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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個人認(rèn)證

認(rèn)證主體：劉**（實名認(rèn)證）

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IP屬地：廣東 上傳時間：2023-10-28 格式：DOCX 頁數(shù)：6 大小：41.12KB 積分：12 舉報 版權(quán)申訴

預(yù)拓?fù)浞肿痈竦母拍?/p>

1單個弱拓?fù)浞肿痈竦侥壳盀橹?，人們已?jīng)從文學(xué)中引入了搬家的概念。文獻引入了預(yù)拓?fù)浞肿痈?它是拓?fù)浞肿痈竦耐茝V)的概念并研究了完備格上的閉預(yù)拓?fù)浜蛡伍]包算子的相互確定等基本概念和性質(zhì)。文獻在文獻的基礎(chǔ)上引入了弱拓?fù)浞肿痈?它是預(yù)拓?fù)浞肿痈竦耐茝V)的概念。本文將在文獻基礎(chǔ)上進一步推廣文獻中的結(jié)果。全文中,L表示完備格,0、1分別表示完備格L的最小元和最大元,其它未加說明的概念請見參考文獻。定義1.1設(shè)L是一個完備格,F?L。如果對任意F1∈2F都有∧F1∈F成立(這里∧〉=1),則稱F為L上的一個弱余拓?fù)?稱偶對(L,F)為弱拓?fù)浞肿痈?且稱F的元為閉元。定義1.2設(shè)(L,F)是一個弱拓?fù)浞肿痈?A∈L。則稱A-=∧{B∈F|A≤B}為A的閉包(它是(L,F)中包含A的最小閉元)。定義1.3設(shè)(L1,F1)和(L2,F2)是弱拓?fù)浞肿痈?f:L1→L2是保并映射(從而f的右伴隨f-1是保交映射,這里f-1(B)=∨{A∈L1|f(A)≤B}(?B∈L2))。若f-1(B)∈F1(?B∈F2),則稱f是從(L1,F1)到(L2,F2)的連續(xù)映射;若f(A)∈F2(?A∈F1),則稱f是閉映射;若對每個B∈L2以及每個A∈F1,當(dāng)f-1(B)≤A時存在C∈F2使得C≥B且A≥f-1(C),則稱f是開映射。定義1.4設(shè)(L,F)是弱拓?fù)浞肿痈?B?F。如果F中的每一個元素都是B中某些元素的交(即對任意A∈F,存在B1?B使得A=∧B1),則稱B是弱拓?fù)浞肿痈?L,F)的一個基。引理1.1設(shè)f:(L1,F1)→(L2,F2)是弱拓?fù)浞肿痈裰g的保并映射,則f連續(xù)?f(A-)≤(f(A))-(?A∈L1)?(f-1(B))-≤f-1(B-)(?B∈L2)?對于(L2,F2)的每一個基B以及每一個B∈B都有f-1(B)∈F1。2b存在非0元b定義2.1設(shè)(L,F)是弱拓?fù)浞肿痈?A,B∈L。若A-∧B=A∧B-=0,則稱A與B是隔離的。定義2.2設(shè)(L,F)是弱拓?fù)浞肿痈?A∈L。如果存在異于0的隔離元B和C使得A=B∨C,則稱為A為不連通元,否則稱A為連通元。當(dāng)1為連通元時稱(L,F)為連通的弱拓?fù)浞肿痈?。定?.1設(shè)L是分配的完備格,(L,F)是弱拓?fù)浞肿痈?則下列各條等價:(1)A∈L是(L,F)中的連通元;(2)不存在A1,A2∈F使得A∧A1≠0,A∧A2≠0,A≤A1∨A2,A∧A1∧A2=0;(3)不存在非0元B,C,使得B∨C=A,B∧C=0B=B-∧A且C=C-∧A。