模糊剩余蘊涵的刻畫及其刻畫

模糊剩余蘊涵的刻畫及其刻畫

1模糊粗模擬ikowska,kerrepawlak經(jīng)典的原始收集基于對2元關(guān)系的正確理解。作為其推廣，dubois和prata使用模糊關(guān)系取代了正確的二元關(guān)系，并提出了模糊有序收集的概念。之后,出現(xiàn)了各種各樣的廣義模糊粗糙集模型,且在模糊粗糙集的公理化方面取得了許多成果。比如Morsi和Yakout研究了模糊T-粗糙上、下近似算子及其公理系統(tǒng);Radzikowska和Kerre定義了(I,T)模糊粗糙集;Mi和Zhang基于模糊蘊涵及其對偶算子提出了新的廣義模糊粗糙集模型,并給出了廣義上、下近似算子的公理系統(tǒng);Yang用最小公理集刻畫了模糊粗糙近似算子的特征。前述模糊粗糙集模型均基于模糊關(guān)系(即論域冪集上的模糊集R:U×U→)。2004年,Radzikowska與Kerre在文獻中建立了剩余格上的模糊粗糙集模型,它是基于格值模糊關(guān)系的,即R:U×U→L,被推廣到格L。關(guān)于這種廣義模糊粗糙集的公理化,She和Wang在文獻中進行了系統(tǒng)研究。同時,基于格值模糊關(guān)系,Liu在文獻中研究了基于模糊格(fuzzylattice)的廣義粗糙集模型及其公理系統(tǒng)。作為t-模、t-余模、模糊剩余蘊涵及其對偶算子的代數(shù)抽象,Orlowska與Radzikowska在文獻中提出了雙剩余格的概念,它是剩余格的一種雙向推廣。本文基于格值模糊關(guān)系,建立了雙剩余格上的廣義模糊粗糙集模型,并研究了其公理化問題,所得結(jié)果是文獻[6,8-9]中已有結(jié)果在更廣泛框架下的拓展。2為二元算子的剩余涵和對偶剩余格定義1t-模是單位區(qū)間上的二元函數(shù)T,它滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性,且?guī)в袉挝辉?,即函數(shù)T:×→,滿足以下條件(?x,y,z∈):(3)當y≤z時,有T(x,y)≤T(x,z);常用?表示T,并將T(x,y)記為x?y。定義2t-余模是單位區(qū)間上的二元函數(shù)S,它滿足交換律、結(jié)合律、單調(diào)性,且?guī)в袉挝辉?,即函數(shù)S:×→,滿足以下條件(?x,y,z∈):(3)當y≤z時,有S(x,y)≤S(x,z);常用⊕表示S,并將S(x,y)記為x⊕y。定義3偏序集(L,≤)叫做格,是指對任何a,b∈L,存在{a,b}的最小上界及最大下界,分別以a∨b及a∧b記之。如果L的任意子集均有上、下確界,則稱(L,≤)是完備格。注1定義1、定義2中t-模、t-余模的概念可以推廣到一般格L上,只要L是有界格(即存在最大元1和最小元0的格)。本文在需要時自由使用格上t-模的概念,而不再重復(fù)定義。定義4設(shè)(L,≤)是一個偏序集,○是L上的二元算子。定義二元算子○的剩余蘊涵→和?如下:(1)→是二元算子○的左剩余蘊涵,如果下述條件成立:z○x≤y當且僅當z≤x→y,x,y,z∈L(2)?是二元算子○的右剩余蘊涵,如果下述條件成立:x○z≤y當且僅當z≤x?y,x,y,z∈L定義5代數(shù)結(jié)構(gòu)(L,○,e)稱為幺半群,如果L是一個非空集合,L上的二元算子○是結(jié)合的,e是單位元。定義6代數(shù)結(jié)構(gòu)(L,∨,∧,○,→,?,0,1,e)稱為剩余格,如果:(1)(L,○,e)是一個幺半群;(2)(L,∨,∧,0,1)是最大元為1、最小元為0的有界格;(3)→和?分別是二元算子○的左剩余蘊涵和右剩余蘊涵。