布郎粒子間的粘滯阻力與布郎運(yùn)動(dòng)

布郎粒子間的粘滯阻力與布郎運(yùn)動(dòng)

布蘭運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型是愛因斯坦通過對(duì)這種“不規(guī)則運(yùn)動(dòng)”的宏觀抵抗分析建立的。一個(gè)布郎粒子所受的力有兩種,一是重力,另一是周圍分子的作用力。周圍分子通過碰撞作用于布郎粒子的力又可以分為三部分:第1部分是浮力;第2部分是粘滯阻力γv;第3部分是一種漲落很快、引起粒子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)力Fs.一般考慮粒子的運(yùn)動(dòng)在水平面力方向的投影,則重力和浮力都不出現(xiàn),運(yùn)動(dòng)方程為mBd2xdt2+γdxdt=Fs(1)mBd2xdt2+γdxdt=Fs(1)這就是布郎運(yùn)動(dòng)著名的郎之萬(Langevin)方程。最近幾年顯微技術(shù)的發(fā)展已經(jīng)使得研究個(gè)體分子的行為成為可能。例如,利用原子力顯微鏡(AFM)和光學(xué)捕獲技術(shù)對(duì)分子間作用力的直接測(cè)量,以及利用共軛激光掃描顯微鏡和近場(chǎng)掃描光學(xué)顯微鏡對(duì)單個(gè)分子熒光的測(cè)量。實(shí)驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展客觀上要求對(duì)單個(gè)分子的動(dòng)力學(xué)行為及微觀漲落機(jī)制有更深入的理解。Gillespie建立了一個(gè)由馬爾柯夫過程導(dǎo)出粘滯阻力的微觀模型。本文將從分析布郎粒子與周圍分子的碰撞過程出發(fā),導(dǎo)出漲落系統(tǒng)的基本特征。并且證明微觀碰撞機(jī)制直接導(dǎo)致布郎粒子的兩種宏觀作用力的特征:粘滯阻力正比于粒子的速度,隨機(jī)漲落力宏觀平均值為零。1布郎粒子及分子碰撞的情況導(dǎo)出郎之萬方程考慮布郎運(yùn)動(dòng)的一維模型,其中布郎粒子的質(zhì)量為mB,周圍分子的質(zhì)量為m,并且mB?m.假設(shè)分子間的碰撞是彈性的,我們首先考慮粒子間獨(dú)立的某一次碰撞過程。設(shè)布郎粒子碰撞前后的速度分別為vB和v′B,分子碰撞前后的速度為v和v′.由碰撞過程中的動(dòng)量守恒和能量守恒定律出發(fā),我們可以給出碰撞之后粒子速度和碰撞之前粒子速度的關(guān)系v′B=mB-mm+mvB+2mmB+mv?(2)v′=m-mBm+mv+2mBmB+mvB.v′B=mB?mm+mvB+2mmB+mv?(2)v′=m?mBm+mv+2mBmB+mvB.對(duì)于大量粒子系統(tǒng),我們有以下兩個(gè)先決條件:分子的速度v的分布與布郎粒子速度vB無關(guān);兩次碰撞之間的時(shí)間間隔不依賴于布郎粒子的速度vB.對(duì)于由大量分子組成的系統(tǒng)而言,第1個(gè)條件是充分滿足的。第2個(gè)條件看似不太明顯,由于我們前提假設(shè)mB?m,平均而言v?vB,若布郎粒子和將要碰撞的分子相向運(yùn)動(dòng),并且其間距為l,則碰撞間隔Δt=lv+vB≈lvΔt=lv+vB≈lv.第2個(gè)條件隱含時(shí)間的平均值與大量多次碰撞平均結(jié)果相同。v2B=limΤ→∞1ΤΤ∫0vBi2(t)dt=limΝ→∞Ν∑i=1Δtiv2BiΝ∑i=1Δti=limΝ→∞ˉΔtΝ∑i=1v2iΝ∑i=1Δti=limΝ→∞1ΝΝ∑i=1v2Bi=ˉv2B.v2B=limT→∞1T∫0TvBi2(t)dt=limN→∞∑i=1NΔtiv2Bi∑i=1NΔti=limN→∞Δtˉˉˉˉ∑i=1Nv2i∑i=1NΔti=limN→∞1N∑i=1Nv2Bi=vˉ2B.