2023-2024學(xué)年福福建省泉州市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2023-2024學(xué)年福福建省泉州市高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓O的半徑為5，，過點(diǎn)P的2021條弦的長度組成一個(gè)等差數(shù)列，最短弦長為，最長弦長為，則其公差為（）A. B.C. D.2．已知直線與圓相離，則以，，為邊長的三角形為（）A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.不存在3．方程與的曲線在同一坐標(biāo)系中的示意圖應(yīng)是（）A. B.C. D.4．當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時(shí)，（）A B.C. D.5．已知函數(shù)在處有極小值，則c的值為（）A.2 B.4C.6 D.2或66．對(duì)于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，8．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.250 B.210C.160 D.909．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.10．（）A. B.C. D.11．有一個(gè)圓錐形鉛垂，其底面直徑為10cm，母線長為15cm．P是鉛垂底面圓周上一點(diǎn)，則關(guān)于下列命題：①鉛垂的側(cè)面積為150cm2；②一只螞蟻從P點(diǎn)出發(fā)沿鉛垂側(cè)面爬行一周、最終又回到P點(diǎn)的最短路徑的長度為cm．其中正確的判斷是（）A.①②都正確 B.①正確、②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤、②正確12．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于A.2 B.3C.6 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在四棱錐中，是邊長為4的等邊三角形，四邊形ABCD是等腰梯形，，，，若四棱錐的體積為24，則四棱錐外接球的表面積是___________.14．已知圓和直線.（1）求直線l所經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求當(dāng)k取什么值，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長.15．已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場勞動(dòng)，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為______16．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)=________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.18．（12分）如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線軸時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）記,的面積分別為，求的取值范圍；（3）若的重心在圓上，求直線的斜率.19．（12分）已知圓過點(diǎn)，，且圓心在直線：上.（1）求圓的方程；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，反射光線剛好經(jīng)過圓心，求反射光線的方程.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程，曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，求的值.21．（12分）已知點(diǎn)是拋物線C：上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且，直線l：與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求拋物線C的方程；（2）若，求k的值.22．（10分）已知直線l過點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】可得過點(diǎn)P的最長弦長為直徑，最短弦長為過點(diǎn)P的與垂直的弦，分別求出即可得出公差.【詳解】可得過點(diǎn)P的最長弦長為直徑，，最短弦長為過點(diǎn)P的與垂直的弦，，公差.故選：B.2、A【解析】應(yīng)用直線與圓的相離關(guān)系可得，再由余弦定理及三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可判斷三角形的形狀.【詳解】由題設(shè)，，即，又，所以，且，故以，，為邊長的三角形為鈍角三角形.故選：A.3、A【解析】方程即，表示拋物線，方程表示橢圓或雙曲線，當(dāng)和同號(hào)時(shí)，拋物線開口向左，方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，無符合條件的選項(xiàng)；當(dāng)和異號(hào)時(shí)，拋物線開口向右，方程表示雙曲線，本題選擇A選項(xiàng).4、C【解析】求出圓心坐標(biāo)和直線過定點(diǎn)，當(dāng)圓心和定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為,半徑，又因?yàn)橹本€過定點(diǎn)A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)有，即，解得.故選：C.5、A【解析】根據(jù)求出c，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.【詳解】由題意，，則，所以或.若c=2，則，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值，滿足題意；若c=6，則，函數(shù)R上單調(diào)遞增，不合題意.綜上：c=2.故選：A.6、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有無數(shù)多個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.7、C【解析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結(jié)論，即可寫出原命題p的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.8、B【解析】設(shè)為等比數(shù)列，由此利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和為能求出結(jié)果【詳解】設(shè)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，解得故選：B9、B【解析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令，用表示出點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，設(shè)，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B10、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.11、C【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，由扇形的面積公式計(jì)算即可判斷①，在展開圖中可知沿著爬行即為最短路徑，計(jì)算即可判斷②.