截面的幾何性質

-.z.附錄Ⅰ截面的幾何性質§I?1截面的靜矩和形心位置dACzydACzyyyCzCO圖I?1z〔I?1〕分別定義為該截面對于z軸和y軸的靜矩。靜矩可用來確定截面的形心位置。由靜力學中確定物體重心的公式可得利用公式〔I?1〕，上式可寫成〔I?2〕或〔I?3〕〔I?4〕如果一個平面圖形是由假設干個簡單圖形組成的組合圖形，則由靜矩的定義可知，整個圖形對*一坐標軸的靜矩應該等于各簡單圖形對同一坐標軸的靜矩的代數(shù)和。即：〔I?5〕式中Ai、yci和zci分別表示*一組成局部的面積和其形心坐標，n為簡單圖形的個數(shù)。將式〔I?5〕代入式〔I?4〕，得到組合圖形形心坐標的計算公式為〔I?6〕yC0.12m0.4myⅡyⅠⅠ0.6myC0.12m0.4myⅡyⅠⅠ0.6m0.2mOyzⅠⅡCⅠⅠCⅡC例題I?1圖解：建立直角坐標系zOy，其中y為截面的對稱軸。因圖形相對于y軸對稱，其形心一定在該對稱軸上，因此zC=0，只需計算yC值。將截面分成Ⅰ、Ⅱ兩個矩形，則AⅠ=0.072m2，AⅡ=yⅠ=0.46m，yⅡ=0.2m§I?2慣性矩、慣性積和極慣性矩dAρyyO圖I?2zz如圖I?2所示平面圖形代表一任意截面，在圖形平面建立直角坐標系zOy。現(xiàn)在圖形取微面積dA，dA的形心在坐標系zOy中的坐標為y和z，到坐標原點的距離為ρ?，F(xiàn)定義y2dA和z2dA為微面積dA對z軸和y軸的慣性矩，dAρyyO圖I?2zz〔I?7〕分別定義為該截面對于z軸和y軸的慣性矩以及對坐標原點的極慣性矩。由圖〔I?2〕可見，，所以有〔I?8〕即任意截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的兩任意正交坐標軸的慣性矩之和。另外，微面積dA與它到兩軸距離的乘積zydA稱為微面積dA對y、z軸的慣性積，而積分〔I?9〕定義為該截面對于y、z軸的慣性積。從上述定義可見，同一截面對于不同坐標軸的慣性矩和慣性積一般是不同的。慣性矩的數(shù)值恒為正值，而慣性積則可能為正，可能為負，也可能等于零。慣性矩和慣性積的常用單位是m4或mm4。zdACzzdACz1y1y1abO圖I?3z1yzy一、慣性矩、慣性積的平行移軸公式圖I?3所示為一任意截面，z、y為通過截面形心的一對正交軸，z1、y1為與z、y平行的坐標軸，截面形心C在坐標系z1Oy1中的坐標為〔b，a〕，截面對z、y軸慣性矩和慣性積為Iz、Iy、Iyz，下面求截面對z1、y1軸慣性矩和慣性積Iz1、Iy1、Iy1z1?！睮?10〕同理可得〔I?11〕式〔I?10〕、〔I?11〕稱為慣性矩的平行移軸公式。下面求截面對y1、z1軸的慣性積。根據(jù)定義由于z、y軸是截面的形心軸，所以Sz=Sy=0，即〔I?12〕式〔I?12〕稱為慣性積的平行移軸公式。二、慣性矩、慣性積的轉軸公式圖〔I?4〕所示為一任意截面，z、y為過任一點O的一對正交軸，截面對z、y軸慣性矩Iz、Iy和慣性積Iyz?，F(xiàn)將z、y軸繞O點旋轉α角〔以逆時針方向為正〕得到另一對正交軸z1、y1軸，下面求截面對z1、y1軸慣性矩和慣性積、、。yy1yz1zαααdAz1zyy1O圖I?4〔I?13〕同理可得〔I?14〕〔I?15〕式〔I?13〕、〔I?14〕稱為慣性矩的轉軸公式，式〔I?15〕稱為慣性積的轉軸公式?！霫?4形心主軸和形心主慣性矩一、主慣性軸、主慣性矩由式〔I?15〕可以發(fā)現(xiàn)，當α=0o，即兩坐標軸互相重合時，；當α=90o時，，因此必定有這樣的一對坐標軸，使截面對它的慣性積為零。通常把這樣的一對坐標軸稱為截面的主慣性軸，簡稱主軸，截面對主軸的慣性矩叫做主慣性矩。假設將z、y軸繞O點旋轉α0角得到主軸z0、y0，由主軸的定義從而得〔I?16〕上式就是確定主軸的公式，式中負號放在分子上，為的是和下面兩式相符。這樣確定的α0角就使得等于。