其中,vi和Δti是第i和第i+1次碰撞前布郎粒子的速度以及碰撞過程中的時(shí)間間隔,N是在時(shí)間間隔t內(nèi)布郎粒子和分子碰撞次數(shù)。兩次碰撞之間的平均時(shí)間間隔為ˉΔt=limx→∞1ΝΝ∑i=1Δti.Δˉˉˉt=limx→∞1N∑i=1NΔti.將方程(2)兩邊平方,并取N次碰撞后的平均值,并且取N→∞時(shí)的極限,我們有v′2B=(mB-m)2(mB+m)2ˉv2B+4m2(mB+m)2ˉv2+2(mB-mmB+m)(2mmB+m)ˉvBv.v′2B=(mB?m)2(mB+m)2vˉ2B+4m2(mB+m)2vˉ2+2(mB?mmB+m)(2mmB+m)vBvˉˉˉˉˉ.對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)而言ˉv′2B=ˉv2Bvˉ′2B=vˉ2B,而前面的先決條件(1),隱含著ˉvBv=ˉvBˉv=0vBvˉˉˉˉˉ=vˉBvˉ=0,因此我們有mBˉv2B=mˉv.可以看出,給定前述兩個(gè)條件,布郎粒子的平均動(dòng)能和分子平均動(dòng)能是相等的,這和能均分定理一致的?，F(xiàn)在我們可以進(jìn)一步從微觀碰撞機(jī)制推導(dǎo)Langevin方程,由于mB?m,我們有mB-mmB+m≈1-2mmB+Ο(mmB)2?mBmB+m≈1-mmB+Ο(mmB)2?mmB+m≈mmB+Ο(mmB)2.于是方程(2)可寫作v′B=(1-2mmB)vB+2mmBv.(3)由方程(3)我們可以得到布郎粒子在單次碰撞過程中動(dòng)量的變化Δp=2mv-2mvB.(4)方程(4)顯示布郎粒子動(dòng)量的變化有兩項(xiàng)構(gòu)成,其中第1項(xiàng)可正可負(fù),而且分子從左右兩側(cè)碰撞的幾率相同,這一項(xiàng)的平均值為零。第2項(xiàng)的貢獻(xiàn)與布郎粒子的運(yùn)動(dòng)速度成正比而且反向,其作用傾向于減緩布郎粒子的速度.我們?cè)賮砜紤]某一個(gè)小的時(shí)間間隔Δt內(nèi)布郎粒子的動(dòng)量變化。我們假設(shè)時(shí)間間隔Δt足夠的小,以至于布郎粒子的速度不發(fā)生明顯的變化。但同時(shí)由于mB?m.,我們?nèi)匀豢梢哉J(rèn)為這一時(shí)間間隔內(nèi)包括很多次的碰撞過程,由方程(4)我們可以給出N次碰撞后布郎粒子的動(dòng)量改變:ΔpΝ=2mΝ∑i=1vi-2mΝ∑i=1vBi.(5)由方程(3)再做一階近似我們有vBi+1≈vBi,并且碰撞時(shí)間間隔Δt足夠的小,我們可以認(rèn)為這一時(shí)間內(nèi)布郎粒子的運(yùn)動(dòng)速度沒有明顯的變化,方程(5)中第2項(xiàng)可近似寫成2mNvB=2mnvB(t)Δt,其中vB(t)是t時(shí)刻布郎粒子的速度,n是每秒內(nèi)的平均碰撞次數(shù)N=nΔt.于是ΔpΝ=2mΝ∑i=1vi-2mnvB(t)Δt.(6)在方程(6)的兩側(cè)同時(shí)除以Δt,并取Δt→0的極限,我們可以得到布郎粒子的運(yùn)動(dòng)方程mBdvBdt=Fs-γvB.(7)其中隨機(jī)力定義為Fs=limΔt→01ΔtnΔt∑i=12mvi.粘滯阻尼系數(shù)γ=2mn.(8)方程(7)即為郎之萬方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,并且給出阻尼系數(shù)和隨機(jī)力的微觀物理意義。應(yīng)用維里定理和能均分定理,可以給出著名的粘滯系數(shù)γ和位移漲落(Δx2)之間的關(guān)系Δx2=2kBΤγt.(9)其中kB是波耳茲曼常數(shù),T是系統(tǒng)的絕對(duì)溫度。2布郎粒子與分子的能量均是以最小量來界限我們通過布郎粒子與周圍分子一維碰撞模型的研究,給出了郎之萬方程中宏觀表現(xiàn)力的微觀來源,并且證明了布郎粒子與分子的能量均分定