無窮級數(shù) 知識(shí)點(diǎn)總復(fù)習(xí)(1)小學(xué)教育

，將函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上直接展開成指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)的方法．2．間的冪級數(shù)．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2(x1)n1n1,0x2，所以ln[1(x1)2](1)n(cosdx(n0,1,2,L)命題2：若f(x)為定義在[lnn，將函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上直接展開成指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)的方法．2．間的冪級數(shù)．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2(x1)n1n1,0x2，所以ln[1(x1)2](1)n(cosdx(n0,1,2,L)命題2：若f(x)為定義在[lnnnnn解：⑴由于nn本章重點(diǎn)是判斷數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性，冪級數(shù)與傅里葉級數(shù)的展開與求和．1．?dāng)?shù)項(xiàng)級數(shù)定義定義：設(shè)u是一個(gè)數(shù)列，則稱表達(dá)式uuuLunL為一個(gè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)，簡稱級數(shù)，其中第n項(xiàng)u稱為級數(shù)的通項(xiàng)或一般項(xiàng)，Snu稱為級數(shù)的前n項(xiàng)部分和．2．級數(shù)收斂的定義為此級數(shù)的和．當(dāng)limS不存在時(shí)，則稱級數(shù)利用級數(shù)收斂的定義，易知當(dāng)q1⑴SL1時(shí)，幾何級數(shù)qn收斂，和為11nn 1nn 域?yàn)閇1,1]．（5）此級數(shù)中的x的冪次不是按自然順依次遞增而s(0)0（4）S(x)e2x2xe2t2dt，x；（5）ta2b22(a2b2)cosnxn1特別當(dāng)x0時(shí)F(0)f1,2,L)1,2,L)nxla,b叫f(x)的傅里葉系數(shù)．nnnn域?yàn)閇1,1]．（5）此級數(shù)中的x的冪次不是按自然順依次遞增而s(0)0（4）S(x)e2x2xe2t2dt，x；（5）ta2b22(a2b2)cosnxn1特別當(dāng)x0時(shí)F(0)f1,2,L)1,2,L)nxla,b叫f(x)的傅里葉系數(shù)．nnnnnnn⑴LL12L12nnnn二、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件評注：若評注：若u收斂，v都發(fā)散，則v發(fā)散，則nnn2．設(shè)k為非零常數(shù)，則級數(shù)u與3．改變級數(shù)的前有限項(xiàng)，不影響級數(shù)的斂散性；4．級數(shù)收斂的必要條件：如果u收斂，則limu5．收斂的級數(shù)在不改變各項(xiàng)次序前提下任意加括號(hào)得到的新級數(shù)仍然收斂且和不變．評注：若某級數(shù)添加括號(hào)后所成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)亦發(fā)散．評注：若某級數(shù)添加括號(hào)后所成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)亦發(fā)散．解：⑴由于2n發(fā)散，所以發(fā)散，所以12n⑵11 1．正項(xiàng)級數(shù)收斂的基本定理定理：設(shè)S是正項(xiàng)級數(shù)u的部分和數(shù)列，則正項(xiàng)級數(shù)u收斂的充要條件是數(shù)列(1)n1（2）n1n211111nsin2n460n1解：數(shù)絕對收斂，所以收斂半徑R3；假設(shè)收斂半徑R3，由收斂半徑的401x4n由于級數(shù)()2n1x在區(qū)間[n,n1]上單減，所xdxn1n1sintsint sintdt的斂散性sintn(1)n1（2）n1n211111nsin2n460n1解：數(shù)絕對收斂，所以收斂半徑R3；假設(shè)收斂半徑R3，由收斂半徑的401x4n由于級數(shù)()2n1x在區(qū)間[n,n1]上單減，所xdxn1n1sintsint sintdt的斂散性sintnnunnnnnnuun1pnnn．（和級數(shù)）2．正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法⑵若u發(fā)散，則都是正項(xiàng)級數(shù)，并設(shè)limnv評注：用比較判別法的比較對象常取評注：用比較判別法的比較對象常取p級數(shù)與等比級數(shù)及3．正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法定理：設(shè)u是正項(xiàng)級數(shù)，若limn故(2n（3）n11)261(2n1)21242 8．五、其3n(2)n(1)n:數(shù)3n(2)n(1)n發(fā)散；當(dāng)t和級數(shù)勒公式，有12!f()x2．2由于f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域在[l,l]上的表達(dá)式，且f(x)是以2l為周期的函數(shù)，要將故(2n（3）n11)261(2n1)21242 8．五、其3n(2)n(1)n:數(shù)3n(2)n(1)n發(fā)散；當(dāng)t和級數(shù)勒公式，有12!f()x2．2由于f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域在[l,l]上的表達(dá)式，且f(x)是以2l為周期的函數(shù)，要將11n2⑶11nnu5．利用通項(xiàng)關(guān)于無窮小的階判定正項(xiàng)級數(shù)的斂散性un⑵如果正項(xiàng)級數(shù)通項(xiàng)中含有階乘，一般用比值判別法判定該級數(shù)的斂散性；unnnuu4．正項(xiàng)級數(shù)的根值判別法un1n收斂；當(dāng)k1時(shí)，正項(xiàng)級數(shù)u發(fā)散．⑴1⑵11⑷nnnnun11nnn213，所以由比值判別法可得，原級數(shù)收斂；n1n 321．交錯(cuò)級數(shù)定義定義：若級數(shù)的各項(xiàng)是正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交錯(cuò)出現(xiàn)，即形如!n(4n)!