北京東城區(qū)北京匯文中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

北京東城區(qū)北京匯文中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)E，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為A.10 B.12C.16 D.202．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則的面積為（）A. B.4C. D.3．已知橢圓C：（）的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，焦距為2，則C的方程為（）A B.C. D.4．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，過(guò)線(xiàn)段的中點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)與的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)，若，則的斜率為（）A. B.C. D.5．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A B.C. D.6．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.7．在空間四邊形中，，，，且，則（）A. B.C. D.8．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P是C上的點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.13 B.16C.20 D.9．中國(guó)農(nóng)歷的二十四節(jié)氣是中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，二十四節(jié)氣歌是以春、夏、秋、冬開(kāi)始的四句詩(shī).在國(guó)際氣象界，二十四節(jié)氣被譽(yù)為“中國(guó)的第五大發(fā)明”.2016年11月30日，二十四節(jié)氣被正式列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類(lèi)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生600名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)二十四節(jié)氣歌，只能說(shuō)出一句的有45人，能說(shuō)出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計(jì)該校三年級(jí)的600名學(xué)生中，對(duì)二十四節(jié)氣歌一句也說(shuō)不出的有（）A.17人 B.83人C.102人 D.115人10．在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（）A.圓 B.橢圓C.拋物線(xiàn) D.直線(xiàn)11．某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數(shù)y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的患病（感冒）人數(shù)與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線(xiàn)性回歸方程中的，氣象部門(mén)預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為9℃，據(jù)此估計(jì)該社區(qū)下個(gè)月老年人與兒童患病人數(shù)約為（）A.38 B.40C.46 D.5812．設(shè)變量，滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.6C.10 D.13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知與所在平面垂直，且，，，點(diǎn)P、Q分別在線(xiàn)段BD、CD上，沿直線(xiàn)PQ將向上翻折，使D與A重合．則直線(xiàn)AP與平面ACQ所成角的正弦值為_(kāi)_____14．在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式__________15．將一枚質(zhì)地均勻的骰子，先后拋擲次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為的概率是________.16．函數(shù)的圖象在處的切線(xiàn)方程為，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）在等差數(shù)列中，，前10項(xiàng)和（1）求列通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求的前8項(xiàng)和19．（12分）在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的最大值及相應(yīng)的n值20．（12分）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿(mǎn)足.（1）求A；（2）若，求面積的最大值.21．（12分）已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，A，B分別為左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上不同于A，B的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)AP與直線(xiàn)（m為常數(shù)）交于點(diǎn)Q，①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)OQ的斜率為，直線(xiàn)BP的斜率為．求證：為定值；②過(guò)Q與PB垂直的直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由22．（10分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于不同的兩點(diǎn)，求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結(jié)果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長(zhǎng)，，所以：周長(zhǎng)，由橢圓的第一定義，，所以，周長(zhǎng)故選D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，三角形的周長(zhǎng)的求法，屬于基本知識(shí)的考查2、C【解析】設(shè)，根據(jù)題意，可知的方程為直線(xiàn)，根據(jù)原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離建立方程，求出，進(jìn)而求出，的值，以及到直線(xiàn)的距離，再根據(jù)面積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題意可知，其中，所以的方程為，即所以原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以，即，；所以直線(xiàn)的方程為，所以到直線(xiàn)的距離為；又，所以的面積為.故選：C.3、D【解析】由題設(shè)可得求出橢圓參數(shù)，即可得方程.【詳解】由題設(shè)，知：，可得，則，∴C的方程為.故選：D.4、C【解析】設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、、，將直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出、，根據(jù)條件可求得的值，即可得出直線(xiàn)的斜率.