實(shí)或復(fù)數(shù)域f上的套代數(shù)

實(shí)或復(fù)數(shù)域f上的套代數(shù)

1u3000dimx上的李可乘同構(gòu)r和s是兩個(gè)環(huán)，rs是一個(gè)矩陣。如果對(duì)任意的A,B∈R,Φ(AB)=Φ(A)Φ(B),稱Φ是可乘的;如果對(duì)任意的A,B∈R,Φ([A,B])=[Φ(A),Φ(B)],稱Φ是李可乘的,其中[A,B]=AB-BA是A和B的李積,也叫作交換子。進(jìn)而,如果Φ是雙射且李可乘的,稱Φ李可乘同構(gòu);如果Φ是雙射,可加且李可乘的,稱Φ李環(huán)同構(gòu)。如果R和S是數(shù)域F上的兩個(gè)代數(shù),Φ是雙射,F-線性的且李可乘,稱Φ是李代數(shù)同構(gòu)。對(duì)于環(huán)上的李環(huán)同構(gòu)的研究,參考和相關(guān)文獻(xiàn)。在這篇文章里我們重點(diǎn)關(guān)注Banach空間上的套代數(shù)間的李環(huán)同構(gòu)的刻畫問(wèn)題。令X是(實(shí)或復(fù))數(shù)域F上的Banach空間,X*是它的拓?fù)涔曹棥(X)表示X上所有有界線性算子代數(shù)。X上的套N是完備的全序子空間格,即X的閉(在范數(shù)拓?fù)湎?子空間鏈,在任意閉線性張(記為∨)和交(記為∧)的運(yùn)算下是封閉的,并且包含(0)和X.我們把與套N相對(duì)應(yīng)的套代數(shù)記為AlgN,它是保持每個(gè)子空間N∈N不變的所有算子構(gòu)成的弱閉算子代數(shù)。對(duì)于N∈N,令如果N是X上的套,則是X*上的套并且如果N={(0),X},我們稱N是平凡套,在這種情況下,AlgN=B(X).非平凡套代數(shù)是非常重要的非半單的、非半素的、非自伴的自反算子代數(shù)。如果dimX<∞,X上的套代數(shù)同構(gòu)于某個(gè)上三角塊矩陣代數(shù)。套代數(shù)是算子代數(shù)的重要研究領(lǐng)域,關(guān)于套代數(shù)的基礎(chǔ)理論,讀者可以參考。在文獻(xiàn)中,Marcoux和Sourour證明了可分復(fù)Hilbert空間上的套代數(shù)間的李代數(shù)同構(gòu)都可表示為α+β的形式,其中α是代數(shù)同構(gòu)或負(fù)的代數(shù)反同構(gòu),β:AlgN→CI是在所有交換子上為零的線性映射,即對(duì)任意的A,B∈AlgN,滿足β([A,B])=0.要把這一結(jié)果推廣到任意Banach空間上套代數(shù)的情形,其主要困難之一是Banach空間的子空間不一定是可補(bǔ)的。Qi和Hou在文獻(xiàn)中通過(guò)刻畫某類Banach空間套代數(shù)之間的李可乘同構(gòu)推廣了Marcoux和Sourour的結(jié)果。注意到,李可乘同構(gòu)不一定是可加的。令N,M分別是(實(shí)或復(fù))數(shù)域F上的Ba-nach空間X,Y上的套,具有性質(zhì)如果M∈M滿足M－=M,則M在Y中可補(bǔ)(明顯地,如果Y是Hilbert空間或如果dimY<∞,這個(gè)假設(shè)是自然滿足的)。令A(yù)lgN和AlgM分別是相應(yīng)的套代數(shù),Φ:AlgN→AlgM是雙射。Qi和Hou在文獻(xiàn)中證明了:如果dimX=∞,且存在N中的非平凡元在X中是可補(bǔ)的,則Φ是李可乘同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在映射h:AlgN→FI,滿足對(duì)任意A,B∈AlgN,h([A,B])=0,使得Φ(A)=TAT－１+h(A)I對(duì)任意的A∈AlgN都成立,或Φ(A)=-TA＊T－１+h(A)I對(duì)任意的A∈AlgN都成立。