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安徽省滁州市鳳陽縣第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.點(diǎn)分別為橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn),過的直線交橢圓與兩點(diǎn),則的周長(zhǎng)為()A.32 B.16C.8 D.42.《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題:從冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸,冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸,前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸(注:一丈等于十尺,一尺等于十寸),問立夏日影長(zhǎng)為()A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸3.已知正的邊長(zhǎng)為,那么的平面直觀圖的面積為()A. B.C. D.4.中秋節(jié)吃月餅是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗,若一盤中共有兩種月餅,其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅,現(xiàn)從盤中任取3塊,在取到的都是同種月餅的條件下,都是五仁月餅的概率是()A B.C. D.5.已知數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列,數(shù)列滿足.若對(duì)任意的,都有成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A., B.C., D.6.在等差數(shù)列中,,,則使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n=()A.2021 B.2022C.4041 D.40427.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,則的最小值為()A B.C. D.48.在中,若,,,則此三角形解的情況為()A.無解 B.兩解C.一解 D.解的個(gè)數(shù)不能確定9.已知正實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為()A. B.9C. D.10.①“若,則互為相反數(shù)”的逆命題;②“若,則”的逆否命題;③“若,則”的否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1C.2 D.311.已知集合,,則()A. B.C. D.12.若復(fù)數(shù),則()A B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.不等式的解集為,則________14.甲、乙兩名學(xué)生通過某次聽力測(cè)試的概率分別為和,且是否通過聽力測(cè)試相互獨(dú)立,兩人同時(shí)參加測(cè)試,其中有且只有一人能通過的概率是__________15.與直線平行,且距離為的直線方程為______16.若命題P:對(duì)于任意,使不等式為真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1);(2)18.(12分)如圖,在四棱雉中,平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中,,,,E為棱BC上的點(diǎn),且(1)求證:平面PAC;(2)求二面角A-PC-D的正弦值19.(12分)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,,再?gòu)臈l件①:;②:;③:這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,解答下列問題:(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:20.(12分)在如圖所示的多面體中,且,,,且,,且,平面,(1)求證:;(2)求平面與平面夾角的余弦值21.(12分)已知?jiǎng)又本€l:(m+3)x-(m+2)y+m=0與圓C:(x-3)2+(y-4)2=9(1)求證:無論m為何值,直線l與圓C總相交(2)m為何值時(shí),直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最???請(qǐng)求出該最小值22.(10分)如圖,在四棱錐中,平面,底面為菱形,且,,分別為,的中點(diǎn)(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)點(diǎn)在棱上,且,證明:平面
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意結(jié)合橢圓的定義可得,而的周長(zhǎng)等于,從而可得答案【詳解】解:由得,由題意得,所以的周長(zhǎng)等于,故選:B2、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長(zhǎng),公差為,則,所以立夏日影長(zhǎng)丈,即四尺五寸.故選:D3、D【解析】作出正的實(shí)際圖形和直觀圖,計(jì)算出直觀圖的底邊上的高,由此可求得的面積.【詳解】如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖.由斜二測(cè)畫法可知,,,在圖②中作于,則.所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直觀圖面積的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù),再根據(jù)概率公式即可得解.【詳解】解:由題意可得,取到3塊月餅都是同種月餅有種情況,取到3塊月餅都是五仁月餅有種情況,所以在取到的都是同種月餅的條件下,都是五仁月餅的概率是.故選:C.5、D【解析】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得,再結(jié)合題意得數(shù)列單調(diào)遞增,且滿足,,即,再解不等式即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意:數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列,所以,由于數(shù)列滿足,所以對(duì)任意的都成立,故數(shù)列單調(diào)遞增,且滿足,,所以,解得故選:6、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)易得,,再應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)、下標(biāo)和的性質(zhì)可得、,即可確定答案.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列且,,所以,,.