兩垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成實(shí)驗(yàn)的觀察與應(yīng)用

兩垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成實(shí)驗(yàn)的觀察與應(yīng)用

在北京大學(xué)的實(shí)驗(yàn)中，作為一項(xiàng)重要的實(shí)驗(yàn)，使用計(jì)算機(jī)作為一個(gè)重要的實(shí)驗(yàn)，在培養(yǎng)學(xué)生的理論和實(shí)踐能力以及基本使用設(shè)備方面發(fā)揮著重要作用。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一種很典型、最基本的機(jī)械振動(dòng),在大學(xué)物理理論課的教學(xué)中是一個(gè)重點(diǎn),而關(guān)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成問(wèn)題上又是該部分問(wèn)題的一個(gè)難點(diǎn)。由于該內(nèi)容比較抽象,學(xué)生很難理解和掌握,教師在課堂上講解時(shí)也覺(jué)得困難,為了使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際,我們?cè)谑静ㄆ鞯氖褂脤?shí)驗(yàn)中,增加了兩垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成實(shí)驗(yàn)——觀察和應(yīng)用李薩如圖,讓學(xué)生對(duì)這種特殊的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成有一個(gè)形象、直觀的認(rèn)識(shí),從而更好地消化理解和鞏固理論課上的內(nèi)容。通常,在“示波器的使用”實(shí)驗(yàn)中,作為基本操作能力培養(yǎng),對(duì)示波器基本結(jié)構(gòu)及其基本的調(diào)節(jié)和使用,利用示波器觀察信號(hào)波形,并測(cè)量其電壓值和周期等內(nèi)容,都是作為重點(diǎn)內(nèi)容講解并操作的。對(duì)于利用示波器觀察李薩如圖,由于很多實(shí)驗(yàn)教材對(duì)此都是簡(jiǎn)單講解,而且利用李薩如圖求解信號(hào)頻率的原理和操作上基本無(wú)障礙,所以學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的一些現(xiàn)象沒(méi)引起重視,甚至部分教師也忽略了這一部分內(nèi)容,以至使此部分內(nèi)容應(yīng)該達(dá)到的效果大打折扣,學(xué)生對(duì)做此部分實(shí)驗(yàn)的目的不太明確,對(duì)理論學(xué)習(xí)中的振動(dòng)的合成的理解也就不深刻了。基于此,作者擬就李薩如圖形的基本知識(shí)以及示波器使用實(shí)驗(yàn)中,利用示波器觀察李薩如圖過(guò)程中出現(xiàn)的一些現(xiàn)象做一些探討,希望能對(duì)本實(shí)驗(yàn)的教與學(xué)有一定的參考價(jià)值。一、李薩如圖的結(jié)構(gòu)有兩個(gè)相互垂直的振動(dòng):或者表示成:考慮它們的合成,如果其頻率比滿足一定的關(guān)系,即如果分振動(dòng)頻率成整數(shù)比,則其合振動(dòng)的軌跡為一穩(wěn)定的封閉曲線,此曲線稱為李薩如圖(Lissajous’figures)。李薩如圖的圖樣形狀和分振動(dòng)的頻率比,初位相以及振幅都有關(guān)系,利用示波器演示時(shí),還跟信號(hào)通道的顯示比例有關(guān)。為了研究和討論方便,我們采用計(jì)算機(jī),利用MATLAB語(yǔ)言編程描繪出部分李薩如圖如下圖1、圖2:上兩圖中各曲線的相應(yīng)參數(shù)如下:二、y方向上及其復(fù)雜性利用雙蹤示波器,可以很方便地得到李薩如圖,再根據(jù)李薩如圖形,可以比較兩個(gè)電信號(hào)的頻率,其關(guān)系式如下:其中,fx,fy分別指加在x,y方向上的電信號(hào)的頻率,Nx,Ny分別指李薩如圖形與x,y軸的最大交點(diǎn)數(shù)。