機械控制工程基礎第二章系統(tǒng)的數(shù)學模型

基本要求、重點和難點一、基本要求（1）了解數(shù)學模型的基本概念。能夠運用動力學、電學及專業(yè)知識，列寫機械系統(tǒng)、電子網(wǎng)絡的微分方程。（2）掌握傳遞函數(shù)的概念、特點，會求傳遞函數(shù)的零點、極點及放大系數(shù)。（3）能夠用分析法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。（4）掌握各個典型環(huán)節(jié)的特點，傳遞函數(shù)的基本形式及相關參數(shù)的物理意義。（5）了解傳遞函數(shù)方框圖的組成及意義；能夠根據(jù)系統(tǒng)微分方程，繪制系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖，并實現(xiàn)簡化，從而求出系統(tǒng)傳遞函數(shù)。（6）掌握閉環(huán)系統(tǒng)中前向通道傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的定義及求法。掌握干擾作用下，系統(tǒng)的輸出及傳遞函數(shù)的求法和特點。（7）了解相似原理的概念。（8）了解系統(tǒng)的狀態(tài)空間表示法，了解MATLAB中，數(shù)學模型的幾種表示法。二、本章重點（1）系統(tǒng)微分方程的列寫。（2）傳遞函數(shù)的概念、特點及求法；典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。（3）傳遞函數(shù)方框圖的繪制及簡化。三、本章難點（1）系統(tǒng)微分方程的列寫。（2）傳遞函數(shù)方框圖的繪制及簡化。概述系統(tǒng)按其微分方程是否線性這一特性，可以分為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。如果系統(tǒng)的運動狀態(tài)能用線性微分方程表示，則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的一個最重要的特性就是滿足疊加原理。線性系統(tǒng)又可分為線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)。系統(tǒng)的數(shù)學模型是系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學描述。對于同一系統(tǒng)，數(shù)學模型可以有多種形式，如微分方程、傳遞函數(shù)、單位脈沖響應函數(shù)及頻率特性等等。但系統(tǒng)是否線性這一特性，不會隨模型形式的不同而改變。線性與非線性是系統(tǒng)的固有特性，完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)確定。系統(tǒng)建模是經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的基礎。建立系統(tǒng)數(shù)學模型的方法有分析法和實驗辨識法兩種。前者主要用于對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)的認識都比較清楚的簡單系統(tǒng)，而后者通常用于對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有所了解，而需進一步精化系統(tǒng)模型的情況。對于復雜系統(tǒng)的建模往往是一個分析法與實驗辨識法相結(jié)合的多次反復的過程。在建模的過程中還要正確處理模型簡化和模型精度的辨證關系，以建立簡單且能滿足要求的數(shù)學模型。第一節(jié)系統(tǒng)的微分方程列寫系統(tǒng)或元件微分方程的一般步驟為：（1）確定系統(tǒng)或元件的輸入量和輸出量；（2）按照信號的傳遞順序，從系統(tǒng)的輸入端出發(fā)，根據(jù)有關定律，列寫出各個環(huán)節(jié)的動態(tài)微分方程；（3）消除上述各方程式中的中間變量，最后得到只包含輸入量與輸出量的方程式；（4）將與輸入有關的項寫在微分方程的右邊，與輸出有關的項寫在微分方程的左邊，并且各階導數(shù)項按降冪排列。在列寫微分方程的各步中，關鍵在于掌握組成系統(tǒng)的各個元件或環(huán)節(jié)所遵循的有關定律。對于機械類的讀者，往往需要列寫機械系統(tǒng)和電網(wǎng)絡系統(tǒng)的微分方程，因此，有必要掌握如表2.1.1所示的常見元件的物理定律。表2.1.1常見元件的物理定律系統(tǒng)類別元件名稱及代號符號所遵循的物理定律機械系統(tǒng)（直線運動）質(zhì)量元件m彈性元件k阻尼元件c電網(wǎng)絡系統(tǒng)電容C電感L電阻R如果系統(tǒng)中包含非本質(zhì)非線性的元件或環(huán)節(jié)，為研究系統(tǒng)方便，通?？蓪⑵溥M行線性化。非線性系統(tǒng)線性化的方法是將變量的非線性函數(shù)在系統(tǒng)某一工作點（或稱平衡點）附近展開成泰勒級數(shù)，分解成這些變量在該工作點附近的微增量表達式，然后略去高于一階增量的項，并將其寫成增量坐標表示的微分方程。