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北京東城北京二中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,若,則公比()A. B.2C.2或 D.42.已知直線,兩個(gè)不同的平面,下列命題正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為()A.B.CD.4.若直線與互相平行,且過點(diǎn),則直線的方程為()A. B.C. D.5.已知數(shù)列為等比數(shù)列,則“,”是“為遞減數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知為等差數(shù)列,為公差,若成等比數(shù)列,且,則數(shù)列的前項(xiàng)和為()A. B.C. D.7.圓心為的圓,在直線x﹣y﹣1=0上截得的弦長(zhǎng)為,那么,這個(gè)圓的方程為()A. B.C. D.8.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),,,則的最小值為()A. B.C D.9.已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合,過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,,與分別交于,則直線過定點(diǎn)()A. B.C. D.10.若向量則()A. B.3C. D.11.過點(diǎn)且平行于直線的直線的方程為()A. B.C. D.12.已知圓:,點(diǎn),則點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為()A.1 B.2C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),且,則四邊形的面積為________14.已知函數(shù)則的值為.____15.已知空間向量,,若,則______.16.在單位正方體中,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),過點(diǎn)B,E,的平面截該正方體所得的截面面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:的一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為,直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí),求的值18.(12分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求的值;(2)是否存在常數(shù),使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意,恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由19.(12分)已知函數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí),證明,,;(2)若函數(shù)在上存在極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)某微小企業(yè)員工的年齡分布莖葉圖如圖所示:(1)求該公司員工年齡的極差和第25百分位數(shù);(2)從該公司員工中隨機(jī)抽取一位,記所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件,所抽取員工年齡在區(qū)間內(nèi)為事件,判斷事件與是否互相獨(dú)立,并說明理由;21.(12分)新冠疫情下,有一學(xué)校推出了食堂監(jiān)管力度的評(píng)價(jià)與食品質(zhì)量的評(píng)價(jià)系統(tǒng),每項(xiàng)評(píng)價(jià)只有合格和不合格兩個(gè)選項(xiàng),師生可以隨時(shí)進(jìn)行評(píng)價(jià),某工作人員利用隨機(jī)抽樣的方法抽取了200位師生的信息,發(fā)現(xiàn)對(duì)監(jiān)管力度滿意的占75%,對(duì)食品質(zhì)量滿意的占60%,其中對(duì)監(jiān)管力度和食品質(zhì)量都滿意的有80人.(1)完成列聯(lián)表,試問:是否有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)?監(jiān)督力度情況食品質(zhì)量情況對(duì)監(jiān)督力度滿意對(duì)監(jiān)督力度不滿意總計(jì)對(duì)食品質(zhì)量滿意80對(duì)食品質(zhì)量不滿意總計(jì)200(2)為了改進(jìn)工作作風(fēng),針對(duì)抽取的200位師生,對(duì)監(jiān)管力度不滿意的人抽取3位征求意見,用X表示3人中對(duì)監(jiān)管力度與食品質(zhì)量都不滿意的人數(shù),求X的分布列與均值.參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):①當(dāng)時(shí),有90%的把握判斷變量A、B有關(guān)聯(lián);②當(dāng)時(shí),有95%的把握判斷變量A、B有關(guān)聯(lián);③當(dāng)時(shí),有99%的把握判斷變量A、B有關(guān)聯(lián).22.(10分)如圖,在三棱錐中,,平面,,分別為棱,的中點(diǎn).(1)求證:;(2)若,,二面角的大小為,求三棱錐的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由兩式相除即可求公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,∵其各項(xiàng)均為正數(shù),故q>0,∵,∴,又∵,∴=4,則q=2.故選:B.2、A【解析】根據(jù)線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),根據(jù)面面垂直的判定定理可知,A選項(xiàng)正確,對(duì)于B選項(xiàng),當(dāng),時(shí),和可能相交,B選項(xiàng)錯(cuò)誤,對(duì)于C選項(xiàng),當(dāng),時(shí),可能含于,C選項(xiàng)錯(cuò)誤,對(duì)于D選項(xiàng),當(dāng),時(shí),可能含于,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:A3、B【解析】由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可求出.【詳解】,.故選:B.4、D【解析】由題意設(shè)直線的方程為,然后將點(diǎn)代入直線中,可求出的值,從而可得直線的方程【詳解】因?yàn)橹本€與互相平行,所以設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本€過點(diǎn),所以,得,所以直線的方程為,故選:D5、A【解析】本題可依次判斷“,”是否是“為遞減數(shù)列”的充分條件以及必要條件,即可得出結(jié)果.【詳解】若等比數(shù)列滿足、,則數(shù)列為遞減數(shù)列,故“,”是“為遞減數(shù)列”的充分條件,因?yàn)槿舻缺葦?shù)列滿足、,則數(shù)列也是遞減數(shù)列,所以“,”不是“為遞減數(shù)列”的必要條件,綜上所述,“,”是“為遞減數(shù)列”的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件以及必要條件的判定,考查等比數(shù)列以及遞減數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性,考查推理能力,是簡(jiǎn)單題.6、C【解析】先利用已知條件得到,解出公差,得到通項(xiàng)公式,再代入數(shù)列,利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,,故,即,故,解得或(舍去),故,即,故的前項(xiàng)和為:.故選:C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:數(shù)列求和的方法:(1)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法(2)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來求;(3)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí),中間的一些像可相互抵消,從而求得其和;(4)分組轉(zhuǎn)化法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成,則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減;(5)并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和,形如類型,可采用兩項(xiàng)合并求解.7、A【解析】由垂徑定理,根據(jù)弦長(zhǎng)的一半及圓心到直線的距離求出圓半徑,即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心到直線x﹣y﹣1=0的距離弦長(zhǎng),設(shè)圓半徑為r,則故r=2則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】由橢圓的定義可得;利用基本不等式,若,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知,,即,因?yàn)椋?,所以,?dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立.