2023-2024學(xué)年河北省秦皇島市昌黎匯文二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題含解析

2023-2024學(xué)年河北省秦皇島市昌黎匯文二中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.22．當(dāng)實數(shù)，m變化時，的最大值是（）A.3 B.4C.5 D.63．若球的半徑為，一個截面圓的面積是，則球心到截面圓心的距離是（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的一個焦點到它的一條漸近線的距離為，則（）A.5 B.25C. D.5．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C上一點，，直線與y軸交于點Q，若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.6．某口罩生產(chǎn)商為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從總體編號為001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取10個樣本進(jìn)行抽檢，選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)表第1行第5列的數(shù)字開始由左向右讀取，則選出的第3個樣本的編號為（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3257．已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是3，則點到另一個焦點的距離為（）A.9 B.7C.5 D.38．已知等差數(shù)列前項和為，且，，則此數(shù)列中絕對值最小的項為A.第5項 B.第6項C.第7項 D.第8項9．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今“青海長云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）A.必要條件 B.充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要10．在中，已知點在線段上，點是的中點，，，，則的最小值為（）A. B.4C. D.11．已知數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.12．某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線中心在坐標(biāo)原點，左右焦點分別為，漸近線分別為，過點且與垂直的直線分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為________14．已知某圓錐的高為4，體積為，則其側(cè)面積為________15．設(shè)雙曲線(0<a<b)的半焦距為c，直線l過(a,0)，(0，b)兩點，且原點到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率16．已知雙曲線：的右焦點為，過點向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的漸近線方程為__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題p為“方程沒有實數(shù)根”，命題q為“”.（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若p和q有且只有一個為真命題，求m的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列的前n項和（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和19．（12分）已知點、分別是橢圓C：）的左、右焦點，點P在橢圓C上，當(dāng)∠PF1F2=時，面積達(dá)到最大，且最大值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：與橢圓C交于A、B兩點，求面積的最大值.20．（12分）已知數(shù)列的前項和滿足（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項和21．（12分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，的面積為1.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點是拋物線上異于點的一點，直線與直線交于點，過作軸的垂線交拋物線于點，求證：直線過定點.22．（10分）已知橢圓的離心率為，短軸端點到焦點的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任意兩點，為坐標(biāo)原點，且以為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：原點到直線的距離為定值，并求出該定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D.2、D【解析】根據(jù)點到直線的距離公式可知可以表示單位圓上點到直線的距離，利用圓的性質(zhì)結(jié)合圖形即得.【詳解】由題可知，可以表示單位圓上點到直線的距離，設(shè)，因直線，即表示恒過定點，根據(jù)圓的性質(zhì)可得.故選：D.3、C【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離【詳解】由截面圓的面積為可知，截面圓的半徑為，則球心到截面圓心的距離為故選：C【點睛】解答本題的關(guān)鍵點在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面4、B【解析】由漸近線方程得到，焦點坐標(biāo)為，漸近線方程為：，利用點到直線距離公式即得解【詳解】由題意，雙曲線故焦點坐標(biāo)為，漸近線方程為：焦點到它的一條漸近線的距離為：解得：故選：B5、B【解析】由題意可設(shè)且，即得a、b的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求雙曲線C的漸近線方程.【詳解】由題設(shè)，，，又，P為雙曲線C上一點，∴，又，為的中點，∴，即，∴雙曲線C的漸近線方程為.故選：B.6、A【解析】按隨機(jī)數(shù)表法逐個讀取數(shù)字即可得到答案.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法讀取的數(shù)字分別為：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故選出的第3個樣本的編號為148.故選：A.7、A【解析】根據(jù)橢圓定義求得即可.【詳解】由橢圓定義知，點P到另一個焦點的距離為2×6-3=9.故選：A8、C【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，，則，又，則，說明數(shù)列為遞減數(shù)列，前6項為正，第7項及后面的項為負(fù)，又，則，則在數(shù)列中絕對值最小的項為，選C.9、B【解析】由題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件的定義即可判斷【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場；即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件故選：B10、C【解析】利用三點共線可得，由，利用基本不等式即可求解.【詳解】由點是的中點，則，又因為點在線段上，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故選：C【點睛】本題考查了基本不等式求最值、平面向量共線的推論，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】根據(jù)數(shù)列的周期性即可求解.