第二節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一、傳遞函數(shù)對于線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)是一種常用的數(shù)學模型。其定義為：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的Laplace變換與引起該輸出的輸入量的Laplace變換之比。若線性定常系統(tǒng)輸入與輸出之間關系的微分方程為 （2.2.1）則，系統(tǒng)以為輸出、為輸入的傳遞函數(shù)可表示成：（2.2.2）系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義，一是指在時輸入才開始作用于系統(tǒng)，因此，時，及其各階導數(shù)均為零；二是指在時系統(tǒng)處于相對靜止的狀態(tài)，即系統(tǒng)在工作點上運行，因此時，輸出及其各階導數(shù)也均為零?，F(xiàn)實的工程控制系統(tǒng)多屬此類情況。傳遞函數(shù)具有以下特點：（1）傳遞函數(shù)的分母反映了由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)所決定的系統(tǒng)的固有特性，而其分子則反映了系統(tǒng)與外界之間的聯(lián)系。（2）當系統(tǒng)在初始狀態(tài)為零時，對于給定的輸入，系統(tǒng)輸出的Laplace變換完全取決于其傳遞函數(shù)。一旦系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零，則傳遞函數(shù)不能完全反映系統(tǒng)的動態(tài)歷程。（3）傳遞函數(shù)分子中s的階次不會大于分母中s的階次。（4）傳遞函數(shù)有無量綱和取何種量綱，取決于系統(tǒng)輸出的量綱與輸入的量綱。（5）不同用途、不同物理組成的不同類型系統(tǒng)、環(huán)節(jié)或元件，可以具有相同形式的傳遞函數(shù)。（6）傳遞函數(shù)非常適用于對單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)的動態(tài)特性進行描述。但對于多輸入、多輸出系統(tǒng)，需要對不同的輸入量和輸出量分別求傳遞函數(shù)。另外，系統(tǒng)傳遞函數(shù)只表示系統(tǒng)輸入量和輸出量的數(shù)學關系（描述系統(tǒng)的外部特性），而未表示系統(tǒng)中間變量之間的關系（描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性）。針對這個局限性，在現(xiàn)代控制理論中，往往采用狀態(tài)空間描述法對系統(tǒng)的動態(tài)特性進行描述。二、傳遞函數(shù)的零點、極點和放大系數(shù)傳遞函數(shù)是一個復變函數(shù)，一般具有零點、極點。根據(jù)復變函數(shù)知識，凡能使復變函數(shù)為0的點均稱為零點；凡能使復變函數(shù)為趨于∞的點均稱為極點。若將傳遞函數(shù)寫成如下的形式：則，為傳遞函數(shù)的零點，為傳遞函數(shù)的極點，而將稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)。傳遞函數(shù)的零點和極點的分布影響系統(tǒng)的動態(tài)性能。一般極點影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，零點影響系統(tǒng)的瞬態(tài)響應曲線的形狀。系統(tǒng)的放大系數(shù)決定了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出值。因此，對系統(tǒng)的研究可變成對系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點、極點和放大系數(shù)的研究。三、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)是由若干典型環(huán)節(jié)組成的。常見典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)的一般表達式分別為：比例環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)（）延時環(huán)節(jié)以上各式中：為比例系數(shù)；為時間常數(shù)；為阻尼比；為無阻尼固有頻率；為延遲時間。四、閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖如圖2.2.1所示。圖2.2.1閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖圖中，前向通道的傳遞函數(shù)為反饋通道的傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為；閉環(huán)傳遞函數(shù)為。