證明(1)?(2)。假設(shè)存在A1,A2∈F使得A∧A1≠0,A∧A2≠0,A≤A1∨A2且A∧A1∧A2=0。令B=A∧A1,C=A∧A2,則B,C∈L-{0}。由L是分配的完備格知B∨C=(A∧A1)∨(A∧A2)=A∧(A1∨A2)=A,且B-∧C≤A-1∧A∧A2=A1∧A∧A2=0,B∧C-≤A∧A1∧A-2=A∧A1∧A2=0。由定義2.2知A為不連通元,這與(1)矛盾。(2)?(3)。假設(shè)存在非0元B,C使得B∨C=A,B∧C=0,B=B-∧A且C=C-∧A,令A(yù)1=B-,A2=C-,則A1,A2∈F,且A∧A1=A∧B-=B≠0,A∧A2=A∧C-=C≠0,A∧A1∧A2=A∧B-∧C-=B-∧A∧C-∧A=B∧C=0。這與(2)矛盾。(3)?(1)。假設(shè)A不是連通元,則存在異于0的隔離元D和E滿足A=D∨E。由L是分配的完備格知D-∧A=D-∧(D∨E)=(D-∧D)∨(D-∧E)=D,E-∧A=E-∧(D∨E)=(E-∧D)∨(E-∧E)=E。這與(3)中矛盾。定理2.2設(shè)L是分配的完備格,(L,F)是弱拓?fù)浞肿痈?則下列各條等價:(1)(L,F)不連通;(2)存在A,B∈F使得A,B≠0,1=A∨B,A∧B=0;(3)存在連續(xù)的保并的滿射f:(L,F)→(B2,B2)使得f-1保并,這里B2=2{a,b}(a≠b)的序關(guān)系是?。證明由定理2.1易見(1)?(2),下證(2)和(3)等價即可。(2)?(3)。假設(shè)(L,F)中存在非0的閉元A,B使得A∨B=1,A∧B=0(從而0∈F),定義f:(L,F)→(B2,B2)具體為:?C∈L?f(C)={〉,C=0,{a},C≤A且C≠0,,C≤B且C≠0,{a,b},C≤/[JX-*8]A且C≤/[JX-*8]B,這里B2=2{a,b}(a≠b)的序關(guān)系是?。首先,由A∧B=0和A∨B=1知f是滿射且容易驗證f-1保并。其次證明f保并,設(shè)L1?L?？紤]下面四種情形:(ⅰ)L1=〉或L1={0}。這時f(∨L1)=f(0)=〉=∨f(L1);(ⅱ)L1-{0}≠〉且C≤A(?C∈L1)。這時∨L1≤A且∨L1≠0,從而f(∨L1)={a}=∨f(L1);(ⅲ)L1-{0}≠〉且C≤B(?C∈L1)。這時∨L1≤B且∨L1≠0,從而f(∨L1)==∨f(L1);(ⅳ)存在C∈L1使得C≤/A且C≤/B。這時∨L1≤/A且∨L1≤/B,從而f(∨L1)={a,b}=∨f(L1)。最后,由f-1(B)=∨{C∈L|f(C)?B}(?B∈B2)可得f-1(〉)=0∈F,f-1({a})=A∈F,f-1()=B∈F,f-1({a,b})=1∈F,所以f連續(xù)。(3)?(2)。設(shè)f:(L,F)→(B2,B2)是連續(xù)的保并滿射使得f-1保并。令A(yù)=f-1({a}),B=f-1(),則A≠0且B≠0(倘若0=A=f-1({a})=∨{C∈L|f(C)?{a}},則不存在C∈L-{0}使得f(C)={a},這時由f是滿射知f(0)={a}。但另一方面由f保并知f(0)=〉,矛盾,同理B≠0)。因此由f連續(xù)知A,B∈F。由f-1保并知A∨B=f-1({a})∨f-1()=f-1({a}∪)=f-1({a,b})=1,由f保并(從而f-1保交)和f-1保并知A∧B=f-1({a})∧f-1()=f-1({a}∩)=f-1(〉)=f-1(∨A)=∨{f-1(D)|D∈A}=0(其中A=〉),從而(2)成立。