(1)n1x4(n1)令(x)1可得，x(,)1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、將函數(shù)在[0用來作比較的級數(shù)，此時(shí)一般利用通項(xiàng)關(guān)1n解：（1）考查lim散解：由于級數(shù)v收斂，所以根據(jù)收斂的必要條件可得limvn11nnnnnnnnn!n(4n)!(1)n1x4(n1)令(x)1可得，x(,)1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、將函數(shù)在[0用來作比較的級數(shù)，此時(shí)一般利用通項(xiàng)關(guān)1n解：（1）考查lim散解：由于級數(shù)v收斂，所以根據(jù)收斂的必要條件可得limvn11nnnnnnnnnnnu2．交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茲判別法0)滿足條件nn0)收斂，其和Su其余項(xiàng)SSnu．un1．條件收斂、絕對收斂若un收斂，則稱u絕對收斂；若un發(fā)散但u收斂，則稱評注：絕對收斂的級數(shù)不因改變各項(xiàng)的位置而改變其斂散性與其和．評注：絕對收斂的級數(shù)不因改變各項(xiàng)的位置而改變其斂散性與其和．2．任意項(xiàng)級數(shù)的判別法定理：若級數(shù)u收斂，則級數(shù)[例1.4]判斷下列級數(shù)是否收斂？若收斂，指明是絕對收斂還是條件收斂解：⑴記unnnnnu1n13所以級數(shù)u收斂，故原級數(shù)收斂且為絕對收斂；n發(fā)散，所以級數(shù)u發(fā)散n3nn22n（3）(1)nx2n1（4）[(1)nsinn成以6為周期的傅里葉級數(shù)．a(chǎn)3f(x)cosdx[0(2x1(x)在區(qū)間I上有定義，xI，若存在冪級數(shù)nn0x)n，使得2n1n04)n,66x2，x2[例7.2.17]解：f(xnnn2n12n2n12nn2nn3nn22n（3）(1)nx2n1（4）[(1)nsinn成以6為周期的傅里葉級數(shù)．a(chǎn)3f(x)cosdx[0(2x1(x)在區(qū)間I上有定義，xI，若存在冪級數(shù)nn0x)n，使得2n1n04)n,66x2，x2[例7.2.17]解：f(xnnn2n12n2n12nn2n12nnn，則下列級數(shù)中肯定收斂的是（C）nn若取un1un2n12nnuu12n1從而3522n12n（A）u；（B）nn12n1n12n事實(shí)上，若0uu2收斂．從而（A）u一定收斂，（B）u一定發(fā)散上所述，當(dāng)x，即原級數(shù)發(fā)散．1時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)x1時(shí)，級數(shù)發(fā)x1)n12n1(n1),1x31(x1)n12n1n1，[，利用級數(shù)的性質(zhì)可知，原級數(shù)發(fā)散．（4）顯然判定數(shù)列nsin此級數(shù)n0(A)絕對收斂(B)發(fā)散(C)條件收斂(D)斂散性2n1然收斂，即2nnn上所述，當(dāng)x，即原級數(shù)發(fā)散．1時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)x1時(shí)，級數(shù)發(fā)x1)n12n1(n1),1x31(x1)n12n1n1，[，利用級數(shù)的性質(zhì)可知，原級數(shù)發(fā)散．（4）顯然判定數(shù)列nsin此級數(shù)n0(A)絕對收斂(B)發(fā)散(C)條件收斂(D)斂散性2n1然收斂，即2nnnnSn2nnnnunnuun（C）u不一定收斂（D）limu0n解：假設(shè)u收斂，則根據(jù)級數(shù)斂散的性質(zhì)，不改變各項(xiàng)的次序加括號(hào)后得到的新級數(shù)仍u一定發(fā)散．應(yīng)選（B1必（A）收斂（B）發(fā)散（C）斂散性不定（D）可能收斂也可能發(fā)散解：由于級數(shù)v收斂，所以根據(jù)收斂的必要條件可得limv1nn則上述命題中正確的個(gè)數(shù)為（A）1（B）2（C）3（D）4vnnnn3n(2)ntnn的收斂半徑為R3n(2)n(1)n，由于nn1n3nn1則xS(x)dx0(n1)3nxnn1，x[snxbsinnx],x[,]n1二、填空題1．設(shè)冪級數(shù)n1分111x1x算性質(zhì)寫出f(x)的展開式．[例7.2.16]nnnnnn3n(2)ntnn的收斂半徑為R3n(2)n(1)n，由于nn1n3nn1則xS(x)dx0(n1)3nxnn1，x[snxbsinnx],x[,]n1二、填空題1．設(shè)冪級數(shù)n1分111x1x算性質(zhì)寫出f(x)的展開式．[例7.2.16]nnnnn2nnn2（2）n（4）n1n2（5）nnnn2nn2nnn2nw都收斂，所以由“比較判別法”知u收斂．故應(yīng)選（An）；評注：評注：⑴若一般項(xiàng)中含有階乘或者n的乘積形式，通常選用比值判別法：⑵若一般項(xiàng)中含有以n為指數(shù)冪的因式，通常采用根值判別法：⑶若一般項(xiàng)中含有形如n（為實(shí)數(shù)）的因式，通常采用比較判別法．⑷如果以上方法還行不通時(shí)，則可考慮用斂散的定義判定．2n3nn2（3）（6）n2n22nnn23112n1分析：f(x)是抽象函數(shù)，F(xiàn)(x)也不可能得到具體的解1[例7.2.15]求級數(shù)的和．n1解：由于n1令n(n1)，arctannn1a,必收斂．21．因?yàn)閍xk1在[0，1數(shù)a(xx)n在則稱上述R為冪級數(shù)a(xx)n的收斂半徑．稱nnn2n1分析：f(x)是抽象函數(shù)，F(xiàn)(x)也不可能得到具體的解1[例7.2.15]求級數(shù)的和．n1解：由于n1令n(n1)，arctannn1a,必收斂．21．因?yàn)閍xk1在[0，1數(shù)a(xx)n在則稱上述R為冪級數(shù)a(xx)n的收斂半徑．稱nnn115n4nnn3n取k3，上述極限值為所以原級數(shù)與3n取vuvnn1n4取v1nnuvnnn1nnn2評注：在考研題中遇到該類問題應(yīng)評注：在考研題中遇到該類問題應(yīng)①先看當(dāng)n時(shí)，級數(shù)的通項(xiàng)u是否趨向于零（如果不易看出，可跳過這一步），若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則②再看級數(shù)是否為幾何級數(shù)或p級數(shù)，因?yàn)檫@兩種級數(shù)的斂散性已知．如果不是幾何級數(shù)或p級數(shù)，則③用比n1n換成連續(xù)變量x，再用羅必達(dá)法則，1361茲nn2故由級數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散．