若，則此閉環(huán)系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為。請注意，這里所說的開環(huán)傳遞函數(shù)、反饋通道的傳遞函數(shù)和前向通道的傳遞函數(shù)都只是一個閉環(huán)系統(tǒng)中一部分元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，而閉環(huán)傳遞函數(shù)才是這個閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。表示閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)各種傳遞函數(shù)的符號只是一個符號而已，讀者在遇到相應的問題是，要根據(jù)各自的的概念作具體的分析。第三節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化一、傳遞函數(shù)方框圖在系統(tǒng)建模中，對于各個環(huán)節(jié)，分別用傳遞函數(shù)代表環(huán)節(jié)，用環(huán)節(jié)輸入、輸出的Laplace變換代表其輸入和輸出，而形成的一種表示系統(tǒng)與外界之間以及系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間的關系的方框圖就是傳遞函數(shù)方框圖。與系統(tǒng)方框圖相對應，它包含函數(shù)方框、相加點和分支點等三種基本要素。建立系統(tǒng)方框圖的步驟如下：（1）建立系統(tǒng)（或元件）的原始微分方程；（2）對這些原始微分方程在初始狀態(tài)為零的條件下進行Laplace變換，并根據(jù)各個變換式的因果關系分別繪出相應的方框圖；（3）從系統(tǒng)的輸入量與主反饋信號進行疊加的比較環(huán)節(jié)開始，沿信號流動的方向，通過傳遞函數(shù)方框?qū)⑺械闹虚g變量之間的關系一一畫出，直至畫出系統(tǒng)的輸出量與主反饋信號。二、傳遞函數(shù)方框圖等效的基本規(guī)則傳遞函數(shù)方框圖等效的基本規(guī)則如表2.3.1所示。三、傳遞函數(shù)方框圖簡化的一般步驟（1）確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量，如果作用在系統(tǒng)的輸入量有多個，則必須分別對每一個輸入量，逐個進行方框圖的簡化，求得各自的傳遞函數(shù)。對于具有多個輸出量的情況，也要分別進行變換，求取各自的傳遞函數(shù)。（2）若方框圖中僅有多個無交叉回路，則按照先里后外的原則，逐個簡化，直至簡化成一個方框的形式。若方框圖中有交叉的連接，用如下的方法。方法一：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖同時滿足以下兩個條件條件1，整個系統(tǒng)方框圖中只有一條前向通道；條件2，各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。則可以直接用下列公式求解：（2.3.1）括號內(nèi)每一項的符號是這樣決定的：在相加點處，對反饋信號為相加時取負號，對反饋信號為相減時取正號。方法二：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時滿足以上兩個條件，則可通過相加點、分支點的前后移動等法則，將系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖化為同時滿足以上兩個條件的形式，然后應用公式（2.3.1）即可。方法三：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時滿足以上兩個條件，可通過相加點、分支點的前后移動等法則，將交叉消除，簡化成無交叉的多回路形式。然后由里到外進行變換直至變換成一個單一回路或一個方框的形式，最后寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。在進行相加點或分支點前后移動時，應避免將相加點跨越分支點或分支點跨越相加點，或?qū)⑾嗉狱c和分支點的位置進行相互交換，否則，方框圖將更加復雜。表2.3.1常用傳遞函數(shù)方框圖的等效變換法則第四節(jié)反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)設閉環(huán)系統(tǒng)在干擾作用下的方框圖如圖2.4.1。圖2.4.1閉環(huán)系統(tǒng)在干擾作用下的方框圖根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)的干擾相互獨立地對系統(tǒng)起作用。設輸入引起的輸出為，干擾引起的輸出為。