由式〔I?16〕及三角公式可得將此二式代入到式〔I?13〕、〔I?14〕便可得到截面對主軸z0、y0的主慣性矩〔I?17〕二、形心主軸、形心主慣性矩通過截面上的任何一點均可找到一對主軸。通過截面形心的主軸叫做形心主軸，截面對形心主軸的慣性矩叫做形心主慣性矩。例題I?5求例I?1中截面的形心主慣性矩。解：在例題I?1中已求出形心位置為，過形心的主軸z0、y0如下圖，z0軸到兩個矩形形心的距離分別為，截面對z0軸的慣性矩為兩個矩形對z0軸的慣性矩之和，即截面對y0軸慣性矩為第六章梁的應力§6?1梁的正應力一、純彎曲與平面假設本節(jié)將推導梁彎曲時橫截面上正應力的計算公式。為了方便，我們先研究梁橫截面上只有彎矩的情況，這種情況稱為“純彎曲〞。如圖6?1所示的梁，在如下圖荷載作用下，中間CD段就屬于這種情況，由其剪力圖和彎矩圖可以看到，在CD段的彎矩M=Fa=常數(shù)，而剪力FS等于零。FFS圖M圖alABaACD圖6?1(a)(b)(c)FFFFFa(b)圖6?2(a)mnpqmnpqFFCD我們先作如下的實驗，觀察到如下的一些現(xiàn)象：〔1〕變形前，梁側面上與縱向直線垂直的橫向線在變形后仍為直線，并且仍然與變形后的梁軸線〔簡稱撓曲線〕保持垂直，但相對轉過一個角度?！?〕變形前互相平行的縱向直線，變形后均變?yōu)閳A弧線，并且上部的縱線縮短，下部的縱線伸長。在梁中一定有一層上的纖維既不伸長也不縮短，此層稱為中性層。中性層與梁橫截面的交線稱為中性軸。根據(jù)這些實驗現(xiàn)象，我們對純彎曲情況下作出如下假設：1.平面假設：梁的橫截面在梁彎曲后仍然保持為平面，并且仍然與變形后的梁軸線保持垂直。圖6?3中性層圖6?3中性層b中性軸(b)abO1O2mnpq(a)d*mnpqdθρy(c)d*abO2O1二、正應力公式的推導1．幾何方面相應的縱向線應變?yōu)?6?1)式〔6?1〕說明：梁的縱向纖維的應變與纖維距中性層的距離成正比，離中性層愈遠，纖維的線應變愈大。σσdAσ圖6?4yzOdAyzhb2．物理方面在彈性圍正應力與線應變的關系為將式〔6?1〕代入，得〔6?2〕3．靜力學方面由圖6?4可以看出，梁橫截面上各微面積上的微力dFN=σdA構成了空間平行力系，它們向截面形心簡化的結果應為以下三個力分量，，由截面法可求得該截面上只有彎矩M，即上式中FN，My均等于零，所以有〔d〕〔e〕 〔f〕由式〔d〕得因E、ρ為常量，所以有〔g〕即梁橫截面對中性軸〔z軸〕的靜矩等于零。由此可知，中性軸通過橫截面的形心，于是就確定了中性軸的位置。由式〔e〕可得因此〔h〕即梁橫截面對y、z軸的慣性積等于零，說明y、z軸應為橫截面的主軸，又y、z軸過橫截面的形心，所以其應為橫截面的形心主軸。最后由式〔f〕可得即式中是梁橫截面對中性軸的慣性矩。將上式整理可得〔6?3〕由式〔6?3〕可知：曲率與彎矩M成正比，與EIz成反比。在一樣彎矩下，EIz值越大，梁的彎曲變形就越小。EIz說明梁抵抗彎曲變形的能力，稱為梁的彎曲剛度。將式〔6?3〕代入式〔6?2〕，可得〔6?4〕這就是梁在純彎曲時橫截面上任一點的正應力的計算公式。ACBFalbKyh/2h/2例題6?1圖z例題6?1長為l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，h=0.18m，b=ACBFalbKyh/2h/2例題6?1圖z解：先求出C截面上彎矩截面對中性軸的慣性矩將MC、Iz、y代入正應力計算公式，則有K點的正應力為正值，說明其應為拉應力?！??2梁的正應力強度條件及其應用一、梁的正應力強度條件最大正應力發(fā)生在距中性軸最遠的位置，此時而對整個等截面梁來講，最大正應力應發(fā)生在彎矩最大的橫截面上，距中性軸最遠的位置，即引用符號，則上式可改寫成〔6?5〕式中的Wz叫做彎曲截面系數(shù)〔或抗彎截面系數(shù)〕，它與梁的截面形狀和尺寸有關。對矩形截面對圓形截面正應力強度條件為〔6?6〕二、三種強度問題的計算根據(jù)式〔6?6〕可以求解與梁強度有關的三種問題?！?