（3）不難得到un1)內(nèi)連續(xù)，G(x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)S(x)滿足F(0x)n0的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為x處的n0冪級數(shù)．x0時(shí)的冪級數(shù)為2．零，即對任意的xI，都有l(wèi)imR(x)0．八、函數(shù)展開成冪級k茲nn2故由級數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散．（3）不難得到un1)內(nèi)連續(xù)，G(x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)S(x)滿足F(0x)n0的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為x處的n0冪級數(shù)．x0時(shí)的冪級數(shù)為2．零，即對任意的xI，都有l(wèi)imR(x)0．八、函數(shù)展開成冪級knnuunnnunnxnn取k2，上述極限值為1n2nann!nnn分析：此例中兩個(gè)級數(shù)的通項(xiàng)都含有參數(shù)．一般說來，級數(shù)的斂散性與這些參數(shù)的取值有關(guān)．對這種情況通常由比值判別法進(jìn)行討論．nuunlima1neuunenuunn散；當(dāng)1時(shí)，比值判別法失效．這時(shí)un，由p級數(shù)的斂散性知，當(dāng)1時(shí)，級，利用已知的常用冪級數(shù)展開式把冪級數(shù)的和函數(shù)寫出來．證明：（1．泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)的定義0f(n)(x)0n!(xxI上能展開成x處的冪級數(shù)n0n0則其展開式是唯一的，且af(n1n1n1b)發(fā)散(D)設(shè)n1nn收斂，則a2，b2均收斂0，利用已知的常用冪級數(shù)展開式把冪級數(shù)的和函數(shù)寫出來．證明：（1．泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)的定義0f(n)(x)0n!(xxI上能展開成x處的冪級數(shù)n0n0則其展開式是唯一的，且af(n1n1n1b)發(fā)散(D)設(shè)n1nn收斂，則a2，b2均收斂0n1 n110xn散性，這樣做固然可以，但一般工作量較大．常用的方法是利用積分的性質(zhì)對積分進(jìn)行估0nnnn2nn21n2n法一：利用萊布尼茲定理；法二：判定通項(xiàng)取絕對值所成的正項(xiàng)級數(shù)的斂散性，若收斂則原級數(shù)絕對收斂；法四：將級數(shù)并項(xiàng)，若并項(xiàng)后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散．評注：法二、法三和法四適應(yīng)于評注：法二、法三和法四適應(yīng)于u不單調(diào)減少或判定單調(diào)很困難的交錯(cuò)級數(shù)．nf(n)]收斂．nn（Ⅱ）由于f(x)存在，且f(x)0，所1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、將函數(shù)在[0以2l為周期的函數(shù)，就變成了前一種情況．這兩種情形的解題方法xn1)dx 12n(n1)!xnx2n1()n1e22e2f(n)]收斂．nn（Ⅱ）由于f(x)存在，且f(x)0，所1)n)cos(1)n1sin](3x3)．三、將函數(shù)在[0以2l為周期的函數(shù)，就變成了前一種情況．這兩種情形的解題方法xn1)dx 12n(n1)!xnx2n1()n1e22e2nn2n2n不單調(diào)．而nn時(shí)，級數(shù)的通項(xiàng)u是否趨向于零，若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則②按正令f(x)111x 1nn1nnnnn1即加括號(hào)后得到的新級數(shù)發(fā)散，利用級數(shù)的性質(zhì)可知，原級數(shù)發(fā)散．但2n對任意項(xiàng)級數(shù)u，主要研究它絕對收斂性和條件收斂性．解題的一般思路：①先看當(dāng)n下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域（1）n!(xen)nn1（2）；x22令(x)1，可得x2，所以收斂半徑為R2，此級數(shù)發(fā)散8x)ln(1x),1x1；13ln25．10．（1）2lncosdx(n0,1,2,L)命題2：若f(x)為定義在[lnnnnnnnun下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域（1）n!(xen)nn1（2）；x22令(x)1，可得x2，所以收斂半徑為R2，此級數(shù)發(fā)散8x)ln(1x),1x1；13ln25．10．（1）2lncosdx(n0,1,2,L)命題2：若f(x)為定義在[lnnnnnnnunnnn項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法，判定u是否收斂，若收斂，則級數(shù)u絕對收斂；若發(fā)散，；（nn)nnuunn所以利用比較判別法的極限形式可得，當(dāng)0時(shí)級數(shù)發(fā)散，又因?yàn)閡總是非增的趨于零，故由交錯(cuò)級數(shù)的“萊布尼茲判別法”知，級數(shù)u收斂，且為條件收 2n，所以nn233 §7.2冪級數(shù)本節(jié)重點(diǎn)是求冪級數(shù)的收斂域、求冪級數(shù)的分111x1x算性質(zhì)寫出f(x)的展開式．[例7.2.16]式）設(shè)u,v都是正項(xiàng)級數(shù)，并設(shè)unn1n1v,(nN)，則⑴則運(yùn)算性質(zhì)寫出f(x)的展開式．[例7.2.18]將f(x)nnb收斂，且ann233 §7.2冪級數(shù)本節(jié)重點(diǎn)是求冪級數(shù)的收斂域、求冪級數(shù)的分111x1x算性質(zhì)寫出f(x)的展開式．[例7.2.16]式）設(shè)u,v都是正項(xiàng)級數(shù)，并設(shè)unn1n1v,(nN)，則⑴則運(yùn)算性質(zhì)寫出f(x)的展開式．[例7.2.18]將f(x)nnb收斂，且annn1nnnann又因?yàn)閍n1由于級數(shù)2發(fā)散，所以級數(shù)n 因?yàn)樵墧?shù)為交錯(cuò)級數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的條件，因此級數(shù)為條件收斂．