三角形四心(向量形式)

第4頁共5頁三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用在學(xué)習(xí)了《平面向量》一章的基礎(chǔ)內(nèi)容之后，學(xué)生們通過課堂例題以及課后習(xí)題陸續(xù)接觸了有關(guān)三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件?，F(xiàn)歸納總結(jié)如下：知識點(diǎn)總結(jié)1）O是的重心;若O是的重心，則故;為的重心.2）O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，則故3）O是的外心(或)若O是的外心則故4）O是內(nèi)心的充要條件是引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡潔。如果記的單位向量為，則剛才O是內(nèi)心的充要條件可以寫成：O是內(nèi)心的充要條件也可以是若O是的內(nèi)心，則故;的內(nèi)心;向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；范例ACBCCP(ACBCCP例1．O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P點(diǎn)的軌跡一定通過的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄吭O(shè)與方向上的單位向量分別為，又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.點(diǎn)評：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先是什么？沒見過！想想，一個(gè)非零向量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點(diǎn)問題也沒有。(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2．H是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，點(diǎn)H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（證略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是△ABC的（D）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心解析:由.即 則 所以P為的垂心.故選D.點(diǎn)評：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4．G是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，=0點(diǎn)G是△ABC的重心.證明作圖如右，圖中連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（證略））例5．P是△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是△ABC的重心.證明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（證略））例6若為內(nèi)一點(diǎn)，，則是的（

）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心解析：由得，如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則，由平行四邊形性質(zhì)知，，同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D。點(diǎn)評：本題需要扎實(shí)的平面幾何知識，平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形中線的內(nèi)分點(diǎn)，所分這比為。本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。(四)．將平面向量與三角形外心結(jié)合考查（

C

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心3．已知O是平面上一

定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P的軌跡一定通過△ABC的（

C

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心4．已知△ABC，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的（

D

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心5．已知△ABC，P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的（

B

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心6．在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)軌跡一定通過△ABC的：（B）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心7.已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),則△ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形解析：非零向量與滿足()·=0，即角A的平分線垂直于BC，∴AB=AC，又=eq\f(1,2)，∠A=，所以△ABC為等邊三角形，選D．8.的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，，則實(shí)數(shù)m=1（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) （B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) （C）三條中線的交點(diǎn)