例2.1當(dāng)f:(L,F)→(B2,B2)是連續(xù)的保并滿射時f-1不一定保并。取L={0,a,b,c,d,1}為六元完備格(如圖1所示),F={a,b,c,1},B2={〉,{e},{g},{e,g}}是序關(guān)系為?為菱形格(如圖2所示),則可驗證(L,F)與(B2,B2)都為弱拓?fù)浞肿痈?。定義映射f:(L,F)→(B2,B2)具體為f(0)=f(a)=〉,f(b)={e},f(c)={g},f(d)=f(1)={e,g}。由于f-1({e})=b,f-1({g})=c,f-1({e})∨f-1({g})=b∨c=d≠1,f-1({e}∨{g})=f-1({e,g})=1,所以f-1不保并。然而容易證明f是連續(xù)的保并滿射。定理2.3設(shè)L是分配的完備格。若A是弱拓?fù)浞肿痈?L,F)的連通元且A≤B≤A-1,則B(特別地A-)也是(L,F)的連通元。證明假設(shè)B不是(L,F)中的連通元,則存在非零元D,E∈L使得B=D∨E且D-∧E=D∧E-=0。令E1=A∧E,D1=A∧D。由L是分配的完備格和A≤B知D1∨E1=(A∧D)∨(A∧E)=A∧(D∨E)=A∧B=A,且易證E-1∧D1=E1∧D-1=E1∧D1=0。因A是連通元,故E1=0或D1=0,不妨設(shè)E1=0,這時A=D1=A∧D。由此得A≤D,進而A-≤D-。所以E=E∧B≤E∧A-≤E∧D-=0,矛盾。定理2.4設(shè)L是frame(即L是滿足A∧(∨j∈IBj)=∨j∈I(A∧Bj)的完備格,其中A,Bj∈L(?j∈I))。若{Yγ}γ∈Γ是弱拓?fù)浞肿痈?L,F)中的一族連通元且滿足∧γ∈ΓYγ≠0,則∨γ∈ΓYγ也是(L,F)中的一個連通元。證明假設(shè)∨γ∈ΓYγ不是(L,F)中的連通元,則存在非零元A,B∈L使得∨γ∈ΓYγ=A∨B且A-∧B=A∧B-=0。對每一個γ∈Γ,令Bγ=Yγ∧A,Cγ=Yγ∧B。則Yγ=Bγ∧Cγ且Bγ∧C-γ=B-γ∧Cγ=Bγ∧Cγ。由Yγ是連通元知Bγ=0或Cγ=0。不妨設(shè)Bγ=0,這時Yγ=Cγ=Yγ∧B,由此得Yγ≤B且∨γ∈ΓYγ≤B。再由Yγ∧A=0(?γ∈Γ)和L是frame得A=A∧(A∨B)=A∧(∨γ∈ΓYγ)=∨γ∈Γ(A∧Yγ)=0,這與A,B是非零元矛盾。定理2.5設(shè)(L1,F1)和(L2,F2)是弱拓?fù)浞肿痈?f:(L1,F1)→(L2,F2)是滿足f-1(0)=0的保并連續(xù)映射。如果L1是分配的完備格且A是(L1,F1)中的連通元,則f(A)是(L2,F2)中的連通元。證明假設(shè)f(A)不是(L2,F2)中的連通元,則存在非零元B,C∈L2使得f(A)=B∨C且B-∧C=B∧C-=0。令E=f-1(B),F=f-1(C)。由f-1(0)=0知E∧F=f-1(B∧C)=0,又E∨F=f-1(B∨C)=f-1(f(A))≥A。由引理1.1知E-=(f-1(B))-≤f-1(B-),F-=(f-1(C))-≤f-1(C-),因此E∧F-≤E∧f-1(C-)=f-1(B∧C-)=0,E-∧F≤f-1(B-)∧f-1(C)=f-1(B-∧C)=0。令G=A∧E,H=A∧F,由L1是分配的完備格及E∨F≥A知G∨H=(A∧E)∨(A∧F)=A∧(E∨F)=A且G-∧H=G∧H-=0。