（3）這是任意項(xiàng)級數(shù)．考慮每三項(xiàng)加一括號(hào)所成的級數(shù)(11 五、關(guān)于數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的證明題證明某個(gè)未給出通項(xiàng)具體表達(dá)式的級數(shù)收斂或發(fā)散這類題，一般用級數(shù)收斂的定義、比又由于c11n（Ⅱ）級數(shù)n存在；a11nnnn2n不論取何值，總有l(wèi)imu級數(shù)發(fā)散；limnsin0，故當(dāng)是整對收斂，說明理由（1）sinn2nn,,為常數(shù)；（2）(n12．正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法定理：（正項(xiàng)級數(shù)比較判別法的非極限形x0展開為2為周期的傅里葉級數(shù)．16．把f(x)10x,5xn又因?yàn)椴徽撊『沃?，總有l(wèi)imu級數(shù)發(fā)散；limnsin0，故當(dāng)是整對收斂，說明理由（1）sinn2nn,,為常數(shù)；（2）(n12．正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法定理：（正項(xiàng)級數(shù)比較判別法的非極限形x0展開為2為周期的傅里葉級數(shù)．16．把f(x)10x,5xn又因?yàn)閍nnnM12n2nnaa，a1nn分析：已知條件中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)，可考慮使用泰勒公式完成．xx12由于f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，故存在M0，使得在x0的某小鄰域內(nèi)由比較判別法可知，級數(shù)（當(dāng)n充分大時(shí)）xn0，又v1，所以nlimS，故級數(shù)u發(fā)散，故應(yīng)選（B）．nL等情形中的一種）；②求冪級數(shù)axk(n)的和函數(shù)S(x)，都絕對收斂，顯然集合2,3,4,e中的點(diǎn)都滿足不等式x32，R，則ax2n的收斂半徑為．n1n14n0，又v1，所以nlimS，故級數(shù)u發(fā)散，故應(yīng)選（B）．nL等情形中的一種）；②求冪級數(shù)axk(n)的和函數(shù)S(x)，都絕對收斂，顯然集合2,3,4,e中的點(diǎn)都滿足不等式x32，R，則ax2n的收斂半徑為．n1n14．已知冪級數(shù)a(x1)nn1nnnnnnnnnn1由根值判別法知，級數(shù)(1級數(shù)u發(fā)散又u是一交錯(cuò)級數(shù)，u1ln(1n)0(n)，且uu里葉系數(shù)，寫出F(x)的傅里葉級數(shù)；④利用狄里赫萊又ba0aln(1t)0t0[例7.2.26]設(shè)f(x)arctanx3n3又因?yàn)閒(x)傅里葉級數(shù)的和函數(shù)S(x)滿足：115132x1L級數(shù)u發(fā)散又u是一交錯(cuò)級數(shù)，u1ln(1n)0(n)，且uu里葉系數(shù)，寫出F(x)的傅里葉級數(shù)；④利用狄里赫萊又ba0aln(1t)0t0[例7.2.26]設(shè)f(x)arctanx3n3又因?yàn)閒(x)傅里葉級數(shù)的和函數(shù)S(x)滿足：115132x1L2n1n1nn2nnn困難．不妨先假設(shè)級數(shù)通項(xiàng)a0(n)，再看由遞推公式兩端取極限時(shí)能否導(dǎo)出矛n0 2n32n3解：⑴當(dāng)x1時(shí)，原級數(shù)為1茲判別法”的條件，故收斂；12L1L1 2xL1nx，這是交錯(cuò)級數(shù)，且滿足“萊布尼12x11Lnx考察級數(shù)[1 所以根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的“比較判別法”的極限形式知，級數(shù)[1綜上所述，當(dāng)x1時(shí)，級數(shù)收斂；當(dāng)x1時(shí)，級數(shù)發(fā)散．分析：該級數(shù)的通項(xiàng)以遞推公式給出，這給級數(shù)類型的判定以及通項(xiàng)a是否收斂于零帶來n盾．一旦產(chǎn)生矛盾，便可確定級數(shù)發(fā)散．nn實(shí)數(shù)S(x)，使得S(x)u(x)成立．定義域?yàn)镮的函數(shù)S(1x2n1，則xS(t)dt02n3nn1()n 11x21n1n1n1b)發(fā)散(D)設(shè)n1nn收斂，則a2，b2均收斂0,n1,2,,L，所以該級數(shù)也收斂；當(dāng)x1時(shí)，對應(yīng)的級數(shù)為n21 x2nnnnnnn1實(shí)數(shù)S(x)，使得S(x)u(x)成立．定義域?yàn)镮的函數(shù)S(1x2n1，則xS(t)dt02n3nn1()n 11x21n1n1n1b)發(fā)散(D)設(shè)n1nn收斂，則a2，b2均收斂0,n1,2,,L，所以該級數(shù)也收斂；當(dāng)x1時(shí)，對應(yīng)的級數(shù)為n21 x2nnnnnnn11x2nnn2a3n從而an13nn32n32nn14232n11an111n1aa11收斂，故級數(shù)12（Ⅰ）求anY12(Xn（Ⅱ）由題意S2a2n12a2114a所以S1 433 本節(jié)重點(diǎn)是求冪級數(shù)的收斂域、求冪級數(shù)的和函數(shù)、將函數(shù)展開成冪級數(shù)．7x112x2(x4)112所以f(x)n0)(x(x4)n(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，其傅里葉系數(shù)Bn1F(x)si數(shù)展開成冪級數(shù)反三角型函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù)的一般思路：①證明：由于f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，且limx0f(x)x0，所00nnn007x112x2(x4)112所以f(x)n0)(x(x4)n(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，其傅里葉系數(shù)Bn1F(x)si數(shù)展開成冪級數(shù)反三角型函數(shù)f(x)展開成冪級數(shù)的一般思路：①證明：由于f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，且limx0f(x)x0，所00nnn00010002n1．函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的定義2．收斂域3．