【詳解】直徑為10cm，母線長為15cm.底面圓周長為.將其側(cè)面展開后得到扇形半徑為cm，弧長為，則扇形面積為，①錯(cuò)誤.將其側(cè)面展開，則爬行最短距離為，由弧長公式得展開后扇形弧度數(shù)為,作，，又,,cm,②正確.故選：C12、D【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因?yàn)樵趚=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)所以ab的最大值等于9故選D點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)球的截面圓圓心與球心的連線垂直截面可確定垂直平面ABCD，構(gòu)造直角三角形求解球的半徑即可得解.【詳解】如圖，分別取BC，AD的中點(diǎn)，E，連接PE，，，.因?yàn)槭沁呴L為4的等邊三角形，所以.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，，，，所以，.因?yàn)樗睦忮F的體積為24，所以，所以.因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以平面ABCD.因?yàn)椋运倪呅蜛BCD外接圓的圓心為，半徑.設(shè)四棱錐外接球的球心為O，連接，OP，OB，過點(diǎn)О作，垂足為F.易證四邊形是矩形，則，.設(shè)四棱錐外接球的半徑為R，則，即，解得，故四棱錐外接球的表面積是.故答案為：14、（1）直線過定點(diǎn)P（4，3），直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn)（2）k=1，【解析】(1)把直線方程化為點(diǎn)斜式方程即可；(2)由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時(shí)，弦長最短.【小問1詳解】直線方程可化為，則直線過定點(diǎn)P（4，3），又圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，而，所以點(diǎn)P在圓內(nèi)，所以不論k取何值，直線和圓總有兩個(gè)不同交點(diǎn).【小問2詳解】由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時(shí)，弦長最短.，所以k=1時(shí)弦長最短.弦長為.15、【解析】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，根據(jù)為互斥事件，與為對(duì)立事件，從而可求出答案.【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對(duì)立事件，又，所以.故答案為：.16、【解析】由可求得【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解，（2）【解析】（1）由題意將原式化簡變形得到，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式則可得，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）把的通項(xiàng)公式代入，得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】若，則，這與矛盾，，由已知得，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，即.【小問2詳解】設(shè)，則由（1）知，所以，，兩式相減，則，所以.18、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件得到，，即可得到橢圓的方程.（2）首先設(shè)直線為，與橢圓聯(lián)立得到，根據(jù)得到的范圍，從而得到的范圍.（3）設(shè)重心，根據(jù)重心性質(zhì)得到，，再代入求解即可.小問1詳解】因?yàn)樽箜旤c(diǎn)，所以，根據(jù)，可得，解得，所以；【小問2詳解】設(shè)直線為，則，則，，那么，根據(jù)解得，所以.【小問3詳解】設(shè)重心，則：，，所以，所以，即所求直線的斜率為.19、（1）；（2）【解析】(1)根據(jù)題意設(shè)圓心，利用兩點(diǎn)坐標(biāo)公式求距離公式表示出，解出，確定圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)根據(jù)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征可得，利用直線的兩點(diǎn)式方程即可得出結(jié)果.【小問1詳解】圓過點(diǎn)，，因?yàn)閳A心在直線：：上，設(shè)圓心，又圓過點(diǎn)，，所以，即，解得，所以，所以故圓的方程為：；【小問2詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則反射光線必經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，由直線的兩點(diǎn)式方程可得，即：.20、（1）直線的普通方程為；曲線C的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】（1）根據(jù)轉(zhuǎn)換關(guān)系將參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，利用韋達(dá)定理即可得出答案.【小問1詳解】解：將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消去得，則直線的普通方程為，由曲線C的極坐標(biāo)方程為，得，即，由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為；【小問2詳解】解：點(diǎn)滿足，故點(diǎn)在直線上，將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式（為參數(shù)），代入曲線C的直角坐標(biāo)方程為，得，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.21、（1）；（2）1或.【解析】(1)根據(jù)拋物線的定義，即可求得p值；(2)由過拋物線焦點(diǎn)的直線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義，即可求出弦長AB【詳解】（1）拋物線C：的準(zhǔn)線為，由得：，得.所以拋物線的方程為.（2）設(shè)，，由，，∴，∵直線l經(jīng)過拋物線