級(jí)多項(xiàng)式方程求根

推導(dǎo)公式f(x)≡a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0多項(xiàng)式f(x)除以(x-xk),設(shè)商為Q(x)=b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1余數(shù)為bn,則f(x)=(x-xk)Q(x)+bn將f(x)和Q(x)

代入上式,有a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=(x-xk)(b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1)+bn=b0xn+(b1-xkb0)xn-1+

(b2-xkb1)xn-2+……+bn-xkbn-1由兩個(gè)多項(xiàng)式相等的充要條件,得b0=a0b1=a1+xkb0b2=a2+xkb1……bn=an+xkbn-1遞推關(guān)系式

(2)(1)

f(xk)的計(jì)算格式

設(shè)xk是方程f(x)=0的近似解說(shuō)明實(shí)際上是用秦九韶計(jì)算順序計(jì)算f(xk)

=bn.多項(xiàng)式Q(x)除以(x-xk),設(shè)商為H(x)=c0xn-2+c1xn-3+……+cn-3x+cn-2余數(shù)為cn-1

,則Q(x)=(x-xk)H(x)+cn-1將Q(x)和H(x)

代入上式,有b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1=(x-xk)(c0xn-2+c1xn-3+……+cn-3x+cn-2)+cn-1=c0xn-1+(c1-xkc0)xn-2+

(c2-xkc1)xn-3+……+cn-1-xkcn-2由兩個(gè)多項(xiàng)式相等的充要條件,得c0=b0c1=b1+xkc0……cn-1=bn-1+xkcn-2遞推關(guān)系式

對(duì)f

(x)=(x-xk)Q(x)+bn求導(dǎo),得并考慮到式(3)式,有(3)(2)

f′(xk)的計(jì)算格式

Q(x)=b0xn-1+b1xn-2+……+bn-2x+bn-1(3)牛頓法求多項(xiàng)式方程的根的計(jì)算步驟①取x0=0,或找出初始值x0.②對(duì)k=0,1,2,…,計(jì)算③誤差判斷

，或用|xk+1-xk|例1設(shè)f(x)=x3

–x2+2x+5,若取x0=-1,用遞推公式計(jì)算f(xk),f'

(xk),并按牛頓迭代過(guò)程計(jì)算xk+1

,k=0,1,….計(jì)算結(jié)果如表1所示.0-11-2411-370.1428571-1.1428571-2.1428574.448979-0.0845461-3.2857149.141426-0.010305

2-1.1298071-2.1298074.406241-0.0217641-3.2596148.0890060.0026913-1.1324981-2.1324984.415050-0.0000351-3.2649968.089006-0.000004

4-1.1324941-2.1324944.415037-0.000003表12.

劈因子法(

牛頓法的推廣

)使用范圍

求實(shí)多項(xiàng)式的復(fù)根思想方法從多項(xiàng)式的某個(gè)近似二次因式出發(fā),用迭代的方法,使之逐步精確,求出滿足精度要求的數(shù)值解.(1)推導(dǎo)公式f(x)≡a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0f(x)除以x2+ux+v,設(shè)商為p(x)=b0xn-2+b1xn-3+……+bn-3x+bn-2余數(shù)為r0x+r1,因此,有f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1r0,r1都是u,v的函數(shù),即若r0,r1越小,x2+ux+v越接近f(x)的二次因式；若r0=0,r1=0，則x2+ux+v是f(x)的二次因式,但是,x2+ux+v是f(x)的近似二次因式,設(shè)x2+ux+v為f(x)的一個(gè)近似二次因式，因此,r0

≠0,r1≠0,解關(guān)于u,v的非線性方程組設(shè)其真解為(u*,v*),則有且x2+u*x+v*是f(x)的精確二次因式.將其左端在(u,v)展開(kāi)到一階項(xiàng)令運(yùn)用牛頓切線法的思想將非線性方程線性化，解關(guān)于線性方程組得到增量,可得到改進(jìn)的二次因式其解比x2+ux+v的解更接近真解,因此,上式是x2+ux+v的改進(jìn)式.f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1下面說(shuō)明方程組(5)系數(shù)的計(jì)算方法.且x2+u*x+v*是f(x)的精確二次因式.下求的近似解①

r0,r1的計(jì)算

下面說(shuō)明方程組(5)系數(shù)的計(jì)算方法.將p(x)=b0xn-2+b1xn-3+……+bn-3x+bn-2代入f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1比較系數(shù)，得f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-1x+anb0=a0b1=a1-ub0b2=a2-ub1-vb0……bn-2=an-2-ubn-3-vbn-4r0=an-1-ubn-2-vbn-3r1=an-vbn-2②

的計(jì)算

將f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1對(duì)v求偏導(dǎo)數(shù),注意x2+ux+v是v的函數(shù),p(x)是f(x)除以x2+ux+v的商,故p(x)也是v的函數(shù),f(x)和v無(wú)關(guān),因此有或r1=bn+ubn-1或r0=bn-1②

的計(jì)算

將f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1對(duì)v求偏導(dǎo)數(shù),注意x2+ux+v是v的函數(shù),p(x)是f(x)除以x2+ux+v的商,故p(x)也是v的函數(shù),f(x)與v無(wú)關(guān),因此有其中為n-4次多項(xiàng)式，記為代入(6)式,并與p(x)表達(dá)式相比較,有相應(yīng)的遞推關(guān)系c0=b0c1=b1-ub0……ci=bi-uci-1-vci-2(i=2,3,…,n-3)s0=bn-3-ucn-4-vcn-5s1=cn-2+ucn-3……p(x)=b0xn-2+b1xn-3+……+bn-3x+bn-2或s0=cn-3cn-4=bn-4-ucn-5-vcn-6或s1=bn-2-vcn-4由(6)式知③

的計(jì)算

將f(x)=(x2+ux+v)p(x)+r0x+r1對(duì)u求偏導(dǎo)數(shù),有式(6)兩端乘x,并整理,有

比較(7)式與(8)式,有注

初始近似二次因式可從物理背景給出,也可從數(shù)學(xué)上估計(jì).以上這種由f(x)=0的近似二次因式x2+ux+v,求出更精確的二次因式的方法稱為劈因子法.設(shè)f(x)=xn+a1xn-1+……+an-2x2+an-1x+an,則其末尾二次因式是該多項(xiàng)式的一對(duì)最小復(fù)根的近似二次因式.證設(shè)方程f(x)=0的n個(gè)根由根與系數(shù)的關(guān)系（Vieta定理）有因此有即是對(duì)應(yīng)于一對(duì)最小復(fù)根的近似二次因式.(2)估計(jì)代數(shù)多項(xiàng)式二次因式的一種方法例2用劈因子法求x4

+8x3

+39x2-62x+50=0的一對(duì)最小復(fù)根的二次因式.解取對(duì)應(yīng)一對(duì)最小復(fù)根的尾部二次式x2

-1.6x+1.3作為初始近似二次因式.計(jì)算結(jié)果如表2所示.0-1.61.3

1-6.427.6-9.744-1.28841-4.818.4826.064-0.36280.63331-1.96281.9333

1-6.037225.2169-0.8325-0.38191-4.074415.286437.0487-0.036840.066072-1.99961.9994

1-6.000425.0022-0.0084-0.00221-4.000815.002837.9904-0.00040.0007表22-1.99961.99941-6.000425.0022-0.0084-0.00221-4.000815.002837.9904-0.00040.00073-2.00002.00011-6.000024.99990.0004-0.00151-4.000014.999838.000-0.0001

4-2.00002.0001-6.