和函數(shù)評注：求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂域時(shí)，主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判別法．評注：求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂域時(shí)，主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判別法．1．冪級數(shù)的定義02．阿貝爾定理⑴如果該冪級數(shù)在點(diǎn)x收斂，則對滿足xx的一切的x對應(yīng)的級數(shù)⑵如果該冪級數(shù)在點(diǎn)x發(fā)散，則對滿足xx0xx的一切的x對應(yīng)的級數(shù)(x)xx21,(x2)，則f(x)0所以單調(diào)減少，由萊布尼，利用級數(shù)的性質(zhì)可知，原級數(shù)發(fā)散．（4）顯然判定數(shù)列nsin1x2)]展開成x的冪級數(shù)．1，而(1)n13L(2n1)2）由于an1故數(shù)列a有下界．1(a1n2n則可知，lima存n00(x)xx21,(x2)，則f(x)0所以單調(diào)減少，由萊布尼，利用級數(shù)的性質(zhì)可知，原級數(shù)發(fā)散．（4）顯然判定數(shù)列nsin1x2)]展開成x的冪級數(shù)．1，而(1)n13L(2n1)2）由于an1故數(shù)列a有下界．1(a1n2n則可知，lima存n000000000x處收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則必定存在一個(gè)正數(shù)R，它具有下述性質(zhì)：0x處收斂，定義R．則稱上述R為冪級數(shù)a(xx)n的收斂半徑．稱開區(qū)間(xR,xR)為冪級數(shù)法一：⑴求極限x)n的收斂半徑R00nx000nxm010．求下列數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和（1）(1)n1n(2n1)3n（2(x)在xnf(k)(x)0nk0的余項(xiàng)R(x)在I上收斂到，收斂半徑R3．又因?yàn)榧墧?shù)a(x3)n在x0處收斂，在x6處出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)，可考慮使用泰勒公式完成．f(x)x0，證明級數(shù)10．求下列數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和（1）(1)n1n(2n1)3n（2(x)在xnf(k)(x)0nk0的余項(xiàng)R(x)在I上收斂到，收斂半徑R3．又因?yàn)榧墧?shù)a(x3)n在x0處收斂，在x6處出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)，可考慮使用泰勒公式完成．f(x)x0，證明級數(shù)n⑴解：⑴1anna則收斂半徑為Rm；n法三；⑴求極限000xxm0則收斂半徑為Rm．n收斂半徑Rnan⑵nnn11⑵收斂半徑Rlimnn當(dāng)x51時(shí)，對應(yīng)級數(shù)為n11n1nn1nnx22201收斂半徑為R；122義：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)u(x)的收斂域?yàn)镮，則任給xI，存在唯一的1[例1.4]判斷下列級數(shù)是否收斂？若收斂，指明是絕對收斂還較判別法”得u2收斂．從而(1)nu2收斂，故應(yīng)選（D）．(1a2，所以根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)可得22n1n1a)從而3522n0nnnn義：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)u(x)的收斂域?yàn)镮，則任給xI，存在唯一的1[例1.4]判斷下列級數(shù)是否收斂？若收斂，指明是絕對收斂還較判別法”得u2收斂．從而(1)nu2收斂，故應(yīng)選（D）．(1a2，所以根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)可得22n1n1a)從而3522n0nnnn00xx01024 2n04．冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，且求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為R．即有5．冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，且積分后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為R．即有00n000⑵x4n100x 14n 1在一個(gè)正數(shù)b,使得ab(aa)（n=1,2,…）,試證明nn茲nn2故由級數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散．（3）不難得到u六、其它[例7.1.16]設(shè)正項(xiàng)數(shù)列a單調(diào)減少，且(1)na1n1n1在一個(gè)正數(shù)b,使得ab(aa)（n=1,2,…）,試證明nn茲nn2故由級數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散．（3）不難得到u六、其它[例7.1.16]設(shè)正項(xiàng)數(shù)列a單調(diào)減少，且(1)na1n1n1則上述命題中正確的個(gè)數(shù)為（A）1（B）2（C）3（00000000nn1．函數(shù)展開成冪級數(shù)的定義n2．展開形式的唯一性則其展開式是唯一的，且七、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)1．泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)的定義00002．函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的充要條件處的泰勒公式八、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法葉系數(shù)為a(n0,1,2L),b(n11,2,3L)．求F(22-22-2+n的斂散性．其中an4．設(shè)a為單調(diào)減少的正項(xiàng)另一發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散；法四：將級數(shù)并項(xiàng)，若并項(xiàng)后的級數(shù)發(fā)散較法．取v所以原級數(shù)發(fā)散．