積，求得AF即可，求證△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，設(shè)D′F=x，則在Rt△AFD′中，根據(jù)勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到結(jié)果．【解答】解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′F=BF，設(shè)D′F=x，則AF=8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=?AF?BC=10．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換﹣折疊問(wèn)題，勾股定理的正確運(yùn)用，本題中設(shè)D′F=x，根據(jù)直角三角形AFD′中運(yùn)用勾股定理求x是解題的關(guān)鍵．12．如圖，正方形ABCD中，AE=AB，直線(xiàn)DE交BC于點(diǎn)F，則∠BEF=（）A．45° B．30° C．60° D．55°【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】先設(shè)∠BAE=x°，根據(jù)正方形性質(zhì)推出AB=AE=AD，∠BAD=90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠AEB和∠AED的度數(shù)，根據(jù)平角定義求出即可．【解答】解：設(shè)∠BAE=x°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，AB=AD，∵AE=AB，∴AB=AE=AD，∴∠ABE=∠AEB=（180°﹣∠BAE）=90°﹣x，∠DAE=90°﹣x°，∠AED=∠ADE=（180°﹣∠DAE）=[180°﹣（90°﹣x°）]=45°+x°，∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED=180°﹣（90°﹣x°）﹣（45°+x°）=45°．答：∠BEF的度數(shù)是45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是如何把已知角的未知角結(jié)合起來(lái)，題目比較典型，但是難度較大．二、填空題（本大題共6小題，每空3分，共18分）13．若，則m﹣n的值為4．【考點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【分析】根據(jù)任何非負(fù)數(shù)的平方根以及偶次方都是非負(fù)數(shù)，兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這兩個(gè)非負(fù)數(shù)一定都是0，即可得到關(guān)于m．n的方程，從而求得m，n的值，進(jìn)而求解．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得：．則m﹣n=3=（﹣1）=4．故答案是：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．14．比較大小：﹣3＜﹣2．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較．【分析】先把兩數(shù)平方，再根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法即可比較大?。窘獯稹拷猓骸撸?）2=18，（2）2=12，∴﹣3＜﹣2．故答案為：＜．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，實(shí)數(shù)大小比較法則：（1）正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；（2）兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而?。?5．已知菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為8cm和6cm，那么這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是20cm，面積是24cm2．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；勾股定理．【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分求出兩對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半，然后利用勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)周長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解；根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線(xiàn)乘積的一半列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為8cm和6cm，∴菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)的一半分別為4cm和3cm，根據(jù)勾股定理，邊長(zhǎng)==5cm，所以，這個(gè)菱形的周長(zhǎng)是5×4=20cm，面積=×8×6=24cm2．故答案為：20，24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分是解題的關(guān)鍵，另外，菱形的面積可以利用底乘以高，也可以利用對(duì)角線(xiàn)乘積的一半求解．16．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，則線(xiàn)段CD的長(zhǎng)為．【考點(diǎn)】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線(xiàn)；勾股定理的逆定理．【分析】本題考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)，利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：觀察圖形AB==，AC==3，BC==2∴AC2+BC2=AB2，∴三角形為直角三角形，∵直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半∴CD=．【點(diǎn)評(píng)】解決此類(lèi)題目要熟記斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半．注意勾股定理的應(yīng)用．17．如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，則∠AOF=90度．【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)．【分析】先根據(jù)平行四邊形的判定定理得出四邊形AEDF為平行四邊形，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠1=∠3，故可得出?AEDF為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE．∴?AEDF為菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．故答案為：90．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意判斷出四邊形AEDF是菱形是解答此題的關(guān)鍵．18．在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PE和PC的長(zhǎng)度之和最小是．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題；正方形的性質(zhì)．【分析】連接AC、AE，由正方形的性質(zhì)可知A、C關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)，故AE的長(zhǎng)即為PE+PC的最小值，再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖所示：連接AC、AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)，∴AE的長(zhǎng)即為PE+PC的最小值，∵BE=2，CE=1，∴BC=AB=2+1=3，在Rt△ABE中，∵AE===，∴PE與PC的和的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題及正方形的性質(zhì)，熟知“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題：（本大題共66分）19．（16分）（2016春?桂林校級(jí)期中）計(jì)算：（1）（2）（3）（4）．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【分析】（1）首先化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并同類(lèi)二次根式進(jìn)而得出答案；（2）直接利用二次根式除法運(yùn)算法則求出答案；（3）直接利用平方差公式計(jì)算得出答案；（4）利用完全平方公式以及二次根式乘法運(yùn)算法則求出答案．【解答】解：﹙1﹚原式=2+2﹣3+=3﹣；﹙2﹚原式==；﹙3﹚原式=﹙3﹚2﹣﹙2﹚2=18﹣12=6；﹙4﹚原式=2﹣2+3+6=5﹣2+2=5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．20．