〕強度校核〔2〕選擇截面此時應將式〔10?6〕改寫為〔3〕確定許用荷載此時應將式〔10?6〕改寫為(b)M圖qlBA(a)例題6?2圖bh例題6?2圖a所示一矩形截面的簡支木梁，l=(b)M圖qlBA(a)例題6?2圖bh解：先畫梁的彎矩圖〔圖b〕。由梁的彎矩圖可以看出，梁中最大彎矩應發(fā)生在跨中截面上，其值為彎曲截面系數(shù)為由于最大正應力應發(fā)生在最大彎矩所在截面上，所以有所以滿足正應力強度要求。§6?3梁橫截面上的切應力·梁的切應力強度條件一、矩形截面梁的切應力矩形截面梁的切應力公式的推導，采用了下面的兩條假設：〔1〕橫截面上各點切應力均與側邊平行?！?〕切應力沿截面寬度均勻分布，即距中性軸等距離各點的切應力相等。aaaF*AB圖6?5bhd*bb〔6?8〕式〔6?8〕即為矩形截面梁橫截面任一點的切應力計算公式。式中：FS為橫截面上的剪力；S*為面積A1對中性軸的靜矩；Iz橫截面對中性軸的慣性矩；b為截面的寬度。圖6?7τma*圖6?7τma*(b)bhzyA1(a)y(e)將其代入式〔6?8〕，可得(f)此式說明矩形截面梁橫截面上切應力沿梁高按二次拋物線形規(guī)律分布。在截面上、下邊緣〔〕處，τ=0，而在中性軸上〔y=0〕的切應力有最大值，如圖10?7b。即(g)例題6?5一矩形截面的簡支梁如下圖。：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F(xiàn)=3kN，求m?m截面上K點的切應力。習題習題6?5圖Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*解：先求出m?m截面上的剪力為3kN，截面對中性軸的慣性矩為面積A*對中性軸的靜矩為則K點的切應力為二、工字形截面梁的切應力1．腹板上的切應力式中：FS為橫截面上的剪力；S*為欲求應力點到截面邊緣間的面積對中性軸的靜矩；Iz為橫截面對中性軸的慣性矩；b1為腹板的厚度。圖圖6?8(b)(c)(a)切應力沿腹板高度的分布規(guī)律如圖6?8a所示，仍是按拋物線規(guī)律分布，最大切應力τma*仍發(fā)生在截面的中性軸上。2．翼緣上的切應力翼緣上的水平切應力可認為沿翼緣厚度是均勻分布的，其計算公式仍與矩形截面的切應力的形式一樣，即式中FS為橫截面上的剪力；S*為欲求應力點到翼緣邊緣間的面積對中性軸的靜矩；Iz橫截面對中性軸的慣性矩；δ為翼緣的厚度。三、T字型截面梁的切應力T字型截面可以看成是由兩個矩形組成，下面的狹長矩形與工字形截面的腹板相似，該局部上的切應力仍用下式計算：最大切應力仍然發(fā)生在截面的中性軸上。四、圓形及環(huán)形截面梁的切應力圓形及薄壁環(huán)形截面其最大豎向切應力也都發(fā)生在中性軸上，并沿中性軸均勻分布，計算公式分別為圓形截面 式中FS為橫截面上的剪力，A為圓形截面的面積。薄壁環(huán)型截面式中FS為橫截面上的剪力，A為薄壁環(huán)型截面的面積。五、梁的切應力強度條件〔6?9〕此式即為切應力的強度條件。例題6?6一外伸工字型鋼梁如圖a所示。工字鋼的型號為22a，：l=6m，F(xiàn)=30kN，q=6kN/m，材料的許用應力[σ]=170MPa，[τ]=100MPa,試校核梁的強度。qA(a)qA(a)BCFl/3Dl/2l/212kN17kN13kN(b)FS圖例題6?6圖39kN.m12kN.m(c)M圖彎矩圖如圖c所示，最大正應力應發(fā)生在最大彎矩的截面上。查型鋼表可知則最大正應力〔2〕校核最大切應力剪力圖如圖b所示，最大切應力應發(fā)生在最大剪力的截面上。查型鋼表可知則最大切應力所以此梁平安?！??4梁的合理截面形狀及變截面梁一、梁的合理截面形式由梁的強度條件公式〔6?6〕可知,梁的抗彎能力直接取決于其彎曲截面系數(shù)Wz的大小。所以梁的合理截面形式就是截面面積一樣的條件下具有較大的彎曲截面系數(shù)。Wz值與截面的高度及截面的面積分布有關。截面的高度愈大，面積分布得離中性軸愈遠，Wz值就愈大；反之，截面的高度愈小，面積分布得