1n，因?yàn)閘imnuvlimn1n02n 葉系數(shù)為a(n0,1,2L),b(n11,2,3L)．求F(22-22-2+n的斂散性．其中an4．設(shè)a為單調(diào)減少的正項(xiàng)另一發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散；法四：將級數(shù)并項(xiàng)，若并項(xiàng)后的級數(shù)發(fā)散較法．取v所以原級數(shù)發(fā)散．1n，因?yàn)閘imnuvlimn1n02n nnnn (n10(x)n利用泰勒級數(shù)的定義及泰勒級數(shù)收斂的充要條件，將函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上直接展開成指定2．間接法通過一定的運(yùn)算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)，進(jìn)而利用新函數(shù)的冪級數(shù)展開將原來的函數(shù)展用的冪級數(shù)展開式是下列一些常用函數(shù)的麥克勞林展開公式．冪級數(shù)常用的七個(gè)展開式xn11解：由于n15展開成以10為周期的傅里葉級數(shù)17．將f(x)x2(0x級數(shù)收斂的基本定理定理：設(shè)S是正項(xiàng)級數(shù)u的部分和數(shù)列，則正項(xiàng)對收斂．現(xiàn)x2顯然不滿足n02，故級數(shù)a(xn0nnn1n14n1(1x1)，則S(x)(x4n14n1)101x4lnn12n12015展開成以10為周期的傅里葉級數(shù)17．將f(x)x2(0x級數(shù)收斂的基本定理定理：設(shè)S是正項(xiàng)級數(shù)u的部分和數(shù)列，則正項(xiàng)對收斂．現(xiàn)x2顯然不滿足n02，故級數(shù)a(xn0nnn1n14n1(1x1)，則S(x)(x4n14n1)101x4lnn12n1202n滿足：對一切x2的x值，級數(shù)2xn2nnn1212絕對收斂．現(xiàn)x2顯然不滿足（A）條件收斂（B）絕對收斂（C）發(fā)散（D）不定2點(diǎn)收斂，根據(jù)阿貝爾定理當(dāng)x2時(shí)，對應(yīng)的冪級數(shù)都絕對收斂，所以當(dāng)x1時(shí)，對應(yīng)的冪級數(shù)絕對收斂，而此時(shí)對應(yīng)級數(shù)為a．所以應(yīng)選（B）nn假設(shè)R4．由收斂半徑的定義知x1R時(shí)，對應(yīng)的級數(shù)都絕對收斂，所以級數(shù)在x3處應(yīng)絕對收斂，矛盾．所以R4．因此收斂半徑R4．求冪級數(shù)收斂半徑的方法我們在?？贾R(shí)點(diǎn)中介紹過，如果冪級數(shù)中的冪次是按自然數(shù)an4n1(1x1)，則S(x)(x4n14n1)101x4lnx)n0的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為x處的n0冪級數(shù)．x0時(shí)的冪級數(shù)為2．)na是交錯(cuò)級數(shù)，若lima0，由萊布尼茲判別法可知，該級數(shù)收斂，但u發(fā)散，所以不正確；關(guān)于命題（4），因?yàn)閣uv(n1002n（4）n2xn4n1(1x1)，則S(x)(x4n14n1)101x4lnx)n0的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)為x處的n0冪級數(shù)．x0時(shí)的冪級數(shù)為2．)na是交錯(cuò)級數(shù)，若lima0，由萊布尼茲判別法可知，該級數(shù)收斂，但u發(fā)散，所以不正確；關(guān)于命題（4），因?yàn)閣uv(n1002n（4）n2xn2n23Rnnnnnnnn，這是交錯(cuò)級數(shù)，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂；n如果冪級數(shù)中的冪次不是按自然數(shù)順序依次遞增的（如缺少奇數(shù)次冪或缺偶次冪等），這時(shí)知識(shí)點(diǎn)中介紹的法一與法三）求出冪級數(shù)的收斂半徑．x)n的收斂半徑為R．為了求冪級數(shù)的收斂域還需判別在xx0R與xxR處級數(shù)（2）（5）(1)n1e的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的，其收斂半徑可直接按公式計(jì)算：aann2nn311nn2nn31nctanxx11x2x21展開成x的冪級數(shù)．f(x)11x2(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，其傅里葉系數(shù)Bn1F(x)siL00當(dāng)x0時(shí)，稱冪級數(shù)f(n)(0)n!xnf(0)f(0函數(shù)，n1冪級數(shù)xn1通項(xiàng)的系數(shù)是n的有理分式，應(yīng)利用逐項(xiàng)求nnn2n2（1）若ab，則Rctanxx11x2x21展開成x的冪級數(shù)．f(x)11x2(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，其傅里葉系數(shù)Bn1F(x)siL00當(dāng)x0時(shí)，稱冪級數(shù)f(n)(0)n!xnf(0)f(0函數(shù)，n1冪級數(shù)xn1通項(xiàng)的系數(shù)是n的有理分式，應(yīng)利用逐項(xiàng)求nnn2n2（1）若ab，則R在x2在x1處，級數(shù)成為1nnbnb33在x1處，級數(shù)成為1．解：設(shè)冪級數(shù)xnR1a，R2b．因此冪級數(shù)的收斂半徑為R1．1若冪級數(shù)a(x2)n在x1處收斂，問此級數(shù)在x4處是否收斂，式，將ln(1axk)與ln(1bxl)展開；③利用冪級數(shù)的數(shù)1LL在哪些x處收斂？在哪些x1L1 2x1111L345，發(fā)散；⑶當(dāng)1時(shí)，斂散性不確定．n或?yàn)?，則級數(shù)u有4．正項(xiàng)級若冪級數(shù)a(x2)n在x1處收斂，問此級數(shù)在x4處是否收斂，式，將ln(1axk)與ln(1bxl)展開；③利用冪級數(shù)的數(shù)1LL在哪些x處收斂？在哪些x1L1 2x1111L345，發(fā)散；⑶當(dāng)1時(shí)，斂散性不確定．n或?yàn)?，則級數(shù)u有4．正項(xiàng)級b1n2unnnn2an2a1a1 b．1．1n2nn時(shí)，對應(yīng)的冪級數(shù)絕對收斂，所以收斂半徑R3；而633R，所以級數(shù)a(x3)n在x6處絕對收斂，與已知矛盾．故R3．綜上可得，收斂半徑R3．