2021年中考數(shù)學(xué)壓軸模擬試卷01 （河北省專用）（解析版）

2021年中考數(shù)學(xué)統(tǒng)一命題的省自治區(qū)壓軸模擬試卷

2021年中考數(shù)學(xué)壓軸模擬試卷01(河北省專用)

(滿分120分，答題時(shí)間120分鐘)

一、選擇題(本大題有16個(gè)小題，共42分.1~10小題各3分，11~16小題各2分.在每

小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.如圖，在平面內(nèi)作已知直線用的垂線，可作垂線的條數(shù)有()

m

A.0條B.1條C.2條D.無(wú)數(shù)條

【答案】D

【解析】在同一平面內(nèi)，過(guò)已知直線上的一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；但畫已知直線的

垂線，可以畫無(wú)數(shù)條.

在同一平面內(nèi)，畫已知直線的垂線，可以畫無(wú)數(shù)條；

a—h(a..b)

2.定義一種新運(yùn)算：aXb=K,,,，則2X3-4X3的值為()

3b(a<b)

A.3B.6C.8D.9

【答案】C

【解析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握新定義規(guī)定的運(yùn)算法則及有理數(shù)的混

合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則.

2X3-4X3

=3x3-(4-3)

=9-1

=8

3.(1+y)(1-y)=()

A.1+y2B.-1-/C.I-/D.-1+)2

【答案】C

【解析】直接利用平方差公式計(jì)算得出答案.

(1+y)(1-y)=1-p

4.如圖是由7個(gè)小立方塊所搭成的幾何體的俯視圖,小正方形中的數(shù)字表示該位置小立方塊的個(gè)數(shù),

這個(gè)幾何體的左視圖是()

【解析】由已知條件可知，左視圖有2列，每列小正方形數(shù)目分別為3,1.據(jù)此可作出判斷.從左

面看可得到從左到右分別是3,1個(gè)正方形.

5.已知一組數(shù)據(jù)5,8,8,9,10,以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.平均數(shù)是8B.眾數(shù)是8C.中位數(shù)是8D.方差是8

【答案】D.

【解析】由平均數(shù)的公式得平均數(shù)=(5+8+8+9+10)+5=8,

方差=工［(5-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)1=2.8,

5

將5個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列為：5,8,8,9,10,第3個(gè)數(shù)為8,即中位數(shù)為8,

5個(gè)數(shù)中8出現(xiàn)了兩次，次數(shù)最多，即眾數(shù)為8,故選：D.

6.如圖1,已知NA8C,用尺規(guī)作它的角平分線.

如圖2,步驟如下,

第一步：以3為圓心，以。為半徑畫弧，分別交射線B4,BC于前D，E;

第二步：分別以。，E為圓心，以〃為半徑畫弧，兩弧在NABC內(nèi)部交于點(diǎn)尸；

第三步：畫射線射線BP即為所求.

下列正確的是()

B.a>0,匕〉工。后的長(zhǎng)

A.a,。均無(wú)限制

2

C.4有最小限制，。無(wú)限制D.a>0,的長(zhǎng)

2

【答案】B

【解析】根據(jù)作角平分線的方法進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

第一步：以8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交射線84，BC丁點(diǎn)D，E；

，a>0：

第二步：分別以D，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在NA6C內(nèi)部交于點(diǎn)尸；

2

的長(zhǎng)；

2

第三步：畫射線BP.射線6P即為所求.

綜上，答案為：a>o：〃>'DE的長(zhǎng).

2

22

x+k1,則X_2x—y的值是()

(2x+4y=92-2

xy

A.-5B.5C,-6D.6

【答案】c.

[x+y=l①

【解析】12x+4y=9②’

②-①X2得，2y=7,解得x」，

2

把X』代入①得，工+y=l,解得尸苴，

22y2

.x2-2xy4~y2=(x-y)，_.x~y_2+

22--

x_y(x+y)(x-y)x+y1

8.如圖，在直角坐標(biāo)系中，aOAB的頂點(diǎn)為0（0,0),A(4,3),B(3,0).以點(diǎn)0為位似中

心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的位似比為■的位似圖形aocD,則點(diǎn)C坐標(biāo)（）

44

A.(-1,-1)B.(---，-1)C.(-1,---)D.(-2,-1)

33

【答案】B

【分析】根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，把A點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以即可.