其中,在第一種形式里,T:X→Y是可逆有界線性或共軛線性算子使得N→T(N)是N到M上的序同構(gòu);而在第二種形式里,X,Y是自反的,T:X＊→Y是可逆有界線性或共軛線性算子使得N⊥→T(N⊥)是N⊥到M上的序同構(gòu)。如果dimX=n<∞,可以把套代數(shù)和上三角塊矩陣代數(shù)看成一樣,則Φ是李可乘同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在域自同構(gòu)τ:F→F,可逆矩陣T使得要么Φ(A)=TAτT－１+h(A)對(duì)任意A都成立,要么Φ(A)=-T(Aτ)ｔｒT－１+h(A)對(duì)任意A都成立,其中對(duì)于矩陣A=(aｉｊ),Aτ=(τ(aｉｊ)),Aｔｒ是A的轉(zhuǎn)置。特別地,上面的結(jié)果刻畫了有限維情形下的套代數(shù)之間的李環(huán)同構(gòu),無(wú)限維情形,套N和M滿足上面所提條件的套代數(shù)之間的李環(huán)同構(gòu),以及任何Hil-bert空間上套代數(shù)之間的李環(huán)同構(gòu)。最近,Wang和Lu在文獻(xiàn)中從另外的角度推廣了Marcoux和Sourour的結(jié)果,證明了Ba-nach空間上的任意套代數(shù)AlgN和AlgM之間的李代數(shù)同構(gòu)可以表示為α+β的形式,其中α是代數(shù)同構(gòu)或負(fù)的代數(shù)反同構(gòu),β:AlgN→FI是在每個(gè)交換子上為零的線性映射。因?yàn)閷?duì)于套N有非平凡的可補(bǔ)元的情形下,李代數(shù)同構(gòu)在文獻(xiàn)中已經(jīng)得到刻畫,Wang和Lu在文獻(xiàn)中主要處理N中的所有的非平凡元都不可補(bǔ)的情形。一個(gè)自然的問(wèn)題是如何刻畫任意Banach空間上套代數(shù)之間的李環(huán)同構(gòu),從而獲得比文獻(xiàn)更一般的結(jié)果。本文的目的在套的最大元及最小元都是極限元,即(0)＋=(0),X－=X的條件下,回答上述問(wèn)題。注意,李環(huán)同構(gòu)和李代數(shù)同構(gòu)是非常不同的。例如套代數(shù)間的代數(shù)同構(gòu)總是連續(xù)的,然而環(huán)同構(gòu)在有限維情形不一定是連續(xù)的。下面是本文的主要結(jié)果。定理1令N,M是(實(shí)或復(fù))數(shù)域F上的Ba-nach空間X和Y上的套,AlgN和AlgM分別為相應(yīng)的套代數(shù)。設(shè)(0)＋=(0),X－=X,則映射Φ:AlgN→AlgM是李環(huán)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在套代數(shù)間的環(huán)同構(gòu)或負(fù)的環(huán)反同構(gòu)Ψ,在所有交換子上為零的可加泛函h:AlgN→F,使得Φ(A)=Ψ(A)+h(A)I對(duì)所有A∈AlgN都成立。Banach空間算子的套代數(shù)間的環(huán)同構(gòu)和環(huán)反同構(gòu)已在文獻(xiàn)中定理2.2、定理2.7及注記2.6中刻畫。利用這些結(jié)果和定理1,我們可以得到李環(huán)同構(gòu)更為精確的刻畫。設(shè)W,V是復(fù)數(shù)域C上的線性空間,如果可加映射S:W→V滿足S(λx)=ue49fSx對(duì)所有的x∈W,λ∈F都成立,則稱S是共軛線性的。定理2令N,M是(實(shí)或復(fù))數(shù)域F上的Ba-nach空間X和Y上的套,AlgN和AlgM分別為相應(yīng)的套代數(shù)。