故選:A9、A【解析】由橢圓方程可求得坐標(biāo),由此求得拋物線方程;設(shè),與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式,根據(jù)可得,由此構(gòu)造方程求得,根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得定點(diǎn).【詳解】由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,又拋物線焦點(diǎn),,解得:,則拋物線的方程為,由題意知:直線斜率不為,可設(shè),由得:,則,即,設(shè),,則,,,,,解得:或;又與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合,,,當(dāng)時(shí),,直線恒過定點(diǎn).故選:A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解,求解此類問題的基本思路如下:①假設(shè)直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式;②利用求得變量的取值范圍,得到韋達(dá)定理的形式;③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系,代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系,從而化簡(jiǎn)直線方程;④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.10、D【解析】先求得,然后根據(jù)空間向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求得【詳解】由于向量,,所以.故故選:D11、B【解析】根據(jù)平行設(shè)直線方程,代入點(diǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)直線方程為,將點(diǎn)代入直線方程得到,解得.故直線方程為:.故選:B.12、C【解析】寫出圓的圓心和半徑,求出距離的最小值,再結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓:,得圓,半徑為,所以,所以點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為.故選:C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)已知可得,設(shè),利用勾股定理結(jié)合,求出,四邊形面積等于,即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),且,所以四邊形為矩形,設(shè),則,所以,,即四邊形面積等于.故答案為:.14、-1【解析】詳解】試題分析:由題意,得,所以,解得,所以考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算15、2【解析】依據(jù)向量垂直充要條件列方程,解之即可解決.【詳解】空間向量,,由,可知,即,解之得故答案為:216、【解析】根據(jù)題意,取的中點(diǎn),連接、、、,分析可得四邊形為平行四邊形,則要求的截面就是四邊形,進(jìn)而可得為菱形,連接、,求出、的長(zhǎng),計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意,取的中點(diǎn),連接、、、,易得,,則四邊形為平行四邊形,過點(diǎn),,的截面就是,又由正方體為單位正方體,則,則為菱形,連接、,易得,,則,即要求截面的面積為,故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,得到,再由橢圓的離心率為,求得,進(jìn)而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由橢圓的對(duì)稱性得到,聯(lián)立方程組求得,根據(jù)的面積為,列出方程,即可求解.【小問1詳解】解:由題意,橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,可得,又由橢圓的離心率為,可得,所以,則,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解:設(shè),且根據(jù)橢圓的對(duì)稱性得,聯(lián)立方程組,整理得,解得,因?yàn)榈拿娣e為,可得,解得.18、(1)2;(2)存在,.【解析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用得的值;(2)討論和分離參數(shù),構(gòu)造新函數(shù)求解最值即可求解【詳解】解:(1),又由題意有(2)由(1)知,此時(shí),由或,所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和要恒成立,即①當(dāng)時(shí),,則要恒成立,令,再令,所以在內(nèi)遞減,所以當(dāng)時(shí),,故,所以在內(nèi)遞增,;②當(dāng)時(shí),lnx>0,則要恒成立,由①可知,當(dāng)時(shí),,所以內(nèi)遞增,所以當(dāng)時(shí),,故,所以在內(nèi)遞增,綜合①②可得,即存在常數(shù)滿足題意19、(1)證明見解析:(2)【解析】(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.(2),若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可.【詳解】(1)證明:當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,僅時(shí),,所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.(2),因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,因?yàn)?當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,沒有極值點(diǎn).當(dāng)時(shí),,所以存在,使當(dāng)時(shí),時(shí),所以在處取得極小值,為極小值點(diǎn).綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值,進(jìn)而證明不等式的方法.同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)極值點(diǎn)的問題,需要結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.屬于難題.20、(1)極差為;第25百分位數(shù)為(2)事件和相互獨(dú)立,理由見解析【解析】(1)根據(jù)定義直接計(jì)算極差和百分位數(shù)得到答案.(2)計(jì)算得到,,,即,得到答案.【小問1詳解】員工年齡的極差為,,故第25百分位數(shù)為.【小問2詳解】,,,故,故事件和相互獨(dú)立.21、(1)列聯(lián)表見解析,有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質(zhì)量有關(guān)聯(lián);(2)X的分布列見解析,X的期望為【解析】(1)根據(jù)給定條件完善列聯(lián)表,再計(jì)算的觀測(cè)值并結(jié)合給定數(shù)據(jù)即可作答.(2)求出X的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率列出X的分布列,再計(jì)算期望作答.【小問1詳解】對(duì)監(jiān)管力度滿意的有,對(duì)食品質(zhì)量滿意的有,列聯(lián)表如下:對(duì)監(jiān)督力度滿意對(duì)監(jiān)督力度不滿意總計(jì)對(duì)食品質(zhì)量滿意8040120對(duì)食品質(zhì)量不滿意701080總計(jì)15050200則的觀測(cè)值為:,所以有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質(zhì)量有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】由(1)及已知得,X的所有可能值為:0,1,2,3,,,,,X的分布列為:X0123PX的期望為:.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛:獨(dú)立性檢
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