解：?.?以點(diǎn)0為位似中心，位似比為方，

而A（4,3）,

AA點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-悔，-1）.

9.已知a+a-l=O,求a3+2a+2020的值為（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】C

【解析】因?yàn)閍’+a-rO,

所以a2+a=l,

所以a3+a-a,

a3+2a+2020=a+a+a2+202Q

=a+a2+2020

=1+2020

=2021

10.如圖，點(diǎn)E在正方形ABC。的邊CD匕將△相＞￡繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△A8F的位置，連

接EF,過(guò)點(diǎn)A作EF的垂線，垂足為點(diǎn)H,與BC交于點(diǎn)G.若BG=3,CG=2,則CE的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【解析】連接EG,根據(jù)AG垂直平分EF,即可得出EG=fG,設(shè)CE=x,則OE=5-x=BF,FG

=EG=8-x,再根據(jù)Rt4CEG中，CE2+CG2=EG2,即可得到CE的長(zhǎng).

解：如圖所示，連接EG,

由旋轉(zhuǎn)可得，AADEmAABF,

：.AE^AF,DE=BF,

又YAGLE凡

為EF的中點(diǎn)，

；.AG垂直平分EF,

:.EG=FG,

設(shè)CE=x,貝I」DE=5-x=BF,FG=8-x,

.'.￡G=8-x,

VZC=90°,

；.RtZ\CEG中，CE1+CG2=EG2,即/+2?=(8-x)2

解得x=*

:?CE的長(zhǎng)為一o

4

11.若左為正整數(shù)，則（《+”???+，=（）

*個(gè)*

A.k2kB.k2k+iC.2kkD.k2+k

【答案】A

【解析】根據(jù)乘方的定義及塞的運(yùn)算法則即可求解.

［詳解］華+與J+9*=（匕討=代》=心

12.一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北航行，2小時(shí)后到達(dá)海島B處.燈塔C在海島

A的北偏西42°方向上，在海島8的北偏西84°方向上.則海島B到燈塔C的距離是（）

A.15海里B.20海里C.30海里D.60海里

【答案】C

【解析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出/C=/C45=42°,根據(jù)等角對(duì)等邊得出

BC^AB,求出AB即可.如圖.

根據(jù)題意得：NC2D=84°,NCAB=42°,

.?./C=/CBO-/C4B=42°=/C48,

BC=AB,

VAB=15X2=30,

：.BC^3Q,

即海島B到燈塔C的距離是30海里.

13.全市約有550000名中小學(xué)生參加以“祖國(guó)在我心中”為主題的各類教育活動(dòng)，其中數(shù)據(jù)550000

用科學(xué)記數(shù)法可以表示為aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|＜10,〃為整數(shù).a=()

A.0.55B.5.5C.55D.550

【答案】B

【解析】根據(jù)有效數(shù)字表示方法，以及科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中1Wa1V10,

〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的

位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù).將550000用科學(xué)記

數(shù)法表示為:5.5X10。

所以a=5.5n=5

14.如圖，4是圓。上一點(diǎn)，是直徑，AC=2,45=4,點(diǎn)。在圓。上且平分弧BC,則。C

的長(zhǎng)為()

A.272B.V5C.2y/5D.M

【答案】D

【解析】由5C是圓0的直徑，可得/A=/D=90°,又。在圓。上口平分弧BC,則

ZCBD=ZBCD=45°,即4BCD是等腰直角三角形.在RtZXABC中，根據(jù)勾股定理求出BC長(zhǎng)，從而

可求DC的長(zhǎng).

V8C是圓0的直徑，

.-.ZA=ZD=90°.