定義7設(shè)(L,≤)是一個偏序集,○是L上的二元算子。定義二元算子○的對偶剩余蘊涵←和?如下:(1)←是二元算子○的對偶左剩余蘊涵,如果下述條件成立:y≤z○x當且僅當x←y≤z,x,y,z∈L(2)?是二元算子○的對偶右剩余蘊涵,如果下述條件成立:y≤x○z,當且僅當x?y≤z,x,y,z∈L引理1如果二元算子○是可交換的,那么→=?,←=?。定義8代數(shù)結(jié)構(gòu)(L,∨,∧,?,→,?,⊕,←,?,1,0,μ,ν)稱為雙剩余格,如果:(1)(L,∨,∧,?,→,?,1,0,μ)是一個剩余格;(3)←和?分別是二元算子⊕的對偶左剩余蘊涵和對偶右剩余蘊涵。?和⊕分別稱為積運算和和運算。雙剩余格(L,∨,∧,?,→,?,⊕,←,?,1,0,μ,ν)稱為整的,當且僅當1=μ和0=ν;雙剩余格稱為可換的,當且僅當算子?和⊕是可換的。定義9代數(shù)結(jié)構(gòu)(L,∨,∧,?,→,⊕,←,1,0)稱為整可換雙剩余格,如果:(1)(L,∨,∧,?,→,1,0)是剩余格;(3)←是二元算子⊕的對偶剩余蘊涵。定義10設(shè)(L,∨,∧,?,→,⊕,←,1,0)是整可換雙剩余格,在L上的補運算定義如下:引理2設(shè)(L,∨,∧,?,→,⊕,←,1,0)是整可換雙剩余格,那么對于任意的x,y,z∈L,以及任意的集族{xi}i∈I和{yi}i∈I,以下條件成立(假定出現(xiàn)的集族的上確界和下確界都存在):定義11整可換雙剩余格(L,∨,∧,?,→,⊕,←,1,0)是正則的,如果:特別的,當b=1時,由正則條件得a′=???a。定義12整可換雙剩余格(L,∨,∧,?,→,⊕,←,1,0)是對合的,如果:容易證明以下結(jié)論成立。引理3如果整可換雙剩余格(L,∨,∧,?,→,⊕,←,1,0)是正則的且對合的,則a′′=a且?a=a′。引理4如果(L,≤)是完備格,(L,∨,∧,?,→,⊕,←,1,0)是正則且對合的整可換雙剩余格,則對任意a,b∈L,下式成立:證明一方面,取a=b,即得另一方面,對任意a,b∈L,由(?b→?a)≤?b→?a,應(yīng)用剩余條件得故在正則且對合的整可換雙剩余格中,有于是,∨a∈L((b←a)←a)=b。□3有多個t-模糊集t相似關(guān)系定義13設(shè)(L,≤)是格,U是論域,映射A:U→L稱為U上的L-模糊集。說明:以下在談到L-模糊集時,其中的L是一個整可換雙剩余格。給定兩個L-模糊集A和B,定義新的L-模糊集如下(?x∈U):此外,A?B表示對于任意的x∈U,A(x)≤B(x)。當(L,≤)是完備格時,定義L-模糊集Ui∈IAi和Ii∈IAi如下:為了方便使用,引入下面的符號:?a∈L,為常L-模糊集,即對于任意x∈U,都成立;?x∈U,1x表示單元素{x}的特征函數(shù)。定義14設(shè)(L,≤)是格,U是論域,映射R:U×U→L稱為U上的L-模糊二元關(guān)系。定義15設(shè)(L,≤)是格,U是論域,U上的L-模糊二元關(guān)系R稱為:(1)自反的,當且僅當R(x,x)=1;(2)對稱的,當且僅當R(x,y)=R(y,x);(3)(關(guān)于t-模?)T傳遞的,當且僅當∨y∈U(R(x,y)?R(y,z))≤R(x,z)。若U上的L-模糊二元關(guān)系R是自反、對稱且T傳遞的,則稱R是U上關(guān)于t-模?的T相似關(guān)系。注2因T傳遞關(guān)系依賴于某個t-模算子?,故為避免混淆和歧義,本文加上了定語,即“關(guān)于t-模?的T傳遞關(guān)系”。同樣,T相似關(guān)系也是基于某個t-模的。