因為A是(L1,F1)中的連通元,故G=0或H=0。不妨設(shè)G=0,則A=H=A∧F,從而A≤F,所以f(A)≤f(F)=f(f-1(C))≤C。而B=B∧(B∨C)=B∧f(A)≤B∧C=0,這與B是非零元矛盾。3brfpsr,fr?定義3.1設(shè){(Lt,Ft)}t∈T是一族弱拓?fù)浞肿痈瘛Ａ頛=∏t∈TLt(即完備格的直積)。對每個t∈T,用pt:L→Lt表示投影映射,且令B={p-1t(At)|At∈Ft,t∈T},則可證明F={A∈L|存在B1?B使得A=∧B1}是L上的一個弱余拓?fù)?。稱(L,F)為{(Lt,Ft)}t∈T的乘積弱拓?fù)浞肿痈?。容易看出pt:(L,F)→(Lt,Ft)是連續(xù)映射(?t∈T)。關(guān)于連通弱拓?fù)浞肿痈竦目沙诵杂邢旅娴慕Y(jié)論。定理3.1設(shè){(Lt,Ft)}t∈T是一族連通的弱拓?fù)浞肿痈袂掖嬖趓∈T使得0?Fr,則{(Lt,Ft)}t∈T的乘積弱拓?fù)浞肿痈?L,F)連通。證明首先證明B={Bt}t∈T∈F時Br∈Fr。事實上,由0?Fr可證當(dāng)Ar∈Fr時p-1t(Ar)的第r個坐標(biāo)為Ar(Ar≠0)但其余坐標(biāo)都為1,當(dāng)At∈Ft(t∈T-{r})時p-1t(At)的第t個坐標(biāo)為At但其余坐標(biāo)都為1(特別地,p-1t(At)的第r個坐標(biāo)為1)。注意到1∈Fr,便可知Br∈Fr。其次,設(shè)(L,F)不連通,則存在F中的非零元B={Bt}t∈T和C={Ct}t∈T使得1=B∨C且B∧C=0。這時由以上證明知Br∈Fr,Cr∈Fr,Br∨Cr=1且Br∧Cr=0,這說明(Lr,Fr)不連通,矛盾!注3.1(1)定理3.1的條件“存在r∈T使得0?Fr”不是必要的,同時pt一般也不保連通元?？紤]弱拓?fù)浞肿痈?L1,F1)與(L2,F2),其中L1=F1={0,a,b,1}為菱形格,L2={0,1},F2={1}。設(shè)(L,F)為(L1,F1)與(L2,F2)的乘積弱拓?fù)浞肿痈瘛ｋm然(L1,F1)不連通,但(L,F)連通。事實上,L=L1×L2={(0,0),(0,1),(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(1,0),(1,1)},B={p-1t(At)|At∈Ft,t∈{1,2}}={(0,1),(a,1),(b,1),(1,1)}。由此可知對于任意A,B∈F,A∨B=(1,1)和A∧B=(0,0)不可能同時成立,所以(1,1)是(L,F)中的連通元。(2)定理3.1的條件“存在r∈T使得0?Fr”不能去掉。設(shè)(L,F)為弱拓?fù)浞肿痈?L1,F1)與(L2,F2)的乘積弱拓?fù)浞肿痈?其中L1=F1=L2=F2={0,1}。則可證(L1,F1)與(L2,F2)都是連通的但(L,F)不連通。事實上,L=L1×L2={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)},F={p-1t(At)|At∈Ft,t∈{1,2}}={(0,1),(1,0),(1,1)}。由此可知存在非零元(0,1),(1,0)∈F使得(0,1)∨(1,0)=(1,1)和(0,1)∧(1,0)=(0,0)同時成立。所以(L,F)不連通。本節(jié)以下定義或定理中都要求L是frame并且以Copr(L)為并生成集。