又。在圓。上旦平分弧BC,

/.ZCBD=ZBCD=45°,即aBCD是等腰直角三角形.

在Ri^ABC中，AC=2,43=4，根據(jù)勾股定理，WBC-7AC2+AB2-275.

「△BCD是等腰直角三角形，

BC

??.CDRVio.

15.把函數(shù)y=(x-1)2+2圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后圖象的的數(shù)解析式為()

A.y=x2+2B.y=(x-1)2+1C.(x-2)2+2D.y=(x-1)2-3

【答案】C

【分析】先求出y=(x-1)2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，求出平移后的二次函數(shù)圖

象頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可.

【解析】二次函數(shù)＞=(x-1)2+2的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

..?向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),

，所得的圖象解析式為y=(x-2)2+2.

16.如圖①，正方形A8CD中，AC,8。相交于點(diǎn)。，￡是OD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā),沿

著EfOf5fA的路徑以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，在此過(guò)程中線段AP的長(zhǎng)度

隨著運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系如圖②所示，則A3的長(zhǎng)為()

A.472B.4C.373D.2A/2

【答案】A

【解析】如圖（見解析），先根據(jù)函數(shù)圖象可知AE=26，再設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a,從而可得

0A=0D=2&，然后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得OE=[OO=J5。，最后在.應(yīng)口4?！曛?，利用

勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案.

如圖，連接AE

由函數(shù)圖象可知，AE=2亞

設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4a,則AB=AO=4t7

???四邊形ABCD是正方形

/.OA=OD=LBD,AC±BD,ZBAD=90°

2

BD=yjAB2+AD2=4缶，OA=OD=2億

?.?E是＜%＞的中點(diǎn)

OE=-OD=y/2a

2

則在R/DAOE，由勾股定理得：AE=y/OA^+OE2=J\Qa

因此有=

解得“=血

則AB=472

二、填空題（本大題有3個(gè)小題，共12分.17~18小題各3分；19小題有3個(gè)空，每空

2分）

17.已知：M—G.=a尬-丘=bO，則

【答案】6

【解析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求解.

vV18-V2=3A/2-V2=272

a=3b=2

ab=6

18.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的2倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是—.

【答案】6.

【解析】〃邊形的內(nèi)角和可以表示成(n-2)-180°,外角和為360。，根據(jù)題意列方程求解.

設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為〃，依題意，得：

(〃-2)*180°=2X360°,

解得〃=6.

19.如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)丫=g(a>0)的圖象交于A,D兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象

x

b

限)，點(diǎn)B,C,E在反比例函數(shù)y=—(b<0)的圖象上，AB〃y軸，AE〃CD〃x軸，五邊形ABCDE

x

的面積為56,四邊形ABCD的面積為3,2,則a-b的值為，2的值為.ab的值為

a

【解析】如圖，連接AC,OE,OC,OB,延長(zhǎng)AB交DC的延長(zhǎng)線于T,設(shè)AB交x軸于K.求出

證明四邊形ACDE是平行四邊形，推出SAADE=SAADC=S五邊彩ABCDE-S四邊彩ABCD=56-32=24,推出

SAAOE=S“DEO=12,可得，a-Lb=12,推出a-b=24.再證明BC〃AD,證明AD=3BC,推出AT=3BT-,

22

再證明AK=3BK即可解決問(wèn)題.

【詳解】如圖，連接AC,OE,OC,OB,延長(zhǎng)AB交DC的延長(zhǎng)線于T,設(shè)AB交x軸于K.