令干擾為零，則可得系統(tǒng)在輸入作用下的傳遞函數(shù)為（2.4.1）令輸入為零，則可得系統(tǒng)在干擾作用下的傳遞函數(shù)為（2.4.2）在上式中，若取，且，則干擾所引起的輸出趨于0。因此，盡管系統(tǒng)在運行的過程中，干擾是不可避免的，而對于反饋控制系統(tǒng)，只要系統(tǒng)參數(shù)選擇適當，就可以使系統(tǒng)具有很強的抗干擾能力。從式（2.4.1）和式（2.4.2）可知，對于同一個閉環(huán)系統(tǒng)，當輸入的取法不同時，前向通道的傳遞函數(shù)不同，反饋回路的傳遞函數(shù)不同，系統(tǒng)傳遞函數(shù)也不同，但傳遞函數(shù)的分母不變。這說明了系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母確實反映了系統(tǒng)本身的固有特性，這個特性與外界無關。而這一結(jié)論對開環(huán)系統(tǒng)并不適用。相似系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）：能用形式相同的數(shù)學模型來描述的物理系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）稱為相似系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）。相似量：對于相似系統(tǒng)而言，在數(shù)學模型中占有相同位置的物理量稱為相似量。系統(tǒng)傳遞函數(shù)或微分方程等數(shù)學模型表示的是系統(tǒng)的動態(tài)特性，而與系統(tǒng)具體的物理構(gòu)成無關。不同物理構(gòu)成的相似系統(tǒng)可以用相同形式的數(shù)學模型進行表示，它們具有相似的動態(tài)特性。系統(tǒng)的相似性是進行系統(tǒng)模擬或系統(tǒng)仿真的基礎。例題例2.1設有一個倒擺裝在只能沿方向移動的小車上，如圖（例2.1）所示。圖中為小車質(zhì)量，為擺的質(zhì)量，為擺長。當小車受到外力作用，并假設擺的角位移較小時，試求以為輸出、為輸入的系統(tǒng)動力學方程。圖（例2.1）解：當小車在外力作用下產(chǎn)生位移時，擺的角位移為，則擺心的位置是。以整個系統(tǒng)為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律，在水平方向上的動力學方程為：同樣，以擺為研究對象，擺在垂直于擺桿方向上的動力學方程為即：這是一個非線性微分方程組。當較小時，取，并略去的高次項，得如下線性運動微分方程組聯(lián)立求解得：例2.2設無源網(wǎng)絡如圖（例2.2）所示。設該網(wǎng)絡的初始條件為零，試求其傳遞函數(shù)，并說明該網(wǎng)絡是否等效于和兩個網(wǎng)絡的串聯(lián)。圖（例2.2）解：（1）如圖（例2.2），由節(jié)點電流和回路電壓定律可知接下來有兩種解法。方法一、聯(lián)立四個微分方程，并消除中間變量、、得再在零初始條件下對上式兩邊進行Laplace變換得。方法二：分別對上述四式在零初始條件下進行Laplace變換有聯(lián)立并消除中間變量、、得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)還可以采用復阻抗法直接求解。因為所以（2）如果將網(wǎng)絡分割開來，則網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為再將和兩個網(wǎng)絡的串聯(lián)，則其傳遞函數(shù)為由于這種方法將系統(tǒng)分割開來，并未考慮負載效應的影響，因此，和兩個網(wǎng)絡的串聯(lián)不能等效于原系統(tǒng)。例2.3設已知描述某控制系統(tǒng)的運動方程組如下（1）（2）（3）（4）（5）（6）式中，為系統(tǒng)的輸入量；、為系統(tǒng)的擾動量；為系統(tǒng)的輸出量；為中間變量；、、為常值增益；為時間常數(shù)。試繪制該控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖，并由此方框圖求取閉環(huán)傳遞函數(shù)、及。解：（1）繪制系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖分別對上述各式在初始條件為零時取Laplace變換得（7）（8）（9）（10）（11）（12）由式（7）畫出系統(tǒng)輸入、輸出與擾動疊加后與中間變量之間的關系，如圖（例2.3.a）所示。其次，沿中間變量的信號流動方向依式（8）~式（11）通過傳遞函數(shù)方框圖得出它們之間及其與擾動信號之間的關系，如圖（例2.3.b）所示。圖（例2.3.a）圖（例2.3.b）最后，按式（12）得到中間變量信號與被控制量之間的關系，并在圖（例2.3.a）、圖（例2.3.b）基礎上完成主反饋通道的繪制。這樣便得到了系統(tǒng)的完整的傳遞函數(shù)的方框圖。如圖（例2.3.c）所示。圖（例2.3.c）求閉環(huán)傳遞函數(shù)、及。求閉環(huán)傳遞函數(shù)時，需令及，這時，由圖（例2.3.c）得：由于擾