《作角平分線過直線外一點(diǎn)作垂線》教學(xué)設(shè)計(jì)(部級優(yōu)課)x-八年級數(shù)學(xué)教案

課題：探索三角形全等的條件---尺規(guī)作圖（蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖學(xué)校李明樹）教學(xué)目標(biāo)利用尺規(guī)作圖作線段、角、角平分線、線段垂直平分線，了解作圖的方法、步驟，并能掌握基本的作圖語言.通過動(dòng)手操作、合作探究，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力、語言表達(dá)能力、邏輯思維和推理能力，體會(huì)類比和化歸的數(shù)學(xué)思想.激情投入，全力以赴，讓學(xué)生認(rèn)識到尺規(guī)作圖與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.學(xué)情分析學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了線段的度量方法，利用度量法和疊合法比較線段的大小關(guān)系：已經(jīng)掌握了度量法即是測量線段兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離：疊合法即為使用圓規(guī)將一條線段疊放在另一條線段上，在比較另一個(gè)端點(diǎn)的位置。學(xué)生們已經(jīng)掌握了使用尺規(guī)作圖的方法作一條線段等于已知線段，甚至可以使用尺規(guī)作圖作線段的和差倍。對于角相關(guān)知識，在小學(xué)學(xué)生已經(jīng)掌握了利用量角器測量角的度數(shù)，利用量角器畫一個(gè)角等于已知角，但是量角器畫角的本質(zhì)是什么，尺規(guī)作圖畫一個(gè)角等于已知角量角器畫角之間有何本質(zhì)上的聯(lián)系？學(xué)生是模糊不清的，所以，學(xué)生通過兩個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的折紙活動(dòng)，折出角平分線和線段垂直平分線，再從尺規(guī)作圖的角度作角平分線、線段的垂直平分線，明確數(shù)學(xué)知識的幾何本質(zhì)。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形全等的條件是SAS、ASA、AAS、SSS，而前面四個(gè)判定的研究均利用了“尺規(guī)作圖”，如何促使學(xué)生充分理解三角形全等的判定方法和尺規(guī)作圖的本質(zhì)聯(lián)系，是學(xué)生急需要解決的問題。重點(diǎn)難點(diǎn)類比尺規(guī)線段作圖法作線段、角，通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)折角平分線、角平分線；理解尺規(guī)作圖與常規(guī)作圖的本質(zhì)聯(lián)系，探索尺規(guī)作圖與全等三角形的本質(zhì)聯(lián)系。教材分析《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）課程內(nèi)容部分對尺規(guī)作圖是這樣描述的：（1）能用尺規(guī)完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作一個(gè)角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線。（2）會(huì)利用基本作圖作三角形：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形。（3）會(huì)利用基本作圖完成：過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形。（4）在尺規(guī)作圖中，了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。蘇科版初中數(shù)學(xué)第六章平面圖形的認(rèn)識（一）內(nèi)容的設(shè)置上是先研究線段，后研究角，蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第一章《全等三角形》第3小節(jié)《探索三角形全等的條件》主要是研究三角形，為后續(xù)研究四邊形打下鋪墊。教法學(xué)法教師圍繞三個(gè)主線引導(dǎo)教學(xué):圖形研究的順序：線段、角、角平分線、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖；方法研究的策略：度量法到尺規(guī)作圖、折紙與尺規(guī)作圖；圖形研究內(nèi)容：尺規(guī)作圖與全等三角形。學(xué)法：小組合作，導(dǎo)師互助，圍繞研究圖形的變化，在“畫”圖的手段上類比研究尺規(guī)作圖的本質(zhì)。六、教學(xué)過程憶一憶1.如圖，已知線段AB，請利用刻度尺度量它的長度，并說說你的做法.【設(shè)計(jì)說明】：回憶測量直尺測量線段的長度就是在直尺上找到到一條線段等于已知線段的長度。2.如圖，已知線段AB，請你畫線段CD=AB.請簡要說說你的畫法.【設(shè)計(jì)說明】：回憶利用直尺畫已測量的線段的長度即將筆尖從直尺零刻度線在直尺上滑動(dòng)，滑動(dòng)到所度量的刻度，確定第二個(gè)端點(diǎn)即可?！驹賾洝咳鐖D，已知線段a,b（a＞b），請你利用直尺和圓規(guī)作線段AB=a+b、CD=a-b、EF=2a+b.【設(shè)計(jì)說明】：復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖作線段的和差倍作法，為學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖作角作鋪墊。畫一畫量角器量角、畫角1.畫一個(gè)角等于∠AOB2.歸納總結(jié)：量角器量角的步驟：a.中心對頂點(diǎn)；b.零線對一邊；C.它邊看度數(shù)；3.數(shù)學(xué)抽象：師生共同從利用量角器測量角的度數(shù)的步驟中抽象出幾何圖形，教師利用幾何畫板動(dòng)態(tài)操作演示，并用陰影部分呈現(xiàn).