由題意A,D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

AA,D的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，

VAE/7CD,

???E,C的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，

VE,C在反比例函數(shù)y=2的圖象上，

X

?,?E,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

.'.E,O,C共線，

VOE=OC,OA=OD,???四邊形ACDE是平行四邊形，

S△ADE=S△ADC=S五邊喟，ABCDE-S四邊杉ABCD=56-32=24,

SAAOE=SADEO=12,

-a-----b=12,

22

.,.a-b=24,

,*,SAAOC=SAAOB=12,

???BC〃AD,

.BCTB

??茄一記‘

?*SAACB=32-24=8,

?'?SAADC：SAABC=24：8=1：3,

/.BC：AD=1：3,

ATB：TA=1：3,設(shè)BT=a,則AT=3a,AK=TK=1.5k,BK=0.5k,

AAK：BK=3：1,

1

c—Cl

.■AOK_2_1

SBKO_Lb3

2

a1

???——_—-.

b3

由1?a-b=24與?，?一=—-.即3a+b-0得:

b3

a=6,b=-18,ab=-108

三、解答題(本大題有7個(gè)小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟)

20.(6分)已知兩個(gè)有理數(shù)：一9和5.

,,、工省(-9)+5

(1)計(jì)算：-------；

2

(2)若再添一個(gè)負(fù)整數(shù)加，且一9,5與加這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)仍小于陽(yáng)，求〃？的值.

【答案】(1)-2；(2)m=-l.

【解析】(1)根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解；

(-9)+5-4°

----------=—=-2；

22

(2)根據(jù)平均數(shù)的定義列出不等式即可求出m的取值，故可求解.

防4殂(-9)+5+m-

依題忌fJ---------------<m

3

解得m>-2

負(fù)整數(shù)"?=/.

21.(7分)已知：整式/=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.

嘗試化簡(jiǎn)整式4

發(fā)現(xiàn)/=",求整式3.

聯(lián)想由上可知，存=(n2-l)2+(2A)2,當(dāng)A>1時(shí)，n2-l,2n,3為直角三角形的三邊長(zhǎng),

如圖.填寫下表中B的值：

直角三角形三邊n2-l2nB

勾股數(shù)組I/8—

勾股數(shù)組n35/

rf-1

【答案】15；37

【解析】A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+l)2,

?：A=B2,B>0,

B=n2+1,

當(dāng)2A=8時(shí)，n=4,.-.n2+l=42+l=15;

2

當(dāng)1=35時(shí)，n+i=37.

22.(10分)如圖1,以邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作。O,交對(duì)角線AC于點(diǎn)E.

(1)圖1中，線段AE=；

(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn)A為端點(diǎn)作NDAM=30。，交CD于點(diǎn)M,沿AM將四邊形ABCM

剪掉，使RtAADM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(如圖3),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0。<0(<15()。)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中

AD與。O交于點(diǎn)F.

①當(dāng)a=30。時(shí)，請(qǐng)求出線段AF的長(zhǎng)；

②當(dāng)a=60。時(shí)，求出線段AF的長(zhǎng)；判斷此時(shí)DM與。O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

③當(dāng)a=。時(shí)，DM與。O相切.

【答案】(1)20(2)①2②26，相離③當(dāng)a=90。時(shí)，DM與。O相切

【解析】(1)連接BE,是正方形A8C。的對(duì)角線，，NBAC=45。，.?.△AEB是等腰直角三角

形，又FB=8,：.AE=4y[2；

圖1

(2)①連接。4、OF,由題意得，NNAD=3Q°,ND4M=30。，故可得N。4M=30。，ZDAM=30°,

則NOAF=60。，又：04=0凡.'.△OAF是等邊三角形,\"OA=4,，AF=OA=4；

②連接⑶尸，此時(shí)NNAD-60。，ND4M=30。,二A尸=A8'cos/D4M=8x36;

2

此時(shí)。例與。。的位置關(guān)系是相離:

③?.工。=8,直徑的長(zhǎng)度相等，，當(dāng)DM與。。相切時(shí)，點(diǎn)。在。。上，故此時(shí)可得a=/M4C=90。.

點(diǎn)睛：此題屬于圓的綜合題，主要是仔細(xì)觀察每一次旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)含30。角的直角三角形進(jìn)行

計(jì)算，另外在解答最后一問(wèn)時(shí)，關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)D的位置，有一定難度.