定義3.2設(shè)(L,F)是弱拓?fù)浞肿痈?A∈L。則可以定義Copr(A)={α∈Copr(L)|α≤A}上的一個關(guān)系～A如下:對于任意α,β∈Copr(A),α～Aβ當(dāng)且僅當(dāng)存在(L,F)中的連通元C滿足C≤A,α≤C且β≤C。定理3.2設(shè)(L,F)是弱拓?fù)浞肿痈?則對任意A∈L,～A是Copr(A)上的一個等價關(guān)系。定義3.3設(shè)α∈Copr(A),A(α)={β∈Copr(A)|α～Aβ}。稱∨A(α)為A中由α決定的連通分支,記為[α]A。顯然,[α]A滿足α≤[α]A≤A。定理3.3[α]A=∨{B∈L|B是(L,F)中的連通元且α≤B≤A}(即[α]A是A中包含α的最大的連通元)。證明一方面,對于任意β∈A(α),即α～Aβ,存在(L,F)中連通元B滿足B≤A,β≤B,α≤B,從而β≤B≤∨{B∈L|B是(L,F)中的連通元且α≤B≤A}。因此[α]A=∨A(α)≤∨{B∈L|B是(L,F)中的連通元且α≤B≤A}。另一方面,令E=∨{B∈L|B是(L,F)中的連通元且α≤B≤A}。由定理2.3易知E是(L,F)中的連通元且滿足α≤E≤A。設(shè)β∈Copr(E),則α～Aβ,從而β∈A(α),故β≤[α]A。因此E=∨Copr(E)≤[α]A。綜上所述,[α]A=∨{B∈L|B是(L,F)中的連通元,且α≤B≤A}。定理3.4(1)對任意α,β∈Copr(A),[α]A=[β]A或者[α]A∧[β]A=0;(2)A=∨{[α]A|α∈Copr(A)}。證明(1)若[α]A∧[β]A≠0,則α≤[α]A∨[β]A≤A且[α]A∨[β]A連通。由[α]A的最大性可知[α]A≤[α]A∨[β]A≤[α]A,從而[α]A=[α]A∨[β]A,同理有[β]A=[α]A∨[β]A,因此[α]A=[β]A。(2)因為A=∨{α|α∈Copr(A)}≤∨{[α]A|α∈Copr(A)}≤A,所以A=∨{[α]A|α∈Copr(A)}。4核心[]b-連通性參數(shù)b本節(jié)假定L是完備DeMorgan代數(shù)(即L是具有逆序?qū)稀涞耐陚涓?并且以Copr(L)為并生成集。定義4.1設(shè)(L,F)是弱拓?fù)浞肿痈?α∈Copr(L),稱F(α)={C∈L|?D∈F,α≤/D,C≤D}為α的遠域系,F(α)中的成員稱為α的遠域。定義4.2稱弱拓?fù)浞肿痈?L,F)局部連通的是指,對于每個α∈Copr(L)以及每個A∈F(α),存在B∈F(α)使得A≤B且B′是連通元。定理4.1弱拓?fù)浞肿痈?L,F)局部連通的充要條件是對于每個α∈Copr(L)以及每個A∈F(α),存在F1?F使得A=∧F1且對于F1中的每一個元B,B′是(L,F)中的連通元。證明只證必要性。設(shè)A∈F,要證存在F1?F使得A=∧F1且任意B∈F1,B′是(L,F)的連通元。令F2={α∈Copr(L)|≤/A},對每一個α∈F2,有A∈F(α)。由定義4.2知存在B∈F(α)使得A≤B且B′是(L,F)中的連通元。令F1={B|α∈F2,A≤B,B∈F(α)且B′是(L,F)中的連通元},則A=∧F1。事實上,一方面由于A≤B(?B∈F1),A≤∧F1。另一方面,對任意α≤/A,由于A∈F,根據(jù)定義4.1知A∈F(α),進而存在E∈F(α)使得A≤E且E′是(L,F)中的連通元,即E∈F1