若fx為已知頻率,fy為未知頻率,則可由下式求出fy通過(guò)頻率比可由已知頻率測(cè)量未知頻率,這在電學(xué)測(cè)量技術(shù)中占有重要地位,可達(dá)到很高的精確度。三、yb3314函數(shù)/任意信號(hào)發(fā)生器我們實(shí)驗(yàn)室所用儀器為江蘇綠揚(yáng)電子儀器集團(tuán)有限公司生產(chǎn)的YB43020B示波器和YB33150函數(shù)/任意信號(hào)發(fā)生器。利用信號(hào)發(fā)生器得到所需的信號(hào),接入雙蹤示波器,從而得到李薩如圖的操作過(guò)程極其簡(jiǎn)單,此處不加贅述。現(xiàn)就實(shí)驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)的一些現(xiàn)象作如下一些分析與處理。(1)影響學(xué)生科學(xué)性觀的態(tài)度每次實(shí)驗(yàn),都有細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn),在做相同頻率比的實(shí)驗(yàn)步驟時(shí),使用其它儀器的同學(xué)所得到的李薩如圖跟自己得到的李薩如圖形狀有所不同,學(xué)生常常疑惑不解,如果指導(dǎo)老師不給予及時(shí)的正確指引,常常會(huì)使學(xué)生因?yàn)椴焕斫舛鴳岩蓪?shí)驗(yàn)的可靠性和理論的正確性,導(dǎo)致學(xué)生做實(shí)驗(yàn)的態(tài)度也呈現(xiàn)懶散與隨意,從而影響學(xué)生的科學(xué)研究觀和學(xué)習(xí)的態(tài)度。(2)李薩如圖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果同一組實(shí)驗(yàn)的同學(xué),所用儀器相同,在相同頻率下,兩人前后所做得出的李薩如圖形狀不相同,學(xué)生有懷疑結(jié)果和理論的正確性傾向。即使同一同學(xué)做相同實(shí)驗(yàn),把信號(hào)發(fā)生器上的頻率改變一下,再調(diào)回原頻率,則會(huì)與原頻率下得到的圖形不一致。以上兩種現(xiàn)象是實(shí)驗(yàn)中最常見(jiàn)的,對(duì)該類現(xiàn)象不理解,實(shí)際上是對(duì)李薩如圖形成機(jī)理未能深刻理解所致。此處的李薩如圖實(shí)際是電子同時(shí)參與了水平和豎直兩個(gè)方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),最后落在熒光屏上使熒光屏發(fā)光的光跡圖樣。合成振動(dòng)的軌跡方程推導(dǎo)如下:由(1)式可得:其中n是整數(shù)把(5)式代入(2)式,,并考慮到余弦函數(shù)是偶函數(shù),得:此即為兩個(gè)兩個(gè)分振動(dòng)合成為李薩如圖的軌跡方程。從軌跡方程可以看出,要使得到的兩個(gè)李薩如圖形狀相同,四個(gè)簡(jiǎn)諧信號(hào)還必須同時(shí)滿足:顯然,要得到相同形狀的兩個(gè)李薩如圖,就并非像同學(xué)們一般想象那樣,只要兩個(gè)信號(hào)的頻率比相同就可以了,而是還跟他們的初相位有關(guān)。盡管在示波器實(shí)驗(yàn)中,利用信號(hào)發(fā)生器使相疊加的兩信號(hào)的頻率比比較容易得到,但由于初相位之間的關(guān)系利用信號(hào)發(fā)生器很難甚至無(wú)法滿足,在做實(shí)驗(yàn)的時(shí)候,各組之間開(kāi)始的時(shí)間,儀器之間產(chǎn)生的初相位的差別,兩信號(hào)疊加在一起的時(shí)刻都各不相同,所以盡管(7)式滿足了,但(8)式非常難于滿足,于是,各組之間在相同頻率比下得到的李薩如圖不相同,也就不足為奇了,甚至我們可以說(shuō),得到不相同的形狀,反而是正常的。