加工生產(chǎn)的穩(wěn)態(tài)模擬問題-張

加工生產(chǎn)穩(wěn)態(tài)模擬問題數(shù)學(xué)建模摘要本文用數(shù)學(xué)建模的方法對(duì)加工生產(chǎn)穩(wěn)態(tài)模擬問題進(jìn)行了深入的分析和研究，兼顧考慮了工人，修理工，以及生產(chǎn)機(jī)床之間的關(guān)系。從而建立了解決生產(chǎn)穩(wěn)態(tài)問題的模型，并優(yōu)化求解。首先我們分析得出，機(jī)床故障的情況符合poisson分布，維修工修理機(jī)床的情況符合[4,10]范圍內(nèi)的均勻分布，整個(gè)系統(tǒng)的客戶源數(shù)量是一定的為54，上述條件為模型建立提供很強(qiáng)的范圍約定。分析可以得出，當(dāng)只考慮生產(chǎn)機(jī)床和維修工人之間的關(guān)系時(shí)，模型的類型是M/G/3//54。但是，考慮到模型本身的可延續(xù)性，可移植性，模型的簡化以及推廣，我們把目標(biāo)模型定為建立M/G/S模型，也就是文中的模型二。而至于所建立的模型一M/M/S/模型，只是為我們建立與求解模型二做前期工作，其結(jié)果并不具備嚴(yán)密的科學(xué)意義。由模型二所求得的結(jié)果，然后依據(jù)生產(chǎn)機(jī)床同工人之間的聯(lián)系，可以對(duì)題目中的問題做出較為科學(xué)合理的解答。且對(duì)生產(chǎn)工人人數(shù)和修理工人人數(shù)變化對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)運(yùn)行情況的影響，給出最優(yōu)的人事安排方案。關(guān)鍵詞：poisson分布M/M/S/模型M/G/S模型問題重述某工廠共有50機(jī)床加工原料，另配有4臺(tái)備用機(jī)床，當(dāng)正在加工的機(jī)床發(fā)生故障時(shí)，立即將備用機(jī)床投入生產(chǎn)過程，而發(fā)生故障的機(jī)床則移至由三名修理工組成的機(jī)修組進(jìn)行修理，假定一臺(tái)機(jī)床只由一名工人操作使用，維修時(shí)也只由一名修理工修理。經(jīng)過實(shí)際調(diào)查，機(jī)床發(fā)生故障的間隔時(shí)間服從均值等于157小時(shí)的指數(shù)分布，一名修理工修理一臺(tái)機(jī)床的時(shí)間服從[4,10]小時(shí)之間的均勻分布。進(jìn)入修理狀態(tài)的機(jī)床修理完成后成為備用機(jī)床待用狀態(tài)。此系統(tǒng)的工作流程如圖所示。50名工人3名修理工50名工人3名修理工修好的機(jī)床返回為符合加工的實(shí)際情況，我們還制定兩條規(guī)則：某機(jī)床發(fā)生故障直接交給修理工修理時(shí)，總是送給休息時(shí)間最久的修理工。某機(jī)床修理完成，若直接交給工人加工時(shí)，總是送給休息時(shí)間最久的工人。管理部門要求了解機(jī)床用于生產(chǎn)的利用率、處于備用狀態(tài)的機(jī)床數(shù)、等待修理的機(jī)床數(shù)以及機(jī)床和修理工忙期的平均值等，以便對(duì)此維修策略進(jìn)行評(píng)價(jià)。對(duì)于這個(gè)穩(wěn)態(tài)模擬問題，我們可考慮該系統(tǒng)運(yùn)行三年（共156周）的情況，并假設(shè)每周工作5天，每天工作8小時(shí)。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模型以分析整個(gè)生產(chǎn)系統(tǒng)的特性（最少有多少臺(tái)機(jī)器同時(shí)在運(yùn)行；最多有多少臺(tái)機(jī)器在等候修理；平均每小時(shí)有多少工人處于工作狀態(tài)；平均每小時(shí)有多少修理工處于工作狀態(tài)；平均每小時(shí)有多少臺(tái)機(jī)器在等待修理；等等。）