設(shè)(0)＋=(0),X－=X,則映射Φ:AlgN→AlgM是李環(huán)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在可加泛函h:AlgN→F滿足對(duì)任意的A,B∈AlgN,h([A,B])=0,且下列之一成立:1)存在有界可逆線性或共軛線性算子T:X→Y使得N→T(N)是N到M上的序同構(gòu),Φ(A)=TAT－１+h(A)I對(duì)任意的A∈AlgN都成立;2)X,Y是自反的,存在有界可逆線性或共軛線性算子T:X＊→Y使得N⊥→T(N⊥)是N⊥到M上的序同構(gòu),Φ(A)=-TA＊T－１+h(A)I對(duì)任意的A∈AlgN都成立。進(jìn)而,如果F=R,上述算子T是線性的。注意到,對(duì)于套N的假設(shè)條件(0)＋=(0)和X－=X蘊(yùn)涵X是無(wú)限維的。本文第2部分給出預(yù)備引理,它們中的一些也是證明主要結(jié)果中的一部分。第3部分給出主要結(jié)果定理1的證明。2u3000人在這一部分,我們給出一些預(yù)備引理,定義和符號(hào)。它們?cè)谧C明主要結(jié)果中要用到。令X,Y是實(shí)或復(fù)數(shù)域F上的Banach空間,N,M是X和Y上的套,AlgN和AlgM分別是對(duì)應(yīng)的套代數(shù)。我們知道套代數(shù)的交換子是平凡的,即,如果T∈B(X),對(duì)任意算子A∈AlgN,TA=AT,則T=λI,λ∈F。這個(gè)事實(shí)在本文中將不加解釋直接應(yīng)用。另外,符號(hào)ranT,kerT和rankT分別代表算子T的值域,零空間和秩(即,值域ranT的維數(shù))。對(duì)于x∈X,f∈X＊,xue3c1f表示X上秩不大于1的算子,其定義為,對(duì)于任意向量y,(xue3c1f)y=f(y)x.有時(shí)候我們用〈x,f〉表示f在x處的值f(x).下面引理是眾所周知的,它給出了套代數(shù)里一秩算子的刻畫。引理1［５］令N為(實(shí)或復(fù))Banach空間X上的套,x∈X,f∈X＊.則xue3c1f∈AlgN當(dāng)且僅當(dāng)存在子空間N∈N使得x∈N,對(duì)于任意非平凡元E∈N,定義在文獻(xiàn)中,Wang和Lu證明了L是AlgN中的真極大交換李代數(shù)理想當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一E∈N,L=FI+J(N,E).下面的引理證明了任意極大交換李環(huán)理想也是這種形式。引理2J是AlgN中的真極大交換李環(huán)理想當(dāng)且僅當(dāng)它是真極大交換李代數(shù)理想。證明假設(shè)J是極大交換李環(huán)理想,則對(duì)任意A∈AlgN,C∈J和λ∈F,我們有[A,λC]=λ[A,C]∈FJ,這蘊(yùn)含了FJ是李環(huán)理想。明顯地,FJ也是可交換的。因?yàn)镴是極大的,因此因此我們有FJ=J.從而J也是李代數(shù)理想。反過(guò)來(lái)是明顯的。證畢。在本文剩下的部分里,我們假設(shè)(0)+=(0),X-=X,Φ:AlgN→AlgM是李環(huán)同構(gòu)。于是N包含無(wú)限多個(gè)非平凡元。則由引理2,對(duì)于任何非平凡元E∈N,Φ(FI+J(N,E))是AlgM中的極大交換李環(huán)理想。因此存在唯一非平凡元F∈M使得Φ(FI+J(N,E))=FI+J(M,F)。令如果我們得到映射利用上面引進(jìn)的符號(hào)和類比(文獻(xiàn)中引理4.1,4.3,4.4)的論證,我們能證明下面的引理對(duì)于李環(huán)同構(gòu)仍然是正確的。引理3等式2中的是雙射并且要么保序要么反序的。如果我們延拓的定義使得相應(yīng)地是N到M上的序同構(gòu)或反序同構(gòu)。由引理3,對(duì)任意的A∈J(N,E),E∈N是非平凡元,存在唯一算子B∈J(M,^E)使得Φ(A)-B∈FI.因此我們可以定義另外一個(gè)映射:具有性質(zhì)對(duì)任意的A∈J(N,E)都成立。