群的等價(jià)定義和證明

群的等價(jià)定義和證明

群體是抽象代表的最基本、最重要的概念和主要內(nèi)容之一。因此，理解和理解集群的含義是學(xué)習(xí)和掌握抽象代數(shù)的關(guān)鍵問題之一。因此，描述了五種不同的集群價(jià)格定義和證明。定義Ⅰ代數(shù)系統(tǒng)<G,·>為群,如果以下條件被滿足:1、結(jié)合律成立:(ab)c=a(bc),?a、b、c∈G.2、G中至少存在一個(gè)叫左單位元的元e,使得對(duì)?a∈G,有ea=a.3、對(duì)G中每一個(gè)元a,在G中至少存在一個(gè)叫左逆元的b,使得ba=e.定義Ⅱ代數(shù)系統(tǒng)〈G,·〉為群,如果下列條件被滿足:1、結(jié)合律成立:ab(c)=a(bc),?a、b、c∈G.2、在G中至少存在一個(gè)叫右單元元的元e,使得對(duì)?a∈G,有ae=a.3、對(duì)G中每一個(gè)元a,在G中至少存在一個(gè)叫右逆元b,使得ab=e.定義Ⅲ代數(shù)系統(tǒng)〈G,·〉為群,如果以下條件被滿足:1、結(jié)合律成立:(ab)c=a(bc),?a、b、c∈G.2、對(duì)?a、b∈G,方程ax=b、ya=b在G里有解.定義Ⅳ代數(shù)系統(tǒng)〈G,·〉為群,如果下列條件被滿足:1、結(jié)合律成立:(ab)c=a(bc),?a、b、c∈G.2、在G中,存在著唯一的右單位元e,使得對(duì)?a∈G,有ae=a.3、對(duì)G中每一個(gè)元a,在G中存在著相應(yīng)的一個(gè)左逆元a′,使得a′a=e.定義Ⅴ代數(shù)系統(tǒng)〈G,·〉為群,如果下列條件被滿足:1、結(jié)合律成立:(ab)c=a(bc),?a、b、c∈G.2、在G中存在著唯一的左單位元e,使得對(duì)?a∈G,有ea=a.3、對(duì)G中每一個(gè)元a,在G中存在著相應(yīng)的一個(gè)右逆元a′,使得aa′=e.為了證明上述五種群的定義的等價(jià)性,將采用下列形式證明之:Ⅰ?Ⅱ?Ⅲ?Ⅳ?Ⅴ?Ⅰ.(一)證明Ⅰ?Ⅱ:在定義Ⅱ中,條件1,結(jié)合律顯然成立.在定義Ⅰ條件3中,因b∈G,對(duì)b至少存在一個(gè)c∈G,使得cb=e.于是有:a=ea=(cb)a=c(ba)=ce.兩邊右乘以b得:ab=(ce)b=c(eb)=cb=e.因ba=e,ab=e,故b為a的右逆元.由此定義Ⅱ中條件3得證.在定義Ⅰ的條件2中,對(duì)?a∈G,有ea=a,取b∈G,使得ba=e?ab=e,于是有a=ea=(ab)a=a(ba)=ae.故e為a的右單位元.由此定義Ⅱ中條件2得證.所以由Ⅰ?Ⅱ得證.(二)證明Ⅱ?Ⅲ.在定義Ⅲ中,條件1,結(jié)合律顯然成立.在定義Ⅱ中,對(duì)?a∈G,設(shè)e1、e3∈G,均具有性質(zhì):ae1=e1a=a,e2a=ae2=a,?e1=e2e1=e1e2=e2,故左單位元、右單位元是唯一的,常記G的單位元為e.在定義Ⅱ中,?a∈G,設(shè)b1、b2∈G,且均具有性質(zhì):ab1=b1a=e,b2a=ab2=e,?b1=eb1=(b2a)b1=b2(ab1)=b2e=b2.故在G中,對(duì)每一個(gè)元a的右逆元和左逆元是唯一的,常記a的逆元為a-1.?а、b∈G,令x=a-1b,y=ba-1代入定義Ⅲ的條件2中去,得a(a-1b)=(aa-1)b=eb=b,(ba-1)a=b(a-1a)=be=b.故x=a1-b,y=ba1-分別為方程ax=b,ya=b的解.設(shè)a1、a2分別為ax=b、ya=b的解,?aa1=b,a2a=b,?a-1(aa1)=a-1b,(a2a)a-1=ba-1,?