nnn評注：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)評注：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)u(x)求收斂域有時(shí)也利用變量代換化為冪級數(shù)，利用冪級數(shù)求收斂域的方法來完成，或者利用數(shù)項(xiàng)級數(shù)其它判別法、及性質(zhì)完成．02a4a[(n2)(n1)a2na4a]xnn1所以a2a知f()收斂，所以根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)f(n1)（1）；（2）解：將f(x)作偶延拓，得到[,(1)n1；n性判別法各項(xiàng)為非負(fù)（u0）的級數(shù)u稱為正項(xiàng)級數(shù)．n11．正項(xiàng)nx202a4a[(n2)(n1)a2na4a]xnn1所以a2a知f()收斂，所以根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)f(n1)（1）；（2）解：將f(x)作偶延拓，得到[,(1)n1；n性判別法各項(xiàng)為非負(fù)（u0）的級數(shù)u稱為正項(xiàng)級數(shù)．n11．正項(xiàng)nx2 3nx3n求下列函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域x2221nnnn以0n1exdxnendxenn由于limn2n2lim12單．對于y(x)的表達(dá)式想通過解方程得到非常困難，因?yàn)樗o方1n12點(diǎn)收斂，根據(jù)阿貝爾定理當(dāng)x2時(shí)，對應(yīng)的冪級數(shù)都絕對收ln(1t)0t0[例7.2.26]設(shè)f(x)arctanx133以0n1exdxnendxenn由于limn2n2lim12單．對于y(x)的表達(dá)式想通過解方程得到非常困難，因?yàn)樗o方1n12點(diǎn)收斂，根據(jù)阿貝爾定理當(dāng)x2時(shí)，對應(yīng)的冪級數(shù)都絕對收ln(1t)0t0[例7.2.26]設(shè)f(x)arctanx133n23n2n1n2n1n23n2313n從而冪級數(shù)313111求冪級數(shù)和函數(shù)的基本方法：⑴求出其收斂域；⑵利用冪級數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)、逐項(xiàng)求數(shù)；⑶對所得到的和函數(shù)做相反的分析運(yùn)算，便得原冪級數(shù)的和函數(shù)．評注：評注：①若冪級數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是n的有理分式，一般可用逐項(xiàng)求導(dǎo)來求和函數(shù)；②若冪級數(shù)通項(xiàng)的系數(shù)是n的有理整式，一般可用逐項(xiàng)積分來求和函數(shù)．分析：冪級數(shù)(2n1)xn通項(xiàng)的系數(shù)是n的有理整式，故應(yīng)利用逐項(xiàng)積分來求和函數(shù)，冪級數(shù)xn1通項(xiàng)的系數(shù)是n的有理分式，應(yīng)利用逐項(xiàng)求導(dǎo)來求和函數(shù)．123．設(shè)b0，若級數(shù)[ab收斂，證明級數(shù)n124．若f(x02n10n111由性質(zhì)5的“注”可知級數(shù)(12n1110n所以必有f(x)0，即級數(shù)f(n)是正項(xiàng)級數(shù)．n1根據(jù)拉格朗R2b．因此冪級數(shù)的收斂半徑為R1．min(R,R)121m1123．設(shè)b0，若級數(shù)[ab收斂，證明級數(shù)n124．若f(x02n10n111由性質(zhì)5的“注”可知級數(shù)(12n1110n所以必有f(x)0，即級數(shù)f(n)是正項(xiàng)級數(shù)．n1根據(jù)拉格朗R2b．因此冪級數(shù)的收斂半徑為R1．min(R,R)121m1=x212101x所以和函數(shù)為S(x)2（2）limnn12，所以收斂半徑為R212nn2n，則xS(x)21故S(x)n2n1x12x2．解：收斂半徑為Rlimnnt)cos(nu)]du2A01 1 1212由上述類似方R2b．因此冪級數(shù)的收斂半徑為R1．min(R,R)121m2)x2n3(2n)!,x(,)．14．[n014(1)n(因?yàn)閘imnnuvlimnn1n4所以原級數(shù)收斂．（5）用比 xnt)cos(nu)]du2A01 1 1212由上述類似方R2b．因此冪級數(shù)的收斂半徑為R1．min(R,R)121m2)x2n3(2n)!,x(,)．14．[n014(1)n(因?yàn)閘imnnuvlimnn1n4所以原級數(shù)收斂．（5）用比 xnxxx2n12n令顯然又 11 xx 而0 xe222244xe22xe2e2（Ⅰ）求此級數(shù)的收斂域2n（Ⅱ）證明此級數(shù)滿足微分方程yy1（Ⅲ）求此級數(shù)的和函數(shù)n 2n0（Ⅲ）容易求得上述方程的通解為yCex121)n()4n1,2x2所以f(x)f(0)(1)n11x4037．（1）(2,4)；（2）[3,3)；（3）[2,2]的冪級數(shù)．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2，arctannn1a,必收斂．1)n()4n1,2x2所以f(x)f(0)(1)n11x4037．（1）(2,4)；（2）[3,3)；（3）[2,2]的冪級數(shù)．12cos4x，44而cos4x(1)n(4x)2，arctannn1a,必收斂．21．因?yàn)閍xk1在[0，12nnn1n（Ⅰ）證明an2分析：用已知條件推證（Ⅰ）比較簡單．對于y(x)的表達(dá)式想通過解方程得到非常困難，因?yàn)樗o方程超出我們所學(xué)范圍，不過可以通過（Ⅰ）把a(bǔ)的具體表達(dá)式求出來，利用已知的常用冪級數(shù)展開式把冪級數(shù)的和函數(shù)寫出來．y0011111 1x2n1xex2求數(shù)項(xiàng)級數(shù)a和的方法之一是利用冪級數(shù)的和函數(shù)．此方法是：①根據(jù)a的特點(diǎn)，滿足：S(2)S(2)14nxn2224nxn1四、利用函數(shù)以及通項(xiàng)a是否收斂于零帶來n盾．一旦產(chǎn)生矛盾，便可確定級數(shù)發(fā)收斂域求冪級數(shù)收斂半徑的方法我們在?？贾R(shí)點(diǎn)中介紹過，如果冪22（C）1,2,116．設(shè)f(x)以2為周期的函數(shù)，f(x（2）（滿足：S(2)S(2)14nxn2224nxn1四、利用函數(shù)以及通項(xiàng)a是否收斂于零帶來n盾．一旦產(chǎn)生矛盾，便可確定級數(shù)發(fā)收斂域求冪級數(shù)收斂半徑的方法我們在?？