專題16 極值與最值（原卷版）

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題16極值與最值【題型歸納目錄】題型一：求函數(shù)的極值與極值點題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)題型三：求函數(shù)的最值題型四：根據(jù)最值求參數(shù)題型五：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用題型六：不等式恒成立與存在性問題【考點預(yù)測】知識點一：極值與最值1、函數(shù)的極值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．求可導函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.注①可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導號.②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點.另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)，在極小值點是不可導的，于是有如下結(jié)論：為可導函數(shù)的極值點；但為的極值點.2、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．導函數(shù)為（1）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.【方法技巧與總結(jié)】（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．【典例例題】題型一：求函數(shù)的極值與極值點【方法技巧與總結(jié)】1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數(shù)與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．例1．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數(shù)f（x），其導函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．函數(shù)在x＝c處取得最大值，在處取得最小值C．函數(shù)在x＝c處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為例2．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（

）A．個 B．個 C．個 D．個例3．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為R，導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)（

）A．無極大值點、有四個極小值點B．有三個極大值點、一個極小值點C．有兩個極大值點、兩個極小值點D．有四個極大值點、無極小值點變式1．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為，其導函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)極值點的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5變式2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的定義域為(a，b)，導函數(shù)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)在(a，b)上的極大值點的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式3．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)求的極大值點與極小值點；(3)求在區(qū)間上的最大值與最小值．變式4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在與時，都取得極值．(1)求，的值；(2)若，求的單調(diào)增區(qū)間和極值．變式5．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)的導數(shù)滿足，其中常數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設(shè)，求函數(shù)的極值.題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)例4．（2023·全國·高三專題練習）已知沒有極值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例5．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在處有極值10，則（

）A．6 B． C．或15 D．6或例6．（2023·全國·高三專題練習）已知，函數(shù)的極小值為，則（

）A． B．1 C． D．變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)變式7．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．變式8．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)=有大于零的極值點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式9．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在上存在唯一極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型三：求函數(shù)的最值例7．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________．例8．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為______．例9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則在上的最大值是__________．變式11．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為_________.變式12．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是的一個極值點．(1)求b的值；(2)當時，求函數(shù)的最大值．題型四：根據(jù)最值求參數(shù)例10．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)存在最大值0，則的值為（

）A． B． C．1 D．例11．（2023·全國·高三專題練習）當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1例12．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)在上的最大值為4，則的值為（

）A．7 B． C．3 D．4變式13．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既存在最大值也存在最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型五：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用例13．（2023·黑龍江大慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．當時，取得最小值C．當時，取得極大值 D．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)例14．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖像在點處的切線恰好經(jīng)過點．(1)求；(2)已知函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍．例15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，是的一個極值點．(1)求實數(shù)a的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在處有極值.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.題型六：不等式恒成立與存在性問題【方法技巧與總結(jié)】在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項構(gòu)造輔助函數(shù)．例16．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，，求的最大值．例17．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)，滿足恒成立，則的最大值為（

）A．3 B．4 C． D．例18．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，若，恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式15．（2023·全國·高三專題練習）若對任意的，且，都有成立，則實數(shù)m的最小值是（

）A．1 B． C． D．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)直線與函數(shù)，的圖象分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為（）A．1 B． C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是的極小值點 B．是的極小值點C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零3．（2023·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中存在極值點的是（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的極值點的個數(shù)是（

）A． B． C． D．無數(shù)個5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在上遞增 B．函數(shù)無極小值C．函數(shù)只有一個極大值 D．函數(shù)在上最大值為36．（2023·全國·高三專題練習）當時，函數(shù)取得最小值，則（

）A． B．1 C． D．27．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，a為實數(shù)，，則在上的最大值是（

）A． B．1 C． D．8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，），則關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．有2個零點 B．有2個極值點 C．在單調(diào)遞增 D．最小值為110．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞增B．是的極大值點C．有三個零點D．在上最大值是11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．時，取得最大值 D．時，取得最小值12．（2023·全國·高三專題練習）【多選題】已知函數(shù)，則（

）A．時，的圖象位于軸下方B．有且僅有一個極值點C．有且僅有兩個極值點D．在區(qū)間上有最大值三、填空題13．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小值為______.14．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)在上無極值，則m＝______．15．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在處取得極值，則____________．16．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)在處取極值，則__________．四、解答題1