數(shù)學(xué)軟件MATLAB學(xué)習(xí)報(bào)告

數(shù)學(xué)軟件MATLAB學(xué)習(xí)報(bào)告信計(jì)1002班41064053趙小跑在這個(gè)小學(xué)期里我們用了為期一周的時(shí)間學(xué)習(xí)了作為“三大數(shù)學(xué)軟件”之一的MATLAB。現(xiàn)在，我就此次學(xué)習(xí)作個(gè)簡(jiǎn)單的報(bào)告。MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室（MatrixLaboratory）的簡(jiǎn)稱，是主要面對(duì)科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，并將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，因此在各個(gè)領(lǐng)域都有很廣泛的應(yīng)用。所以，對(duì)于數(shù)學(xué)系的我們，學(xué)好這個(gè)軟件，對(duì)我們將來(lái)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和研究有很重要的意義。接下來(lái)，我就矩陣運(yùn)算來(lái)談?wù)勥@次學(xué)習(xí)的收獲。1、矩陣的建立（1）直接輸入法。具體方法如下：將矩陣的元素用方括號(hào)括起來(lái)，按矩陣行的順序輸入各元素，同一行的各元素之間用空格或逗號(hào)分隔，不同行的元素之間用分號(hào)分隔。例：A=[1,2,3,;4,5,6;7,8,9]A=123456789（2）利用M文件建立矩陣。對(duì)于比較大且比較復(fù)雜的矩陣，可以為它專門建立一個(gè)M文件。下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單例子來(lái)說(shuō)明如何利用M文件創(chuàng)建矩陣。例：利用M文件建立MYMAT矩陣。具體步驟如下:eq\o\ac(○,1)啟動(dòng)有關(guān)編輯程序或MATLAB文本編輯器，并輸入待建矩陣：eq\o\ac(○,2)把輸入的內(nèi)容以純文本方式存盤(pán)(設(shè)文件名為mymatrix.m)。eq\o\ac(○,3)在MATLAB命令窗口中輸入mymatrix，即運(yùn)行該M文件，就會(huì)自動(dòng)建立一個(gè)名為MYMAT的矩陣，可供以后使用。（3）利用冒號(hào)表達(dá)式建立一個(gè)向量。冒號(hào)表達(dá)式可以產(chǎn)生一個(gè)行向量，一般格式是：e1:e2:e3其中e1為初始值，e2為步長(zhǎng)，e3為終止值。在MATLAB中，還可以用linspace函數(shù)產(chǎn)生行向量。其調(diào)用格式為：linspace(a,b,n)其中a和b是生成向量的第一個(gè)和最后一個(gè)元素，n是元素總數(shù)。linspace(a,b,n)與a:(b-a)/(n-1):b等價(jià)。（4）建立大矩陣。大矩陣可由方括號(hào)中的小矩陣或向量建立起來(lái)。2、矩陣的拆分（1）矩陣元素。eq\o\ac(○,1)通過(guò)下標(biāo)引用矩陣的元素。例：>>A=[3,5,8,7;6,12,5,9;5,8,9,18;3,8,4,16]:A=3587612595891838416>>A(3,2)ans=8eq\o\ac(○,2)采用矩陣元素的序號(hào)來(lái)引用矩陣元素。矩陣元素的序號(hào)就是相應(yīng)元素在內(nèi)存中的排列順序。在MATLAB中，矩陣元素按列存儲(chǔ)，先第一列，再第二列，依次類推。例：>>A=[1,2,3;4,5,6];A(3)ans=2顯然，序號(hào)(Index)與下標(biāo)(Subscript)是一一對(duì)應(yīng)的，以m×n矩陣A為例，矩陣元素A(i,j)的序號(hào)為(j-1)*m+i。其相互轉(zhuǎn)換關(guān)系也可利用sub2ind和ind2sub函數(shù)求得。（2）矩陣拆分。eq\o\ac(○,1)利用冒號(hào)表達(dá)式獲得子矩陣。A(:,j)表示取A矩陣的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩陣第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩陣第i行、第j列的元素。A(i:i+m,:)表示取A矩陣第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩陣第k～k+m列的全部元素；A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩陣第i～i+m行內(nèi)，并在第k～k+m列中的所有元素。此外，還可利用一般向量和end運(yùn)算符來(lái)表示矩陣下標(biāo)，從而獲得子矩陣。end表示某一維的末尾元素下標(biāo)。eq\o\ac(○,2)利用空矩陣刪除矩陣的元素。在MATLAB中，定義[]為空矩陣。給變量X賦空矩陣的語(yǔ)句為X=[]。注意：X=[]與clearX不同，clear是將X從工作空間中刪除，而空矩陣則存在于工作空間中，只是維數(shù)為0。3、特殊矩陣。（1）通用的特殊矩陣。常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣。randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。例1：eq\o\ac(○,1)建立一個(gè)3×3零矩陣。