數(shù)列收斂與數(shù)項級數(shù)的收斂

數(shù)列收斂與數(shù)項級數(shù)的收斂摘要:在大學《數(shù)學分析》這門課程當中,數(shù)列收斂與數(shù)項級數(shù)的收斂這部分占有很大的比例,能否熟練的掌握這部分內(nèi)容,對于能否學習好《數(shù)學分析》這門課具有決定性的作用。本論文將數(shù)列收斂和數(shù)項級數(shù)的收斂進行了歸納總結(jié)。這是自己在一年的考研復習后對該部分的熟練掌握下完成的。關鍵詞:數(shù)列收斂數(shù)項級數(shù)的收斂1數(shù)列收斂1.1數(shù)列收斂的定義1.1.1數(shù)列為固定的數(shù),若對任意的總存在為正整數(shù),使當時有,則稱數(shù)列,固定的數(shù)稱為數(shù)列的極限并記為=或者.如果沒有極限,那么稱數(shù)列不收斂,或者稱是發(fā)散數(shù)列.上述稱為數(shù)列極限的定義.這里需注意1.可為任意值,定義1.1.1中是為了衡量與的接近程度,越小,表明它們越接近;而可無限小,表明與可以無限接近.而當給出的值,我們便由它求出的值,又當任意小且可知等也是任意小并且為正數(shù),從而定義1.1.1中的的可由等來替換.2.的對應性通常情況下,當變小時變大,因此常寫為()來指出的變化而變化.但是并不被唯一決定,由于當固定時,例如當且時成立,若3．在幾何上當足即:當時有落在鄰域（）內(nèi),中在(,之外的項不超過有限個.從而我們得出數(shù)列的極限的等價說法即:①對于任意的如果(之外至多有中有限個項,那么稱是數(shù)列的極限.1.2數(shù)列收斂的性質(zhì)性質(zhì)1.2.1（唯一性）:如果為收斂數(shù)列,那么它的極限僅有一個.性質(zhì)1.2.2（有界性）:如果是收斂數(shù)列,那么有界,即有,對于所有的,成立.性質(zhì)1.2.3(保號性）:如果（或者,那么對于任意的（或者,存在,當時滿足（或者性質(zhì)1.2.4(保不等式性):數(shù)列和都收斂,如果有,當?shù)臅r候那么.性質(zhì)1.2.5（迫斂性）:為數(shù)列,的極限,對于數(shù)列有:存在當時,那么為收斂數(shù)列,并且.性質(zhì)1.2.6（四則運算):若數(shù)列與收斂,則數(shù)列也都是收斂數(shù)列,并且滿足=特別地若是固定數(shù),則=,如果且,那么數(shù)列也收斂,并且性質(zhì)1.2.7:1.3數(shù)列收斂的條件1.3.1數(shù)列收斂之任意非平凡子列均收斂.1.3.2單調(diào)的有界實數(shù)列一定收斂.1.3.3數(shù)列收斂對于任意的均有,當大于時成立.1.4關于數(shù)列收斂的解題方法1.4.1判斷數(shù)列的斂散性1.4.1.1定義法例應用方法證明證:對于任意的,存在=,當時,便有所以1.4.1.2反證法例證明不存在證明:應用反證法,設=,因為所以所以但是兩邊均求極限得從而矛盾,所以不存在.1.4.1.3單調(diào)數(shù)列法例設,證明:收斂,并且求它的極限.證:應用數(shù)學歸納法可以證明(=1,2…)而假設,那么,令=那么,=,其中介于與之間,由于,再由==可知收斂,設,則,由于所以,舍去),故.1.4.1.4柯西準則例設…+證明收斂.證明:對任給的,設,那么…+…)==要使則令那么當時,有,由柯西收斂準則可知收斂.1.4.2求已知數(shù)列的極限1.4.2.1定義法用的方法證明:證明:令,那么,所以…,所以=,對任意的,取=,則當時,,故.1.4.2.2兩邊夾法例計算（）解:當時,有因為,所以=當時,令則,所以=.1.4.2.3先求和再求極限例求極限解:因為=…所以=.1.4.2.4先用放縮法,再求極限例求…解:=…+那么所以又,利用兩邊夾法則有=.1.4.2.5利用施篤茲公式例設.證:由施篤茲公式.例已知數(shù)列滿足條件證明:證明:由施篤茲公式知所以.先用數(shù)學歸納法再求極限例設,,證明:收斂,并且求它的極限.證:應用數(shù)學歸納法可以證明(=1,2…)而假設,那么,令=那么,==其中介于與之間,由于,再由==可知收斂,設,則,由于所以,舍去),故例求極限解:用數(shù)學歸納法可以證明:再由兩邊夾法則知:=1.4.2.7級數(shù)法例證數(shù)列=有極限,并求出此極限.