23.(8分)第33個(gè)國(guó)際禁毒日到來(lái)之際，貴陽(yáng)市策劃了以“健康人生綠色無(wú)毒”為主題的禁毒宣

傳月活動(dòng)，某班開展了此項(xiàng)活動(dòng)的知識(shí)競(jìng)賽.學(xué)習(xí)委員為班級(jí)購(gòu)買獎(jiǎng)品后與生活委員對(duì)話如下：

(飛買了兩種鋼等，共io。支::

單價(jià)分別為6元和10元，

買獎(jiǎng)品前我領(lǐng)了1300元，「你肯定搞錯(cuò)了一

(1)請(qǐng)用方程的知識(shí)幫助學(xué)習(xí)委員計(jì)算一下，為什么說(shuō)學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了;

(2)學(xué)習(xí)委員連忙拿出發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確錯(cuò)了，因?yàn)樗€買了一本筆記本，但筆記本的單價(jià)已模

糊不清，只能辨認(rèn)出單價(jià)是小于10元的整數(shù)，那么筆記本的單價(jià)可能是多少元？

【答案】見解析。

【分析】(1)設(shè)單價(jià)為6元的鋼筆買了x支，則單價(jià)為10元的鋼筆買了(100-x)支，根據(jù)總共

的費(fèi)用為(1300-378)元列方程解答即可；

(2)設(shè)筆記本的單價(jià)為。元，根據(jù)總共的費(fèi)用為(1300-378)元列方程解求出方程的解，再根據(jù)

〃的取值范圍以及一次函數(shù)的性質(zhì)求出X的值，再把x的值代入方程的解即可求出a的值.

【解析】(1)設(shè)單價(jià)為6元的鋼筆買了x支，則單價(jià)為10元的鋼筆買(100-x)支，據(jù)題意得：

6x+10(100-x)=1300-378,

解得x=19.5,

因?yàn)殇摴P的數(shù)量不可能是小數(shù)，所以學(xué)習(xí)委員搞錯(cuò)了;

(2)設(shè)筆記本的單價(jià)為。元，根據(jù)題意，得：

6x+10(100-x)+a=1300-378,

整理，得:x=^a+苧,

因?yàn)?<a<10,x隨a的增大而增大，所以19.5<x<22,

取整數(shù)，

；.x=20,21.

當(dāng)x=20時(shí)，4=4X20-78=2；

當(dāng)x=21時(shí)，a=4X21-78=6,

所以筆記本的單價(jià)可能是2元或6元.

24.（10分）我市某中學(xué)舉行“法制進(jìn)校園”知識(shí)競(jìng)賽，賽后將學(xué)生的成績(jī)分為A、B、C、。四個(gè)

等級(jí)，并將結(jié)果繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題.

（1）成績(jī)?yōu)榈燃?jí)”的學(xué)生人數(shù)有一名：

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，表示等級(jí)”的扇形的圓心角度數(shù)為—，圖中〃?的值為—；

（3）學(xué)校決定從本次比賽獲得“A等級(jí)”的學(xué)生只能怪，選出2名去參加市中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽.已知

“A等級(jí)”中有1名女生，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出女生被選中的概率.

【答案】見解析。

【分析】（1）A等的有3人，占調(diào)查人數(shù)的15%,可求出調(diào)查人數(shù)，進(jìn)而求出8等的人數(shù)；

44

（2）。等級(jí)占調(diào)查人數(shù)的一，因此相應(yīng)的圓心角為360。的一即可，計(jì)算C等級(jí)所占的百分比，即

2020

可求出m的值；

（3）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率.

【解析】（1）34-15%=20（名），20-3-8-4=5（名），

故答案為：5；

(2)360°X=72°,84-20=40%,即,”=40,

故答案為：72°,40：

(3)“4等級(jí)”2男1女，從中選取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:

共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中女生被選中的有4種,

42

--

6=3

25.(12分)勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理.在我

國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定

理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖1)后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今.