故選:C.7、B【解析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得,令,化為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】解:根據(jù)題意可得,、,所以,令,由約束條件作出可行域如下圖所示,由得,即,由,得,由圖可知,當(dāng)直線過時(shí),直線在軸上的截距最小,有最小值為,即,所以故選:B8、C【解析】求出的值,結(jié)合大邊對(duì)大角定理可得出結(jié)論.【詳解】由正弦定理可得可得,因?yàn)椋瑒t,故為銳角,故滿足條件的只有一個(gè).故選:C.9、A【解析】根據(jù),將式子化為,進(jìn)而化簡(jiǎn),然后結(jié)合基本不等式求得答案.【詳解】因?yàn)椋?,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以的最小值為.故選:A.10、B【解析】寫出逆命題判斷①;寫出逆否命題判斷②;寫出否命題判斷③.【詳解】①:“若,則互為相反數(shù)”的逆命題為:“若互為相反數(shù),則”,是真命題;②:“若,則”的逆否命題為:“若,則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí),有,但不成立.故“若,則”是假命題.③:“若,則”的否命題為:“若,則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí),有,但是,即不成立.故“若,則”是假命題..故選:B11、B【解析】根據(jù)根式、分式的性質(zhì)求定義域可得集合A,解一元二次不等式求集合B,再由集合的交運(yùn)算求.【詳解】∵,,∴故選:B12、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】由,故選:A二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系可知,方程的兩根是,所以因此.考點(diǎn):一元二次方程與一元二次不等式之間的關(guān)系.14、##0.5【解析】分兩種情況,結(jié)合相互獨(dú)立事件公式即可求解.【詳解】記甲,乙通過聽力測(cè)試的分別為事件,則可得,兩人有且僅有一人通過為事件,故所求事件概率為.故答案為:15、或【解析】由題意,設(shè)所求直線方程為,根據(jù)兩平行直線間的距離公式即可求解.【詳解】解:由題意,設(shè)所求直線方程為,因?yàn)橹本€與直線的距離為,所以,解得或,所以所求直線方程為或,故答案為:或.16、【解析】根據(jù)題意,結(jié)合指數(shù)函數(shù)不等式,將原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式,對(duì)于任意恒成立,即可求解.【詳解】根據(jù)題意,知對(duì)于任意,恒成立,即,化簡(jiǎn)得,令,,則恒成立,即,解得,故.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】(1)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算中的乘除法則.(2)求導(dǎo)數(shù),主要考查復(fù)合函數(shù),外導(dǎo)乘內(nèi)導(dǎo).【小問1詳解】【小問2詳解】.18、(1)證明見解析(2)【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而計(jì)算出相關(guān)向量的坐標(biāo);(1)計(jì)算向量的數(shù)量積,,根據(jù)數(shù)量積結(jié)果為零,證明線線垂直,進(jìn)而證明線面垂直2;(2)求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量,根據(jù)向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明:因?yàn)槠矫鍭BCD,平面ABCD,平面ABCD,所以,,又因?yàn)椋瑒t以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB、AD、AP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,,,則,,所以,,又,平面PAC,平面PAC,∴平面PAC;【小問2詳解】解:由(1)可知平面PAC,可作為平面PAC的法向量,設(shè)平面PCD的法向量,因?yàn)?,所以,即,不妨設(shè),得,又由圖示知二面角為銳角,所以二面角的正弦值為19、(1)an=n,bn=(2)證明見解析【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,q>0,由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,列出方程組求解即可得答案;(2)求出,利用裂項(xiàng)相消求和法求出前項(xiàng)和為,即可證明【小問1詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,q>0,選①:,又,,可得1+5d=3q,1+4d=5d,解得d=1,q=2,則an=1+n﹣1=n,bn=;選②:,又a1=b1=1,a6=3b2,可得1+5d=3q,q4=4(q3﹣q2),解得d=1,q=2,則an=1+n﹣1=n,bn=;選③:,又a1=b1=1,a6=3b2,可得1+5d=3q,8+28d=6(3+3d),解得d=1,q=2,則an=1+n﹣1=n,bn=;小問2詳解】證明:由(1)知,,,所以20、(1)證明見解析(2)【解析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得,,如圖所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,證明即可得證;(2)求出平面與平面的法向量,再利用向量法即可得解.【小問1詳解】證明:因?yàn)槠矫?,平面,平面,所以,且,因?yàn)椋鐖D所示,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,所以,,,所以;【小問2詳解】,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,有,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,有,設(shè)平面和平面的夾角為,,所以平面和平面的夾角的余弦值為21、(1)詳見解析(2)m為-時(shí),截得的弦長(zhǎng)最小,最小值為2【解析】(1)將直線l變形,可知直線l過定點(diǎn),證明定點(diǎn)在圓內(nèi)部;(2)利用垂徑定理和弦長(zhǎng)公式可得.【詳解】(1)證明:直線l變形為m(x-y+1)+(3x-2y)=0令解得,如圖所示,故動(dòng)直線l恒過定點(diǎn)A(2,3)而|AC|==<3(半徑)∴點(diǎn)A在圓內(nèi),故無論m取何值,直線l與圓C總相交(2)解:由平面幾何知識(shí)知,弦心距越大,弦長(zhǎng)越小,即當(dāng)AC垂直直線l時(shí),弦長(zhǎng)最小,此時(shí)kl·kAC=-1,即,∴m=-最小值為故m為-時(shí),直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最小,最小值為2
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