證明:當時,可證,所以當時為單調(diào)遞減,并且有下界大于零,所以存在,再考慮正項級數(shù),從而得出原數(shù)列的極限.1.4.2.8積分法求解:=令,由定積分定義可知1.4.2.9利用函數(shù)極限法,再用歸結(jié)原則例求①②當㏑㏑,所以綜上1.4.2.10利用對數(shù)求極限證明:證:因為,所以證明:證:因為,所以1.4.2.11利用中值定理證明:其解同1.4.2.6的解.1.4.2.12利用導數(shù)定義1.4.2.13利用單調(diào)數(shù)列1.4.3已知數(shù)列的遞推關系,求極限1.4.3.1先判斷極限存在,再求極限例證明:證明:由數(shù)學歸納法可證,因為即單調(diào)遞增.因,故令又對兩邊分別取極限得到,由于,因此,所以=1.4.3.2變量變換1.4.3.3壓縮映像法例設=,數(shù)列由下列遞推公式得出:求證:證:,所以,從而為壓縮數(shù)列,所以故則或者（舍去）,從而1.4.4證明數(shù)列極限1.4.4.1定義法例設,運用語言證明:證明:因為,所以當時下證對任意的則存在,當時,,所以即所以②對任意的1.4.4.2用施篤茲公式,證明:由施篤茲公式可知:1.4.4.3利用兩邊夾公式2數(shù)項級數(shù)的收斂2.1數(shù)項級數(shù)的收斂的定義定義2.1.1對于數(shù)列把它的每一項依順序用“”號連接在一起的式子叫做數(shù)項級數(shù)或者無窮級數(shù)（常常簡稱為級數(shù)）,級數(shù)前項的和,記作稱作級數(shù)之第個部分和（常簡稱為部分和）.定義2.1.2如果數(shù)項級數(shù)之部分和數(shù)列收斂于,那么此級數(shù)收斂,我們稱是此級數(shù)的和記為=或=若是發(fā)散數(shù)列,那么稱數(shù)項級數(shù)發(fā)散.定義2.1.3如果級數(shù)的每一項的符號都一樣,那么它是同號級數(shù).若它的每一項均大于零,那么稱之為正項級數(shù).定義2.1.4如果級數(shù)的每一項符號都正負相間,即為那么此級數(shù)是交錯級數(shù).定義2.1.5如果級數(shù)每一項的絕對值構(gòu)成的級數(shù)收斂的話,那么我們稱原級數(shù)是絕對收斂的.2.2數(shù)項級數(shù)的收斂的性質(zhì)2.2.1如果級數(shù)收斂,那么2.2.2如果級數(shù)和均收斂,那么對于任意的常數(shù),級數(shù)也收斂,并且=2.2.3增加、減少或者改變收斂級數(shù)的有限個項,所得到的級數(shù)仍收斂.2.2.4在收斂的級數(shù)的項中任意添加括號,所得到的級數(shù)仍收斂,并且和不變.2.2.5如果某級數(shù)絕對收斂,并且它的和為,那么經(jīng)過任意重排后得到的新級數(shù)是絕對收斂的,并且它們有相同的和數(shù).2.3正項級數(shù)的收斂的條件2.3.1正項級數(shù)收斂它的部分和數(shù)列是有界的,即為存在數(shù)對任意的整數(shù),都成立2.3.2是兩個正項級數(shù),如果存在,對所有都有則若收斂,那么也收斂.2.3.3為兩個正項級數(shù),如果,那么（ⅰ）若,那么有相同的斂散性.（ⅱ）若以及收斂,那么也是收斂的.2.3.4（比式判別法）:為正項級數(shù),并且有某正整數(shù)以及常數(shù),如果對所有滿足那么收斂.2.3.5（比式判別法的極限形式）:如果是正項級數(shù),并且,那么是收斂的.2.3.6（根式判別法）:為正項級數(shù),并且有以及常數(shù),如果對所有滿足,那么收斂.2.3.7（根式判別法的極限形式):是正項級數(shù),若,則是收斂的.2.3.8（積分判別法）:是且,則具有相同的斂散性.2.4一般項級數(shù)的收斂的條件2.4.1(萊布尼茨判別法):如果交錯級數(shù)滿足下列兩個條件:（?。?shù)列是單調(diào)且遞減的；（ⅱ）那么交錯級數(shù)是收斂的.2.4.2如果交錯級數(shù)符合萊布尼茨法的條件,那么它的余項估計式滿足2.4.3如果某級數(shù)絕對收斂,那么它一定收斂.2.4.4（阿貝爾判別法）:如果是單調(diào)且有界的數(shù)列,并且級數(shù)是收斂的,那么級數(shù)收斂.2.4.5（狄利克雷判別法）:如果數(shù)列是單調(diào)且遞減的,并且,以及級數(shù)的部分和數(shù)列是有界的,那么收斂.2.5數(shù)項級數(shù)的解題方法2.5.1判斷級數(shù)是否收斂設收斂,證明:(證:因為由積分判