就算是相同儀器的一組同學(xué),甚至是相同儀器的同一位同學(xué),在反復(fù)做同一頻率比的李薩如圖實(shí)驗(yàn)時(shí),由于前后使用的信號(hào)的初相位有變化,得到的李薩如圖的形狀也是不一樣的,除非碰巧剛好滿足(7)式,(8)式關(guān)系,但此種情況出現(xiàn)的幾率非常小。盡管如此,我們利用得到的不同形狀的李薩如圖圖樣,來(lái)求解未知信號(hào)頻率時(shí),得到的頻率結(jié)果卻是一致的,這一點(diǎn)上,證明我們所使用的實(shí)驗(yàn)原理,就求解未知頻率的方法而言,是絕對(duì)正確,無(wú)庸置疑的。如圖3中,曲線6為:x=cos(2t-π/3)y=cos(4t+π/4)疊加,7為:x=cos(2t-π/5)y=cos(4t-π/4)疊加,由于各分振動(dòng)的初相位不同,導(dǎo)致曲線形狀不一樣,但很明顯,對(duì)曲線6和7,均滿足(3)式,故求出的未知頻率一定是正確的。(3)模擬出的轉(zhuǎn)動(dòng)圖像實(shí)驗(yàn)中還有一個(gè)重要現(xiàn)象,就是當(dāng)被測(cè)頻率較高時(shí),比如本實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)被測(cè)頻率達(dá)到500HZ時(shí),圖象就表現(xiàn)出不穩(wěn)定,呈旋轉(zhuǎn)狀,出現(xiàn)這種現(xiàn)象的同時(shí),一方面學(xué)生高度好奇,覺(jué)得新鮮,好看,但另一方面,也不免要問(wèn)為什么,書(shū)上不是說(shuō)會(huì)得到穩(wěn)定圖樣么,那這種現(xiàn)象又做何解釋呢?原來(lái)是這樣,由于任何儀器都有一個(gè)精度問(wèn)題,當(dāng)用信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生一定頻率的信號(hào)時(shí),會(huì)與理論期望值有所差距,且頻率越高,差距也就越大,這樣,頻率比也就不是所期望的嚴(yán)格的整數(shù)比了,圖樣也就不穩(wěn)定了,且頻率越高時(shí),現(xiàn)象越明顯。因此,隨著時(shí)間的增加,圖樣看起來(lái)也就呈現(xiàn)出轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象。筆者利用計(jì)算機(jī),通過(guò)MATLAB語(yǔ)言編程模擬出合成的過(guò)程,當(dāng)兩分振動(dòng)頻率比成嚴(yán)格整數(shù)比時(shí),圖象穩(wěn)定,保持固定形狀,當(dāng)二分振動(dòng)頻率不成嚴(yán)格整數(shù)比例(某分振動(dòng)頻率與欲設(shè)頻率有微小偏離)時(shí),圖象變的不穩(wěn)定,隨著時(shí)間增加,開(kāi)始旋轉(zhuǎn)起來(lái),模擬結(jié)果跟示波器上觀察到的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象完全吻合,圖4是當(dāng)x=cos(2π×100t),y=cos(2π×5005.t+π/)4的兩信號(hào)疊加時(shí),模擬出的轉(zhuǎn)動(dòng)的圖樣中某兩時(shí)刻的情況截圖。通過(guò)本實(shí)驗(yàn),不僅使學(xué)生切實(shí)觀察到了簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的李薩如圖,學(xué)會(huì)了測(cè)量簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率的一種方法,而且,學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的一些實(shí)驗(yàn)前未曾預(yù)料的現(xiàn)象的疑惑與探討,更加深了理論課中對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成這一部分理論內(nèi)容的理解與直觀印象,充分體現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)課程與理論課程的相輔