類似于文獻(xiàn)中引理4.2,我們有引理4是雙射并且對(duì)任意非平凡元E∈N,下面的引理是顯而易見的。最后,我們給出一個(gè)引理,它在證明我們主要結(jié)果時(shí)要用到。令E,F分別是X和X＊上的子空間。用Eue3c1F表示集合{xue3c1f:x∈E,f∈F}.設(shè)W,V是數(shù)域F上的線性空間,τ是F的域自同構(gòu),如果可加映射S:W→V滿足S(λx)=τ(λ)Sx對(duì)所有的x∈W,λ∈F都成立,則稱S是τ-線性的。引理6的證明類似文獻(xiàn)中的方法可以得到,此處省略。3定理1的證明本節(jié)中分別為等式(2)和(3)中定義的映射。引理7假設(shè)(0)+=(0),X-=X.令E∈N是非平凡元。則對(duì)任意x∈E,是一秩算子。證明由引理3知,雙射:N→M要么是保序同構(gòu)要么是反序同構(gòu),故對(duì)于套M也有則按的定義,我們需證R是一秩的.用反證法,假設(shè)rankR>1.因?yàn)閅-=Y蘊(yùn)涵∪{M:M∈M}是Y中稠密的線性流形,故存在非平凡元M0∈M和向量u,v∈M0使得Ru和Rv是線性無(wú)關(guān)的。又因?yàn)?0)+=(0)蘊(yùn)涵∩{M:(0)<M∈M}=(0),于是存在非平凡元L∈M使得Ru,Rvue22cL.令YL=span{Ru,L}.由Hahn-Banach定理,存在使得g(Rv)≠0.則g∈L⊥且滿足g(Ru)=0,g(Rv)≠0.容易驗(yàn)證由引理如果保序,則我們有因此由Φ的單射性得到A((xue3c1f)B=0,這蘊(yùn)含A(xue3c1f)=0或者(xue3c1f)B=0.如果A(xue3c1f)=0,則0=Φ([A,xue3c1f])=[zue3c1g,R]=(zue3c1g)R≠0,矛盾;如果(xue3c1f)B=0,則0=Φ([xue3c1f,B])=[R,uue3c1h]=R(uue3c1h)≠0,矛盾。如果反序,則我們有因此這蘊(yùn)含了B(xue3c1f)=0或(xue3c1f)A=0.通過(guò)和上面類似的論證,我們可以推出矛盾。因此,一定有證畢。下面我們給出定理1的證明。定理1的證明由引理7,引理5和的雙射性,我們得到,對(duì)任意非平凡元因此,由引理6,存在環(huán)同構(gòu)τＥ:F→F和映射γＥ:Eue3c1E⊥→F使得要么對(duì)所有的x∈E,f∈E⊥成立,其中CE:都是τ-線性雙射;要么對(duì)所有的x∈E,f∈E⊥成立,其中都是τ-線性雙射。容易驗(yàn)證,如果存在非平凡元E０∈N使得等式(4)成立,則等式(4)對(duì)任意非平凡元E∈N成立;如果存在非平凡元E０∈N使得等式(5)成立,則等式(5)對(duì)任意非平凡元E∈N成立。假設(shè)等式(4)對(duì)非平凡的元E∈N成立。則對(duì)任意N∈N,x∈E∩N,f∈E⊥∩N,我們有因此,對(duì)任意A∈AlgN,x∈N和f∈N⊥,由等式(6),我們有結(jié)合以上兩個(gè)等式并且注意到I是無(wú)限秩的,可以得到對(duì)任意N∈N\{(0),X}以及x∈N,f∈N⊥,我們有成立。又注意到D是雙射,所以存在標(biāo)量h(A)使得對(duì)任意x∈∪{N∈N:N≠(0),X},有顯然,h作為AlgN上的泛函是可加的。對(duì)任意A∈AlgN,定義Ψ(A)=Φ(A)-h(A)I.則由等式(7),對(duì)任意A,B∈AlgN,x∈∪{N∈N:N≠(0),X},我們有因?yàn)椤葅N∈N:N≠(0),X}在X中稠密且C是雙射,于是對(duì)任意A,B∈AlgN,有Ψ(AB)=Ψ(A)Ψ(B),也就是說(shuō),Ψ是環(huán)同構(gòu)并且對(duì)任意A∈AlgN,Φ(A)=Ψ(A)+h(A)I.類似地,如果等式(5)成立,容易驗(yàn)證,存在環(huán)反同構(gòu)Ψ:AlgN→AlgM及可加泛函h:AlgN→F,使得Φ(A)=-Ψ(A)+h(