【詳解】由得,顯然該數(shù)列中的數(shù)從開始循環(huán),數(shù)列的周期是，所以.故選：A.12、B【解析】模擬程序運(yùn)行后,可得到輸出結(jié)果,利用裂項相消法即可求出答案.【詳解】模擬程序運(yùn)行過程如下:0),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),1),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),2),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),3),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),……9),判斷為否,進(jìn)入循環(huán)結(jié)構(gòu),10),判斷為是,故輸出,故選:B.【點睛】本題主要考查程序框圖,考查裂項相消法,難度不大.一般遇見程序框圖求輸出結(jié)果時,常模擬程序運(yùn)行以得到結(jié)論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】判斷出三角形的形狀，求得點坐標(biāo)，由此列方程求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意設(shè)雙曲線方程為，雙曲線的漸近線方程為，右焦點，不妨設(shè).由于，所以是線段的中點，由于，所以是線段的垂直平均分，所以三角形是等腰三角形，則.直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，由解得，則，即，化簡得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：14、【解析】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，由圓錐的體積V＝πr2h，可解得r的值，再由勾股定理求得圓錐的母線長l，而側(cè)面積S＝πrl，代入數(shù)據(jù)即可得解【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，圓錐的體積V＝πr2h＝πr2×4＝12π，解得r＝3∴圓錐母線長l＝＝5，∴側(cè)面積S＝πrl＝15π故答案為：15π【點睛】本題考查圓錐的側(cè)面積和體積的計算，理解圓錐的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題15、e＝2.【解析】先求出直線的方程，利用原點到直線的距離為，，求出的值，進(jìn)而根據(jù)求出離心率【詳解】由l過兩點(a,0)，(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點到l的距離為c，得＝c.將b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解關(guān)于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴應(yīng)舍去e＝.故所求離心率e＝2.【點睛】本題考查雙曲線性質(zhì)，考查求雙曲線的離心率常用的方法即構(gòu)造出關(guān)于的等式，屬于中檔題16、【解析】由題意得雙曲線的右焦點F(c,0)，設(shè)一漸近線OM的方程為，則另一漸近線ON的方程為．設(shè)，∵，∴，∴，解得∴點M的坐標(biāo)為，又，∴，整理得，∴雙曲線的漸近線方程為答案：點睛：（1）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程（2）求雙曲線的漸進(jìn)線方程的關(guān)鍵是求出的關(guān)系，并根據(jù)焦點的位置確定出漸近線的形式，并進(jìn)一步得到其方程三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）方程無根，利用根的判別式小于0求出m的取值范圍；（2）和有且只有一個為真命題，分兩種情況進(jìn)行求解，最終求出結(jié)果.【小問1詳解】由方程沒有實數(shù)根，得，解得：.所以m的取值范圍為.【小問2詳解】和有且只有一個為真命題，分為下列兩種情況：①當(dāng)真且假時，且，得；②當(dāng)假且真時，且，得.所以，的取值范圍為.18、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）利用及已知即可得到證明，從而求得通項公式；（2）先求出通項，再利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】因，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，又，解得，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故【小問2詳解】因為，所以，，，，所以，所以19、（1）（2）3【解析】（1）根據(jù)焦點三角形的性質(zhì)可求出，從而可得標(biāo)準(zhǔn)方程,（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用公式表示三角形面積，從而可求面積的最大值.小問1詳解】△PF1F2面積達(dá)到最大時為橢圓的上頂點或下頂點，而此時∠PF1F2=，故面積最大時為等邊三角形，故，因面積的最大值為，故，故，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】設(shè)，則由可得，此時恒成立.而，到的距離為,故的面積，令，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故即的最大值為3.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由與的關(guān)系，利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）由（1）求出，再利用裂項相消法求解即可【小問1詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，，數(shù)列是以為首項、以為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】由（1）得，，即，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，，，21、（1）（2）證明見解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線方程；(2)方法一：聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合條件三點共線，可證明直線過定點，方法二：聯(lián)立直線與拋物線方程，聯(lián)立直線與直線求，由垂直與軸列方程化簡，可證明直線過定點.【小問1詳解】因為點在拋物線上，所以，即，，因為，故解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，由，得，所以，由（1）可知當(dāng)時，，此時直線的方程為，若時，因為三點共線，所以，即，又因為，，化簡可得，又，進(jìn)而可得，整理得，因為所以，此時直線的方程為，直線恒過定點又直線也過點，綜上：直線過定點解法二：設(shè)方程，得若直線斜率存在時斜率方程為即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直線方程為直線過定點.若直線斜率不存在時，直線方程為所以P點坐標(biāo)為，M點坐標(biāo)為此時直線方程為過點綜上：直線過定點.【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題22、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在