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為，所以，，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，解得，因此，直線(xiàn)的斜率為.故選：C.5、D【解析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：D6、C【解析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值點(diǎn)，然后判斷選項(xiàng)即可【詳解】解：由題意可知：和時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；所以函數(shù)的圖象只能是故選：C7、A【解析】利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【詳解】..故選:A.8、B【解析】利用橢圓的定義及即可得到答案.【詳解】由橢圓的定義，，焦距，所以的周長(zhǎng)為.故選：B9、C【解析】根據(jù)頻率計(jì)算出正確答案.【詳解】一句也說(shuō)不出的學(xué)生頻率為，所以估計(jì)名學(xué)生中，一句也說(shuō)不出的有人.故選：C10、A【解析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合數(shù)量積定義求解其軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點(diǎn)C的軌跡是以AB中點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量及其數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，軌跡方程的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、B【解析】由表格數(shù)據(jù)求樣本中心，根據(jù)線(xiàn)性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，將點(diǎn)代入方程求參數(shù)，寫(xiě)出回歸方程，進(jìn)而估計(jì)下個(gè)月老年人與兒童患病人數(shù).【詳解】由表格得為，由回歸方程中的，∴，解得，即，當(dāng)時(shí)，.故選：B.12、C【解析】畫(huà)出約束條件表示的平面區(qū)域，將變形為，可得需要截距最小，觀(guān)察圖象，可得過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最小，求出點(diǎn)A坐標(biāo)，代入目標(biāo)式即可.【詳解】解：畫(huà)出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分：又，即，要取最大值，則在軸上截距要最小，觀(guān)察圖象可得過(guò)點(diǎn)時(shí)截距最小，由，得，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)求出，再由空間向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，如圖以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，由，即，解得，所以，故，設(shè)為平面ACQ的一個(gè)法向量，因?yàn)椋?，由，即，所以，設(shè)直線(xiàn)AP與平面ACQ所成角為，則.故答案為：14、【解析】由已知可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】解：由在數(shù)列中，若，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.15、【解析】將向上的點(diǎn)數(shù)記作，先計(jì)算出所有的基本事件數(shù)，并列舉出事件“出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】將骰子先后拋擲次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作，則基本事件數(shù)為，向上的點(diǎn)數(shù)之和為這一事件記為，則事件所包含的基本事件有：、、，共個(gè)基本事件，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用古典概型的概率公式計(jì)算概率，解題時(shí)一般要列舉出相應(yīng)的基本事件，遵循不重不漏的基本原則，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，根據(jù)切點(diǎn)在切線(xiàn)上可得.【詳解】因?yàn)榍芯€(xiàn)的斜率為，所以，又切點(diǎn)在切線(xiàn)上，所以，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）.【解析】（1）由得是公差為2的等差數(shù)列，再由可得答案.（2）,分為奇數(shù)、偶數(shù)，分組求和即可求解.【小問(wèn)1詳解】由，得，故是公差為2的等差數(shù)列，故，由，故，于是.【小問(wèn)2詳解】依題意，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，故，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上，.18、（1）；（2）347.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，解方程組即得解；（2）先求出，再分組求和得解.【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得所以（2）由題意，，所以所以的前8項(xiàng)和為19、（1）；（2）當(dāng)或11時(shí)，最大值為55.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得方程組，解這個(gè)方程組得公差和首項(xiàng)，從而得數(shù)列的通項(xiàng)公式n.（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的二次式，將這個(gè)二次式配方即可得最大值.【詳解】（1）由題設(shè)，故（舍，此時(shí)）或.故，故.（2）由（1）可得，因?yàn)?，?duì)稱(chēng)方程為，故當(dāng)或時(shí)，取最大值，此時(shí)最大值為.20、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，再由范圍可得答案；（2）由余弦定理和基本不等式可得，再由面積公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】∵，由正弦定理得，又，所以，又，則；【小問(wèn)2詳解】由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”，所以面積的最大值為21、（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；【解析】（1）依題意得到方程組，解得，即可求出橢圓方程；（2）①由（1）可得，，設(shè)，，表示出直線(xiàn)的方程，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到、，即可求出；②在直線(xiàn)方程中令，即可得到的坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)的斜率，即可得到直線(xiàn)的方程，從而求出定點(diǎn)坐標(biāo)；【小問(wèn)1詳解】解：依題意可得，即，解得或（舍去），所以，所以橢圓方程為【小問(wèn)2詳解】解：①由（1）可得，，設(shè)，，則直線(xiàn)的方程為，令則，所以，，所以，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即，所以，即為定值；②因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，令則，因?yàn)椋?，?/p>