(1)①請(qǐng)敘述勾股定理；

②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來(lái)證

明該定理；(以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件)

(2)①如圖4、5、6,以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形,

這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足岳+$2=S3的有個(gè);

圖5

圖4圖6

②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面

積分別為S2,直角三角形面積為S3,請(qǐng)判斷S-邑，S3的關(guān)系并證明;

S3

圖7

（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形,

重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”.在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正

方形”的邊長(zhǎng)為定值“，四個(gè)小正方形A，B,C,。的邊長(zhǎng)分別為。，b,C,d,已知

Nl=N2=N3=Na,則當(dāng)Na變化時(shí)，回答下列問(wèn)題：（結(jié)果可用含，"的式子表示）

@a2+b2+c2+d2=

②b與c的關(guān)系為，a與d的關(guān)系為

【答案】（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為斜邊為c,那么/+b2=c2,（或者：

在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.）；②證明見解析；（2）①3,②結(jié)論

+S2=S3；⑶①加2,②b=c,a+d=m.

【解析】（1）①根據(jù)所學(xué)的知識(shí)，寫出勾股定理的內(nèi)容即可；

②根據(jù)題意，利用面積相等的方法，即可證明勾股定理成立；

（2）①根據(jù)題意，設(shè)直角三角形的三邊分別為a、b、c,利用面積相等的方法，分別求出面積的關(guān)

系，即可得到答案：

②利用三角形的面積加上兩個(gè)小半圓的面積，然后減去大半圓的面積，即可得到答案；

22221

（3）①由（1）（2）中的結(jié)論，結(jié)合勾股定理的應(yīng)用可知，a+b+c+d=m-.

②由Nl=N2=N3=Na，則sinl=sin2=sin3=sine,同理可得cosl=cos2=8s3=cosa，

利用解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案.

解：（1）①如果直角三角形的兩條直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么"+》2=。2.

（或者：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.）

②證明：

在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.

即c2=-ab-4+（b-a'）2，

2

化簡(jiǎn)得儲(chǔ)+從=02.

在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和.

即（a+加2=+$54,化筒得/+6=.

在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和.

即一（a+b）（a+Z＞）=-ab?2'+—c~,化簡(jiǎn)a?+〃=c?.

222

（2）①根據(jù)題意，則如下圖所示：

在圖4中，直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,則

由勾股定理，得勾+U=c2,

:.S[+邑=邑；

在圖5中，三個(gè)扇形的直徑分別為a、b、C,則

;CT+h2=c2，

1

1,、2

乃c

：.-7rd+Zr)8-

8

/.S]+S2=S3；

在圖6中，等邊三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,則

10.x/3919,^3919x/3o

S.=—?*-sin60°=——a2，S--h^sin60°-——b1，S,=—c2sin60°-——c2，

124224324

：S1+S2=乎(/+6)，a2+b2=c2^

呼(/+從)=42,

/.5)+S2=S3；

?,?滿足S1+S2=S3的有3個(gè)，

故答案為：3；

②結(jié)論S1+S2=S3；

.；S,+SL芯)+；唱+8亭0

S]+S)=1乃(Q_4-b~_C2)+S3

-：a2+b2=c2，

S]+S0=S3；

(3)①如圖9,正方形A、B、C、D、E、F,M中，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d、e、f、m,則

有

AC

ED

F

圖9

由(1)(2)中的結(jié)論可知，面積的關(guān)系為：A+B=E,C+D=F,E+F=M,

a2+b2=e2c2+d2=/2,e2+/2=m2,

?*-cr+〃+c2+d2=m2

故答案為：m2;

②：Nl=N2=N3=Na,

sin1=sin2=sin3=sina,cos1=cos2=cos3=cosa，

由解直角三角形和正方形的性質(zhì)，則

e=nfcosAa,b=e^smZa,

Z?=m,cosNa?sinNa；

同理：c=sinZa?cosZtz：

6?=mecosZa^cosNa；

d=m^sinZa^sinNa：

b=c,

?-a+d=zu?(cos2a+sin2a)，

,-*cos2a+sin2。=1，

/.a+d—m?

故答案為：b=c；a+d=m.

【點(diǎn)睛】本題考查了求扇形的面積，解直角三角形，