；進(jìn)一步研究生產(chǎn)工人人數(shù)和修理工人人數(shù)變化對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)運(yùn)行情況的影響，給出最優(yōu)的人事安排方案。2.模型的假設(shè)與符號(hào)說明2.1模型的假設(shè)1、假設(shè)題目提供的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確；2、假設(shè)當(dāng)有等待修理的機(jī)床出現(xiàn)時(shí)，修理工從一臺(tái)機(jī)床轉(zhuǎn)移到另一臺(tái)機(jī)床的時(shí)間間隔忽略；3、假設(shè)當(dāng)一天的工作時(shí)間到達(dá)，但是修理工正在維修的機(jī)床尚未修好時(shí)，修理工停止工作，下一次上班首先修理此機(jī)器；4、假設(shè)當(dāng)需要修理的機(jī)床需要排隊(duì)時(shí)，服從先到先修理的原則；5、假設(shè)所有工人和維修工在上班時(shí)間內(nèi)都到工廠上班或者是在工廠待命；6、假設(shè)當(dāng)有機(jī)床損壞，下面兩個(gè)條件同時(shí)滿足時(shí)，修理工馬上接受修理任務(wù)，否則機(jī)床排隊(duì)等待：在一天上班時(shí)間之內(nèi)；修理工處于空閑狀態(tài)；7、假設(shè)在很短的距離上均勻分布與負(fù)指數(shù)分布的的圖形一樣；8、假設(shè)客戶源對(duì)模型的影響不大。2.2符號(hào)說明…………………單位時(shí)間平均出故障的機(jī)床數(shù)……單位時(shí)間平均每位修理工人修好的機(jī)床數(shù)……………………所有修理工人的工作強(qiáng)度?！骄總€(gè)修理工人的工作強(qiáng)度?！?.等待維修的故障機(jī)床的平均臺(tái)數(shù)。……………機(jī)床故障的平均臺(tái)數(shù)?！?維修機(jī)床的平均數(shù)或正在忙的修理工人數(shù)?！硎九抨?duì)長為n時(shí)平修理工人單位時(shí)間修好的機(jī)床數(shù)。………………表示有n臺(tái)機(jī)床發(fā)生故障的概率?！硎拘蘩砉と说膫€(gè)數(shù)?！幱趽p壞待修狀態(tài)的機(jī)床數(shù)；………處于工作狀態(tài)的工人數(shù)；………………某一時(shí)刻同時(shí)在運(yùn)行的機(jī)器數(shù)；…………………某一時(shí)刻在等候修理的機(jī)器數(shù)…………….維修工人每小時(shí)修理機(jī)床數(shù)的方差…………….維修工人修理機(jī)床所用時(shí)間的期望……………處于維修狀態(tài)的修理工人數(shù)3.問題分析只研究損壞機(jī)床和維修工之間的關(guān)系時(shí)：由于機(jī)床的損壞情況是隨機(jī)的，發(fā)生故障的間隔時(shí)間均值等于157小時(shí)，可認(rèn)為每一臺(tái)機(jī)床都是一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，其損壞狀況與其他機(jī)床無關(guān)，即可認(rèn)為機(jī)床的損壞在一定意義上服從poisson分布。一名修理工修理一臺(tái)機(jī)床的時(shí)間服從[4,10]小時(shí)之間的均勻分布，可認(rèn)為3個(gè)修理工的工作情況在工作時(shí)間內(nèi)是相互獨(dú)立的，每個(gè)修理工修理任何一個(gè)損壞的機(jī)床是隨機(jī)的。尤其在此處，系統(tǒng)的接受修理的機(jī)床為有限的54。所以可以認(rèn)為，本題中由修理工人和機(jī)床所組成的系統(tǒng)符合M/G/3//54模型分布。