安徽省宿州市時村中學2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末質量檢測試題含解析

安徽省宿州市時村中學2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在三棱錐中，是線段的中點，則（）A. B.C. D.2．古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標系中，，點P滿足，設點P的軌跡為C，下列結論正確的是（）A.C的方程為B.當A，B，P三點不共線時，面積的最大值為24C.當A，B，P三點不共線時，射線是的角平分線D.在C上存在點M，使得3．若橢圓與直線交于兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為,則A. B.C. D.24．設雙曲線的左、右頂點分別為、，左、右焦點分別為、，以為直徑的圓與雙曲線左支的一個交點為若以為直徑的圓與直線相切，則的面積為（）A. B.C. D.5．某考點配備的信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機以每分鐘50米的速度從設備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時長為（）A.1分鐘 B.分鐘C.2分鐘 D.分鐘6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點A在雙曲線上，且軸，若則雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.37．數(shù)列1，-3，5，-7，9，…的一個通項公式為A. B.C. D.8．數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項之積，若，則的值是（）A.1024 B.256C.2 D.5129．在平面直角坐標系中，已知橢圓的上、下頂點分別為、，左頂點為，左焦點為，若直線與直線互相垂直，則橢圓的離心率為A. B.C. D.10．在正三棱錐中，，且，M，N分別為BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的余弦值為（）A. B.C. D.11．已知點A、是拋物線：上的兩點，且線段過拋物線的焦點，若的中點到軸的距離為3，則（）A.3 B.4C.6 D.812．若直線與曲線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，圖形中的圓是正方形的內切圓，點E，F(xiàn)，G，H為對角線與圓的交點，若向正方形內隨機投入一點，則該點落在陰影部分區(qū)域內的概率為_________14．直線與直線的夾角大小等于_______15．設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________16．函數(shù)單調增區(qū)間為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某廠A車間為了確定合理的工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此作了五次試驗，得到數(shù)據(jù)如下：加工零件的個數(shù)x12345加工的時間y（小時）1.52.43.23.94.5（1）在給定的坐標系中畫出散點圖；（2）求出y關于x的回歸方程；（3）試預測加工9個零件需要多少時間？參考公式：，18．（12分）已知是等差數(shù)列，其n前項和為，已知（1）求數(shù)列的通項公式：（2）設，求數(shù)列的前n項和19．（12分）已知拋物線的焦點為F，點是拋物線上的點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線交于、兩點，且.求△OPQ面積的最小值.20．（12分）已知圓，點.（1）若，半徑為的圓過點，且與圓相外切，求圓的方程；（2）若過點的兩條直線被圓截得的弦長均為，且與軸分別交于點、，，求.21．（12分）已知圓，直線過定點.（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點，且，求此時直線的方程.22．（10分）已知空間中三點，，，設，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實數(shù)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結合向量運算計算作答.【詳解】在三棱錐中，是線段的中點，所以：.故選：A2、C【解析】根據(jù)題意可求出C的方程為，即可根據(jù)題意判斷各選項的真假【詳解】對A，由可得，化簡得，即，A錯誤；對B，當A，B，P三點不共線時，點到直線的最大距離為，所以面積的最大值為，B錯誤；對C，當A，B，P三點不共線時，因為，所以射線是的角平分線，C正確；對D，設，由可得點的軌跡方程為，而圓與圓的圓心距為，兩圓內含，所以這樣的點不存在，D錯誤故選：C3、D【解析】細查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設出點的坐標，由根與系數(shù)的關系可以推出線段的中點坐標，再由過原點與線段的中點的直線的斜率為，進而可推導出的值.【詳解】聯(lián)立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設，則，從而線段的中點的橫坐標為，縱坐標，因為過原點與線段中點的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點睛】該題是一道關于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識點有直線與橢圓相交時對應的解題策略，中點坐標公式，斜率坐標公式，屬于簡單題目.4、C【解析】據(jù)三角形中位線可得；再由雙曲線的定義求出，進而求出的面積【詳解】雙曲線的方程為：，，設以為直徑的圓與直線相切與點，則，且，，∥.又為的中點，，又，，的面積為：.故選:C5、C【解析】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，求得直線和圓的方程，利用點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的長，進而求得持續(xù)監(jiān)測的時長.【詳解】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，可得，圓記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結束，因為到的距離為米，所以米，故監(jiān)測時長為分鐘故選：C.6、B【解析】由雙曲線定義結合通徑公式、化簡得出，最后得出離心率.