【設(shè)計(jì)說明】：以學(xué)生熟悉的量角器度量已知角、畫已知度數(shù)的角，旨在引導(dǎo)學(xué)生在使用量角器畫角其關(guān)鍵是：確定三個(gè)點(diǎn)（角的頂點(diǎn)O、量角器零刻度線和半圓弧的交點(diǎn)C、筆尖在半圓弧上滑動(dòng)到示數(shù)的刻度點(diǎn)D），為后面利用尺規(guī)作圖作角埋下伏筆。（三）作一作活動(dòng)1無刻度的直尺和圓規(guī)畫角1.請利用無刻度的直尺和圓規(guī)畫角作∠A’O’B’=∠AOB步驟：(1)作射線O′A′.(2)以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧交OA于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D；(3)以點(diǎn)O′為圓心，OC長為半徑畫弧,交O′A′于點(diǎn)C′；(4)以點(diǎn)C′為圓心,CD長為半徑畫弧,交前面的弧于點(diǎn)D′；(5)過點(diǎn)D′作射線O′B′，∠A′O′B′就是所求作的角.2.師生共研，數(shù)學(xué)抽象：【設(shè)計(jì)說明】：作一個(gè)角等于已知角可以歸納為“一線三弧”，先畫一條射線,再作三次弧.其中前兩次弧半徑相同,而第三次以原角的兩邊與弧的交點(diǎn)之間的距離為半徑.類比量角器量角的方法，師生共同完成操作，實(shí)際引導(dǎo)學(xué)生明確尺規(guī)作圖也是找三點(diǎn)：頂點(diǎn)O’、邊上的點(diǎn)C’(與量角器零刻度線和半圓弧的交點(diǎn)C一致）、邊上的點(diǎn)D’（與筆尖在半圓弧上滑動(dòng)到示數(shù)的刻度點(diǎn)D一致），巧妙的探究了問題的本質(zhì)和兩種作圖間的本質(zhì)聯(lián)系。教師通過幾何畫板逐步展示畫法和步驟，并進(jìn)一步分析問題的本質(zhì)為圖中兩個(gè)三角形可以重合，即為已經(jīng)學(xué)習(xí)的三角形全等條件（SSS）.知一知（數(shù)學(xué)文化）尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖。尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題。只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。尺規(guī)作圖使用的直尺和圓規(guī)帶有想像性質(zhì)，跟現(xiàn)實(shí)中的并非完全相同：（1）直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側(cè)。只可以用它來將兩個(gè)點(diǎn)連在一起，不可以在上畫刻度；（2）圓規(guī)可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成之前構(gòu)造過的長度。介紹尺規(guī)作圖的三大問題：三等分任意角、倍立方問題、畫圓為方?！驹O(shè)計(jì)說明】滲透尺規(guī)作圖數(shù)學(xué)史的介紹，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的尊敬，教師介紹尺規(guī)作圖的三大問題是為了激起學(xué)生想學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望，立志努力學(xué)習(xí)，解決更多需要解決的數(shù)學(xué)問題。（四）折一折1.折角數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（一）（1）折疊任意三角形紙片；（2）折疊1次；（3）使其中一邊完全落在另一邊上，你有什么發(fā)現(xiàn)？數(shù)學(xué)思考：無刻度的直尺和圓規(guī)作已知角的平分線作法：1.以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點(diǎn)C、D；2.分別以點(diǎn)C、D為圓心，大于(1/2)CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)M；3.作射線OM.OM就是∠AOB的角平分線.【設(shè)計(jì)說明】：學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖作一個(gè)角等于已知角時(shí)學(xué)生已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，此活動(dòng)安排的目的讓學(xué)生明白，角平分線可以通過折紙折出來，通過觀察折疊后的紙片，可發(fā)現(xiàn)只需在角的兩邊和角的內(nèi)部找到關(guān)鍵的點(diǎn)即可找到角的平分線，而這些關(guān)鍵點(diǎn)即可通過尺規(guī)作圖的方法解決，也可以從SSS全等的角度加以詮釋說明。變式：已知∠AOB為平角，利用尺規(guī)作圖過點(diǎn)O作直線AB的垂線。2.折線段數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)（二）（1）折疊任意三角形紙片；（2）折疊1次；（3）使其中一個(gè)頂點(diǎn)與另一個(gè)頂點(diǎn)重合你有什么發(fā)現(xiàn)？數(shù)學(xué)思考：無刻度的直尺和圓規(guī)作已知線段的垂直平作法：1.分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于(1/2)AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C、D；2.過C、D兩點(diǎn)作直線.直線CD就是線段AB的垂直平分線.變式：已知直線AB和直線外一點(diǎn)C，用尺規(guī)作圖過點(diǎn)C作直線AB的垂線（五）悟一悟1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)：（1）對自己說，你有哪些收獲？（2）對同學(xué)說，你有哪些經(jīng)驗(yàn)？（3）對老師說，你有哪些困惑？【設(shè)計(jì)說明】引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容：1.本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用無刻度的直尺和圓