在下面的討論中,用FL(U)、FL(U×U)分別表示U上全體L-模糊集構(gòu)成的集合、全體L-模糊關(guān)系構(gòu)成的集合。定義16設(shè)(L,∨,∧,?,→,⊕,←,1,0)是整可換雙剩余格,U是論域,R表示U上的L-模糊二元關(guān)系。對于任意A∈FL(U),定義映射:FL(U)→FL(U)如下:證明根據(jù)定義16,?x∈U,命題2對于任意(x,y)∈U×U,證明根據(jù)定義16,?x∈U,4當xu到l-模糊集上的模糊上算子下面討論抽象的模糊算子H:FL(U)→FL(U)。文中L表示一個正則且對合的整可換雙剩余格(L,∨,∧,?,→,⊕,←,1,0),同時(L,≤)是完備格,不再每次詳細說明。H是模糊上算子,如果對任意A,B∈FL(U)以及a∈L,H滿足下面公理:引理5設(shè)U是論域,FL(U)表示U上的L-模糊集的全體,N:FL(U)→L,滿足:?A,B∈FL(U),?a∈L,則存在v∈FL(U),使另一方面,令?a>N(A),都有a>β,那么N(?a→A)<1。由v的定義,N(v)=1,所以N(?a→A)<N(v)。顯然N是單調(diào)的,故因此α≥∨x∈U(v(x)→A(x))。綜上,得到α=∨x∈U(v(x)→A(x))。□引理6設(shè)U是論域,FL(U)表示U上的L-模糊集的全體,H是模糊上算子,那么對于每一個x∈U,存在一個L-模糊集vx∈FL(U),使得對任意A∈FL(U),都有證明設(shè)Nx(A)=?(H(?A)(x)),?x∈U,則由引理5,存在ux∈FL(U),使得Nx(A)=∧y∈U(ux(y)→A(y))。設(shè)vx=?ux,則設(shè)H是一個從FL(U)到FL(U)的模糊上算子。定義從U×U到L的L-模糊關(guān)系RelH如下:證明對于?(x,y)∈U×U,定理2設(shè)U是論域,FL(U)表示U上的L-模糊集的全體,H:FL(U)→FL(U)是FL(U)上的模糊上算子,那么。證明對于?A∈FL(U),x∈U,定理3設(shè)U是論域,FL(U)是U上L-模糊集的全體。如果H:FL(U)→FL(U)是FL(U)上的模糊上算子,則存在唯一的U上的L-模糊關(guān)系R,使得H=R。反之,設(shè)是L-模糊關(guān)系R上的上近似算子,則是FL(U)上的模糊上算子。反之,?A,B∈FL(U),x∈U,定理4設(shè)U是論域,FL(U)是U上L-模糊集的全體,H:FL(U)→FL(U)是FL(U)上的模糊上算子。如果H滿足:因此R是自反的。反之,如果R是自反的,則對任意x∈U,R(x,x)=1。因此,定理5設(shè)U是論域,FL(U)是U上L-模糊集的全體,H:FL(U)→FL(U)是FL(U)上的模糊上算子。如果H滿足:因此,R是對稱的。反之,如果R是對稱的,則對任意a∈L以及x,y∈U,定理6設(shè)U是論域,FL(U)是U上L-模糊集的全體,H:FL(U)→FL(U)是FL(U)上的模糊上算子。如果H滿足:所以R(x,y)≥∨z∈U(R(x,z)?R(z,y)),即R關(guān)于?是T傳遞的。反之,如果R關(guān)于?是T傳遞的,則對任意A∈FL(U),x∈U,綜合定理4~6,可得下述結(jié)論:定理7設(shè)U是論域,FL(U)是U上L-模糊集的全體,H:FL(U)→FL(U)是FL(U)上的模糊上算子。如果H滿足:同理,可以得到如下關(guān)于下近似算子的公理化系統(tǒng):定理8設(shè)U是論域,FL(U)是U上L-模糊集的全體,D:FL(U)→FL(U)是FL(U)上的模糊下算子,即D滿足下面公理:對任意A,B∈FL(U)以及a∈L,如果D滿足:5廣義模糊粗模擬模型模糊粗糙集、模糊