(a-1a)a1=a-1b,a2(aa-1)=ba-1?a1=a-1b,a2=ba-1,故x=a1=a-1b,y=a2=ba-1.因此,在定義Ⅲ中,兩個(gè)方程不但有解,而且有唯一解.所以由Ⅱ?Ⅲ得證.(三)證明Ⅲ?Ⅳ.在定義Ⅵ中,條件1,結(jié)合律顯然成立.在定義Ⅲ中,對(duì)?a∈G,方程ax=a有唯一解e,使得ae=a,故在定義Ⅵ中,條件2成立.在定義Ⅲ中,對(duì)?a∈G,方程ya=e,在G中有解a-1∈G,使得a-1a=e,故在定義Ⅵ中,條件3成立.所以由Ⅲ?Ⅵ得證.(四)證明Ⅳ?Ⅴ.在定義Ⅴ中條件1,結(jié)合律顯然成立.在定義Ⅳ中,條件2是對(duì)?a∈G,在G中存在著唯一的右單位元e,使得ae=a,?ea=a,即e為a的右單位元又是a的左單位元,且是唯一的,故在定義Ⅴ中,條件2成立.在定義Ⅳ中,條件3是對(duì)G中每一個(gè)元a,在G中存在著相應(yīng)的一個(gè)左逆元a′,使得a′a=e,?aa′=e,故在定義Ⅴ中,條件3成立.所以由Ⅳ?Ⅴ得證.(五)證明Ⅴ?Ⅰ.在定義Ⅰ中,條件1,結(jié)合律顯然成立.在定義Ⅴ中,條件2是對(duì)?a∈G,存在唯一的左單位元e,使得ea=a,故在定義Ⅰ中,條件2成立.在定義Ⅴ中,條件3是對(duì)G中每一個(gè)元a,在G中存在關(guān)相應(yīng)的一個(gè)右逆元a′,使得aa′=e,?a′a=e,故在定義Ⅰ中,條件3成立.所以由Ⅴ?Ⅰ得證.在上述群的五種等價(jià)定義中,要特別注意的是,在定義Ⅰ和定義Ⅱ中,條件不能交錯(cuò)來組合成群的定義.比如在代數(shù)系統(tǒng)〈G,·〉中,如果下列條件被滿足:1、結(jié)合律成立:a(bc)=(ab)c,?a、b、c∈G.2、在G中至少存在一個(gè)左單位元e,對(duì)?a∈G,有ea=a.3、對(duì)G中,每一個(gè)元a,對(duì)應(yīng)的有一個(gè)右逆元a′,使得aa′=e.則代數(shù)系統(tǒng)〈G,·〉不構(gòu)成群.或者在代數(shù)系統(tǒng)中〈G,·〉中,如果下列條件被滿足:1、結(jié)合成立:(ab)c=a(bc),?a、b、c∈G.2、在G中至少存在一個(gè)右單位元e,使得對(duì)?a∈G,有ae=a.3、對(duì)G中每一個(gè)元a,對(duì)應(yīng)有一個(gè)左逆元a′,使得a′a=e.則代數(shù)系統(tǒng)〈G,·〉不構(gòu)成群.例1設(shè)A={a,b,c,…,}≠ue07e,規(guī)定集合A中元素的乘法:?x、y∈A,xy=y,顯然〈A,·〉為代數(shù)系統(tǒng).1、?x、y、z∈A,有(xy)z=yz=z,x(yz)=xz=z,?(xy)z=x(yz),結(jié)合律成立.2、對(duì)?x∈A,由乘法定義,有ax=x,故a為A的左單位元.3、對(duì)?x∈G,xa=a,故a為x的右逆元.因此代數(shù)系統(tǒng)〈A·〉滿足三個(gè)條件,但A不是群.因?yàn)樵谌褐?當(dāng)x≠y時(shí),x-1≠y-1,但在A中,當(dāng)x≠y時(shí),有xa=a,ya=a?x、y有相同的逆元a.例2設(shè)A={a,b,c,…,}≠ue07e,規(guī)定集合A中元素的乘法:?x,y∈A,xy=x,顯然〈A·〉為代數(shù)系統(tǒng).1、?x,y,z∈G,有(xy)z=xz=x,x(yz)=xy=x,故(xy)z=x(yz),結(jié)合律成立.2、?x∈A,由乘法定義得:xa=x,?a