>>zeros(3)ans=000000000eq\o\ac(○,2)建立一個(gè)3×2零矩陣。>>zeros(3,2)ans=000000eq\o\ac(○,3)設(shè)A為2×3矩陣，則可以用zeros(size(A))建立一個(gè)與矩陣A同樣大小零矩陣。>>A=[123;456];>>zeros(size(A))ans=000000例2：建立隨機(jī)矩陣。eq\o\ac(○,1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。>>x=20+(50-20)*rand(5)x=48.503942.862938.463032.171221.736726.934233.694043.758148.064130.586038.205320.555147.654447.507144.395034.579544.642242.146232.308120.295846.739033.341125.288046.809524.1667eq\o\ac(○,2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。>>y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)y=0.46320.97660.54100.63600.69310.07330.97600.82950.93730.17750.63960.58810.41400.61870.82590.69100.70351.29040.56981.11340.23750.65520.55690.33680.3812（2）用于專門學(xué)科的特殊矩陣。eq\o\ac(○,1)范得蒙矩陣。范得蒙矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積?？梢杂靡粋€(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例：>>A=vander([1;2;3;5])A=11118421279311252551eq\o\ac(○,2)伴隨矩陣。MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例：求多項(xiàng)式的x3-7x+6的伴隨矩陣。>>p=[1,0,-7,6];compan(p)ans=07-6100010eq\o\ac(○,3)帕斯卡矩陣。我們知道，二次項(xiàng)(x+y)n展開(kāi)后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣。例：求(x+y)4的展開(kāi)式。>>pascal(5)ans=111111234513610151410203515153570矩陣次對(duì)角線上的元素1,4,6,4,1即為展開(kāi)式的系數(shù)。4、矩陣的MATLAB運(yùn)算。（1）矩陣的基本運(yùn)算。假定有兩個(gè)矩陣A和B，則可以由A+B和A-B實(shí)現(xiàn)矩陣的加減運(yùn)算。運(yùn)算規(guī)則是：若A和B矩陣的維數(shù)相同，則可以執(zhí)行矩陣的加減運(yùn)算，A和B矩陣的相應(yīng)元素相加減。如果A與B的維數(shù)不相同，則MATLAB將給出錯(cuò)誤信息，提示用戶兩個(gè)矩陣的維數(shù)不匹配。其他運(yùn)算如下：數(shù)乘k*A（K是一個(gè)數(shù)，A是一個(gè)矩陣）矩陣的左除A\B（AX=B,X=A-1B,A必須是方陣）矩陣的右除A/B（XB=A,X=AB-1,B必須是方陣）行列式的秩det(A)（A必須為方陣）矩陣的逆Inv(A)（A必須為方陣，|A|?0）矩陣的乘冪A^n（A必須為方陣，n是正整數(shù)）矩陣行變換化簡(jiǎn)rref(A)（求A階梯形的行最簡(jiǎn)形式）例1：求方程組的解。法一：求逆法>>A=[2,3;1,-1];b=[4;1]X=inv(A)*bb=41X=1.40000.4000法二：左除與右除法>>A=[2,3;1,-1];>>b=[4;1]b=41>>X=A\bX=1.40000.4000例2：求齊次線性方程組的通解。>>A=[1-8102;245-1;386-2];>>rref(A)ans=1.000004.0000001.0000-0.7500-0.25000000分析：將0=0的一行去掉，則原方程組等價(jià)于，方程的個(gè)數(shù)<未知量個(gè)數(shù)，有無(wú)窮多個(gè)解例3：求非齊次方程的解。>>A=[42-1;3-12;1130];>>b=[2;10;8];>>B=([A,b])B=42-123-121011308>>rref(B)ans=1.000000.3000001.0000-1.100000001.0000結(jié)果分析：行最簡(jiǎn)形式中最后一行出現(xiàn)了零等于非零的情況，故方程組無(wú)解。（2）矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式。p=poly(A)若A為矩陣，則p為A的特征多項(xiàng)式系數(shù)；若A為行向量，則p為以A為根的特征多項(xiàng)式系數(shù)poly2str(p,’x’)特征多項(xiàng)式。例1：>>A=[1,-1;2,4];>>p=poly(A)p=1-56>>poly2str(p,'x')ans=x^2-5x+6例2：>>A=[1,-1;2,4];[V,D]=eig(A)V=方陣A的特征向量矩陣-0.70710.44720.7071-0.8944D=方陣A的特征值矩陣2003例3：產(chǎn)生5階隨機(jī)方陣A，其元素為[10,90]區(qū)間的隨機(jī)整數(shù)，然后判斷A的元素是否能被3整除。