【詳解】，，，解得故選：B7、C【解析】觀察，奇偶相間排列，偶數(shù)位置為負，所以為，數(shù)字是奇數(shù)，滿足2n-1,所以可求得通項公式.【詳解】由符號來看，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以符號滿足，由數(shù)值1，3，5，7，9…顯然滿足奇數(shù)，所以滿足2n-1,所以通項公式為，選C.【點睛】本題考查觀察法求數(shù)列的通項公式，解題的關鍵是培養(yǎng)對數(shù)字的敏銳性，屬于基礎題.8、D【解析】設數(shù)列的公比為q，由已知建立方程求得q，再利用等比數(shù)列的通項公式可求得答案.【詳解】解：因為數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項之積，，設數(shù)列的公比為q，所以，解得，所以，故選：D.9、C【解析】依題意，直線與直線互相垂直，，，故選10、B【解析】由題意可得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】因為，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，所以,因為M，N分別為BC，AD的中點，所以，所以，設直線AM和CN所成的角為，則,所以直線AM和CN夾角的余弦值為，故選：B11、D【解析】直接根據(jù)拋物線焦點弦長公式以及中點坐標公式求結果【詳解】設，，則的中點到軸的距離為，則故選：D12、D【解析】由題可知，曲線表示一個半圓，結合半圓的圖像和一次函數(shù)圖像即可求出的取值范圍.【詳解】由得，畫出圖像如圖：當直線與半圓O相切時，直線與半圓O有一個公共點，此時，，所以，由圖可知，此時，所以，當直線如圖過點A、B時，直線與半圓O剛好有兩個公共點，此時，由圖可知，當直線介于與之間時，直線與曲線有兩個公共點，所以.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用幾何概型概率計算公式，計算得所求概率.【詳解】設正方形的邊長為2，則陰影部分的面積為，故若向正方形內隨機投入一點，則該點落在陰影部分區(qū)域內概率為故答案為：.14、##【解析】根據(jù)直線的傾斜角可得答案.【詳解】直線是與軸平行的直線，直線的斜率為1，即與軸的夾角為角，故直線與直線的夾角大小等于.故答案為：.15、【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據(jù)拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的幾何性質和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據(jù)題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯(lián)立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.16、【解析】利用導數(shù)法求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，當時，，所以的單調增區(qū)間是，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）圖見解析；（2）；（3）小時.【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)在坐標系中描出對應點即可.（2）由表格中的數(shù)據(jù)代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中將自變量為9代入回歸方程可得需用時間.【小問1詳解】【小問2詳解】由表中數(shù)據(jù)得：，，，，由x與y之間具有線性相關關系，根據(jù)公式知：，，∴回歸直線方程為：【小問3詳解】將代入回歸直線方程得，，∴預測加工9個零件需要小時18、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差數(shù)列的基本量，結合已知條件，列出方程組，求得首項和公差，即可寫出通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，結合裂項求和法，即可求得.【小問1詳解】因為是等差數(shù)列，其n前項和為，已知，設其公差為，故可得：，，解得，又，故.【小問2詳解】由（1）知，，又，故.即.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義列方程，由此求得，進而求得拋物線方程.（2）聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出根與系數(shù)關系，結合求得的值，求得三角形面積的表達式，進而求得面積的最小值.【詳解】（1）依題意.（2）與聯(lián)立得，，得，又，又m>0，m=4.且，，當k=0時，S最小，最小值為.20、（1）或（2）【解析】（1）設圓心，根據(jù)已知條件可得出關于、的方程組，解出、的值，即可得出圓的方程；（2）分析可知直線、的斜率存在，設過點且斜率存在的直線的方程為，即，利用勾股定理可得出，可知直線、的斜率、是關于的二次方程的兩根，求出、的坐標，結合韋達定理可求得的值.【小問1詳解】解：設圓心，圓的圓心為，由題意可得，解得或，因此，圓的方程為或.【小問2詳解】解：若過點的直線斜率不存在，則該直線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意.設過點且斜率存在的直線的方程為，即，由題意可得，整理可得，設直線、的斜率分別為、，則、為關于的二次方程的兩根，，由韋達定理可得，，在直線的方程中，令，可得，即點在直線的方程中，令，可得，即點，所以，，解得.21、（1）或；（2）或.【解析】（1）由圓的方程可得圓心和半徑，當直線斜率不存在時，知與圓相切，滿足題意；當直線斜率存在時，利用圓心到直線距離等于半徑可構造方程求得，由此可得方程；（2）當直線斜率不存在時，知與圓相切，不合題意；當直線斜率存在時，利用垂徑定理可構造方程求得，由此可得方程.【小問1詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；當直線斜率不存在，即時，與圓相切，滿足題意；當直線斜率存在時，設，即，圓心到直線距離，解得：，，即；綜上所述：直線方程為或；【小問2詳解】當直線斜率不存在，即時，與圓相切，不合題意；當直線斜率存在時，設，即，圓心到直線距離，