已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是cm，寬是cm，求這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積．【考點(diǎn)】二次根式的應(yīng)用．【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式列式，然后化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式即可；根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列式，然后根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：周長(zhǎng)=2（+），=2（3+2），=（6+4）cm；面積=×，=3×2，=6cm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，主要利用了長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與面積公式以及二次根式的加法和乘法運(yùn)算．21．如圖，已知?ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分別交BC、AD于E、F．求證：AF=EC．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，∠BAD=∠BCD，證出∠DAE=∠AEB，由已知條件得出∠DAE=∠FCB=∠AEB，證出AE∥FC，得出四邊形AECF為平行四邊形，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC∠BAD=∠BCD，∴AF∥EC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，∴∠DAE=∠BAD，∠FCB=∠BCD，∴∠DAE=∠FCB=∠AEB，∴AE∥FC，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AF=CE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)與判定；證明四邊形AECF為平行四邊形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足互相垂直條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）你學(xué)過(guò)的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？菱形．【考點(diǎn)】中點(diǎn)四邊形．【分析】（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理得到EH∥BD，EH=BD，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G═BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足AC⊥BD的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根據(jù)矩形的每一個(gè)角都是直角可得∠1=90°，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求出∠3=90°，再根據(jù)垂直定義解答．【解答】解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：如圖，連結(jié)BD．∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，∴EH∥BD，EH=BD，同理FG∥BD，F(xiàn)G=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足互相垂直的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．理由如下：如圖，連結(jié)AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴平行四邊形EFGH是矩形；（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．理由如下：如圖，連結(jié)AC、BD．∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，∴EH∥BD，HG∥AC，F(xiàn)G∥BD，EH=BD，F(xiàn)G=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四邊形EFGH是矩形．故答案為：平行四邊形；互相垂直；菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)三角形的中位線(xiàn)定理，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，熟練掌握各定理是解決此題的關(guān)鍵．23．已知：如圖，AB=3，AC=4，AB⊥AC，BD=12，CD=13．（1）求BC的長(zhǎng)度；（2）線(xiàn)段BC與線(xiàn)段BD的位置關(guān)系是什么？說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)度；（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理即可判斷BC⊥BD．【解答】解：（1）∵AB=3，AC=4，AB⊥AC，∴BC==5；（2）BC⊥BD，理由如下：∵BC=5，BD=12，CD=13，∴BC2+BD2=25+144=169=132=CD2，∴∠CBD=90°，∴BC⊥BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理及其逆定理，利用勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．24．如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，BC=5，CF=3，BF=4．求證：DE∥FC．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的逆定理．【分析】首先由四邊形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，易得BC=DC，∠BCF=∠ECD，又由CE=CF，利用SAS即可證得△BCF≌△DCE，再延長(zhǎng)BF交DE于H，由△BCF≌△DCE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得BF=DE，又由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，易求得∠CDE+∠2=90°，則可得BF⊥DE，再根據(jù)由BC=5，CF=3，∠BFC=90°，利用勾股定理即可求得BF的長(zhǎng)，又由△BCF≌△DCE，即可得DE的長(zhǎng)，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°，進(jìn)而證明DE∥FC．【解答】證明：延長(zhǎng)BF交DE于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，BC=CD，∴∠BCF+∠FCD=90°，∵△ECF是等腰直角三角形，CF=CE，∴∠ECD+∠FCD=90°，∴∠BCF=∠ECD．在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），延長(zhǎng)BF交DE于H，∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，∵∠CBF+∠1=90°，∠1=∠2，∴∠2+∠CDE=90°，∴∠DHF=90°，∴BF⊥DE，在△BFC中，BC=5，CF=3，∠BFC=90°，∴BF==4．∵△BCF≌△DCE，∴DE=BF=4，∠BFC=∠DEC=∠FCE=90°．∴DE∥FC．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．25．閱讀下面問(wèn)題：；；．試求：（1）的值；（2）（n為正整數(shù)）的值．（3）計(jì)算：．【考點(diǎn)】分母有理化．【分析】（1）（2）仿照題目所給的分母有理化的方法進(jìn)行計(jì)算；（3）將每一個(gè)二次根式分母有理化，再尋找抵消規(guī)律．【解答】解：（1）===﹣；（2）===﹣；（3）原式=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣=﹣1=10﹣1=9．【點(diǎn)評(píng)】主要考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．即一項(xiàng)符號(hào)和絕對(duì)值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對(duì)值相同．26．（10分）（2011?北京）在?ABCD中，∠BAD的平分線(xiàn)交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，交直線(xiàn)DC于點(diǎn)F．（1）在圖1中證明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），直接寫(xiě)出∠BDG的度數(shù)；（3）若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，分別連接DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．【考點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角