eq\o\ac(○,1)生成5階隨機(jī)方陣A。>>A=fix((90-10+1)*rand(5)+10)A=86715942142846748538591184847549766943108246248221eq\o\ac(○,2)判斷A的元素是否可以被3整除。>>P=rem(A,3)==0P=0001000000001110010000101則為1的位置對(duì)應(yīng)在原矩陣中的數(shù)字即為能被3整除的數(shù)字。（3）矩陣的邏輯運(yùn)算。MATLAB提供了3種邏輯運(yùn)算符：&(與)、|(或)和～(非)。邏輯運(yùn)算的運(yùn)算法則為：eq\o\ac(○,1)在邏輯運(yùn)算中，確認(rèn)非零元素為真，用1表示，零元素為假，用0表示。eq\o\ac(○,2)設(shè)參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)標(biāo)量a和b，那么，a&ba,b全為非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1，否則為0。a|ba,b中只要有一個(gè)非零，運(yùn)算結(jié)果為1?！玜當(dāng)a是零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為1；當(dāng)a非零時(shí)，運(yùn)算結(jié)果為0。eq\o\ac(○,3)若參與邏輯運(yùn)算的是兩個(gè)同維矩陣，那么運(yùn)算將對(duì)矩陣相同位置上的元素按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與原矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。eq\o\ac(○,4)若參與邏輯運(yùn)算的一個(gè)是標(biāo)量，一個(gè)是矩陣，那么運(yùn)算將在標(biāo)量與矩陣中的每元素之間按標(biāo)量規(guī)則逐個(gè)進(jìn)行。最終運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)與矩陣同維的矩陣，其元素由1或0組成。eq\o\ac(○,5)邏輯非是單目運(yùn)算符，也服從矩陣運(yùn)算規(guī)則。eq\o\ac(○,6)在算術(shù)、關(guān)系、邏輯運(yùn)算中，算術(shù)運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最高，邏輯運(yùn)算優(yōu)先級(jí)最低。例：建立矩陣A，然后找出大于4的元素的位置。>>A=[4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0]A=4-65-540656067-450>>find(A>4)ans=2695、矩陣分析。（1）對(duì)角陣。eq\o\ac(○,1)提取矩陣的對(duì)角線元素設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角線的元素。eq\o\ac(○,2)構(gòu)造對(duì)角矩陣。設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。例：先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。>>A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19]D=diag(1:5);D*AA=1701015235714164013022101219213111825219ans=1701015461014283212039066404876841255901251095（2）三角陣。eq\o\ac(○,1)上三角矩陣。求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對(duì)角線以上的元素，形成新的矩陣B。eq\o\ac(○,2)下三角矩陣在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。例：創(chuàng)建一個(gè)5×5矩陣，提取主對(duì)角線以上的部分。>>rand(6)ans=0.20280.74680.52520.37950.18970.69790.19870.44510.20260.83180.19340.37840.60380.93180.67210.50280.68220.86000.27220.46600.83810.70950.30280.85370.19880.41860.01960.42890.54170.59360.01530.84620.68130.30460.15090.4966>>triu(rand(6))ans=0.89980.28970.56810.62130.97970.011800.34120.37040.79480.27140.8939000.70270.95680.25230.19910000.52260.87570.298700000.73730.6614000000.2844（3）矩陣的轉(zhuǎn)置。轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)(‘)。例：>>A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19]A=1701015235714164013022101219213111825219A'ans=17234101105012181713192501402121