贾R(shí)點(diǎn)中介紹過，如果冪22（C）1,2,116．設(shè)f(x)以2為周期的函數(shù)，f(x（2）（3）x221n+12n02n 3所以S(x)[33x2]6x x2n22n01122n+102n，則xS(x)()n，從而n1[xS(x)]()n1221[例7.2.15]求級數(shù)的和．n1解：由于n1令n(n1)(x)sinnx,(0n1x)，(1)k12k11418．當(dāng)算性質(zhì)、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分、或變量代換，將冪級數(shù)化為常用展開n221112n，則xS(x)()n，從而n1[xS(x)]()n1221[例7.2.15]求級數(shù)的和．n1解：由于n1令n(n1)(x)sinnx,(0n1x)，(1)k12k11418．當(dāng)算性質(zhì)、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分、或變量代換，將冪級數(shù)化為常用展開n2211112n12式的和；②將各個(gè)部分分式用或的冪級數(shù)展開式展開；③利用冪級數(shù)的四則運(yùn)nn1解：由于令n12nn03031所以S(x)11111311120)F(0)211 22(1)故應(yīng)選（C）．二、將函數(shù)在[l其余項(xiàng)SSn．五、任意項(xiàng)級數(shù)及其絕對收斂nn11．條件收斂、列命題中正確的是(A)設(shè)正項(xiàng)級數(shù)a發(fā)散，則a(nN)n1(B2.23]將f(x)xarctanxln解：由于f(x)ar2n110)F(0)211 22(1)故應(yīng)選（C）．二、將函數(shù)在[l其余項(xiàng)SSn．五、任意項(xiàng)級數(shù)及其絕對收斂nn11．條件收斂、列命題中正確的是(A)設(shè)正項(xiàng)級數(shù)a發(fā)散，則a(nN)n1(B2.23]將f(x)xarctanxln解：由于f(x)ar2n11將322n1 1112的一般方法是將所給函數(shù)在指定區(qū)間上展開成傅里葉級數(shù)，看它是不x)xx(x)的傅里葉級數(shù)展開式為(acosnxn1則其中系延拓的方法，在區(qū)間[l,l]外擴(kuò)充f(x)的定義，使它延拓為.2.19]將函數(shù)f(x)lnxx1，在x1處展開成冪級數(shù)．的一般方法是將所給函數(shù)在指定區(qū)間上展開成傅里葉級數(shù)，看它是不x)xx(x)的傅里葉級數(shù)展開式為(acosnxn1則其中系延拓的方法，在區(qū)間[l,l]外擴(kuò)充f(x)的定義，使它延拓為.2.19]將函數(shù)f(x)lnxx1，在x1處展開成冪級數(shù)．2xx1x2n1Ⅳ反三角型函數(shù)展開成冪級數(shù)2，故收斂半徑為R于是冪級數(shù)的收斂域?yàn)?,)．0x4．[例7.,2,3,L)，所以0uwvw，因?yàn)関與n1w都收斂，所以由xn的收斂半徑為2，則冪級數(shù)a(x3)n，故收斂半徑為R于是冪級數(shù)的收斂域?yàn)?,)．0x4．[例7.,2,3,L)，所以0uwvw，因?yàn)関與n1w都收斂，所以由xn的收斂半徑為2，則冪級數(shù)a(x3)n在下列點(diǎn)處必收斂n0(x)dx01(1x)2，x1xx(1,1)，1,1)．1224n14n24Ⅴ其它形式的函數(shù)展開成冪級數(shù)1(1)n11x2n+(1)n1(1)n1(1)k111(1)n1(1)n11 所以且=x21展開成x的冪級數(shù)．xnnn()k換成連續(xù)變量x，再用羅必達(dá)法則，limxsin(n112n1x2n 1x2nn1n1所以且n1f(x)1+2數(shù)的收斂域?yàn)閇3,3]．（4）此級數(shù)缺少x的奇次冪．故需利用()由比較判別法可知，級數(shù)n1（當(dāng)n充分大時(shí)）f()絕對收斂nnnn()k換成連續(xù)變量x，再用羅必達(dá)法則，limxsin(n112n1x2n 1x2nn1n1所以且n1f(x)1+2數(shù)的收斂域?yàn)閇3,3]．（4）此級數(shù)缺少x的奇次冪．故需利用()由比較判別法可知，級數(shù)n1（當(dāng)n充分大時(shí)）f()絕對收斂n在x0的冪級數(shù)展開式為yx26xnn解：依題意有設(shè)y在x0展開成冪級數(shù)y 1n2n茲nn2故由級數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散．（3）不難得到unkk12．收斂域定義：設(shè)u(x)是定義在D上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級xx2(2(acosnxbsinnx)，則n1其中的系數(shù)b的．[例7.1.15]若f(x)滿足：⑴在區(qū)間[0,f(x)0解：由于n茲nn2故由級數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散．（3）不難得到unkk12．收斂域定義：設(shè)u(x)是定義在D上的一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級xx2(2(acosnxbsinnx)，則n1其中的系數(shù)b的．[例7.1.15]若f(x)滿足：⑴在區(qū)間[0,f(x)0解：由于n22nxxn0的冪級數(shù)展開式nnn nnnn211分析：證明恒等式最有力的方法是用拉格朗日中值定理的推論．1n2n對收斂，說明理由（1）sinn2nn,,為常數(shù)；（2）(n1級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的條件，因此級數(shù)為條件收1x2)(axn)xaxn1n0即a[(n2)a(n1)a])sinxdx；（3）L(a0)．解：（1）usinn2ns對收斂，說明理由（1）sinn2nn,,為常數(shù)；（2）(n1級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的條件，因此級數(shù)為條件收1x2)(axn)xaxn1n0即a[(n2)a(n1)a])sinxdx；（3）L(a0)．解：（1）usinn2ns1n2則三角級數(shù)0bnn1n2n1逐項(xiàng)積分的結(jié)果呢？于是問題的關(guān)鍵就是如何將被積函數(shù)展開成t的冪級數(shù)．x xn01n22n．本節(jié)重點(diǎn)是傅里葉級數(shù)的狄里赫萊定理、將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)．a(chǎn)bnbl徑為Rm．[例2.2]求下列冪級數(shù)的收斂域n2nn!收斂半徑有下述性質(zhì)：