但是由于考慮到建立此模型需要一步步推導(dǎo)，所以在建模的開始，我們思考著首先建立一個(gè)純粹的M/M/S/模型（模型一），然后依照此模型的推導(dǎo)，結(jié)合目標(biāo)模型的具體特征，優(yōu)化建立一個(gè)M/G/S模型（模型二），并求解得出相關(guān)數(shù)據(jù)。接下來，由于機(jī)床可以分為四部分：正在工作的機(jī)床；損壞，正在維修的機(jī)床；損壞，處于等待維修的機(jī)床；處于備用狀態(tài)的機(jī)床。而工人和機(jī)床之間存在著直接的聯(lián)系，所以，當(dāng)找到機(jī)床的相關(guān)數(shù)據(jù)后，可以利用個(gè)人和機(jī)床之間的關(guān)系得出有關(guān)工人的數(shù)據(jù)。從而，依據(jù)所求得的機(jī)床數(shù)據(jù)和工人數(shù)據(jù)可以求得問題的解答。4.模型的建立與求解4.1模型一M/M/3/4.1.14.1.1.1求解一名修理工修理一臺(tái)機(jī)床的時(shí)間期望一名修理工修理一臺(tái)機(jī)床的時(shí)間服從[4,10]小時(shí)之間的均勻分布，求一名修理工修理一臺(tái)機(jī)床所需時(shí)間的期望：假設(shè)將區(qū)間[4,10]均勻分成等分，使得存在，當(dāng)時(shí)，都有。當(dāng)每一等分所代表的數(shù)值為，一名修理工修理一臺(tái)機(jī)床所需時(shí)間的期望為，則有以下關(guān)系式：（1）求得=7；4.1.1以下的建模都是在此系統(tǒng)穩(wěn)定后的求解：:（2）和（3）記，則當(dāng)時(shí)，（4）（5）及當(dāng)平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)聯(lián)立解得：（6）（7）故（8）其中（9）公式（8）和（9）給出了平衡條件下系統(tǒng)中顧客為的概率，當(dāng)時(shí)，即系統(tǒng)中顧客數(shù)大于或等于服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)，這時(shí)再來的顧客必須等待，一次記為（10）式（10）稱為Erlang等待公式，它給出了顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)需要等待的概率。對(duì)多臺(tái)服務(wù)站等待制度，由已得到的平穩(wěn)分布可得平均堆隊(duì)長為：（11）或（12）記系統(tǒng)中正在接受服務(wù)的顧客的平均數(shù)為，顯然也是正在忙的服務(wù)臺(tái)的平均數(shù)，故（13）式（13）說明平均在忙的服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)不依賴于服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)，則可以得到平均隊(duì)長為：平均隊(duì)長+正在接受服務(wù)的顧客平均數(shù)（14）對(duì)多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)，Little公式依然成立，即有（15）4.1.2模型的求解4.1.2.1數(shù)學(xué)方式求解由題目分析得：；由多服務(wù)臺(tái)等待制度的有關(guān)公式可得：所有修理工都處于休息狀態(tài)的概率（2）機(jī)床發(fā)生故障后的平均排隊(duì)等候修理長為：（3）機(jī)床發(fā)生故障后的平均隊(duì)長為：（4）每臺(tái)損壞的機(jī)床平均等待時(shí)間為：（5）每臺(tái)損壞的機(jī)床平均逗留時(shí)間為：（6）機(jī)床發(fā)生故障時(shí)必須排隊(duì)等待修理的概率4.1.2.2使用軟件實(shí)現(xiàn)模擬使用Lingo編譯程序（附錄1）得一下結(jié)果：項(xiàng)目內(nèi)容項(xiàng)目符號(hào)M/M/3/54服務(wù)臺(tái)數(shù)目，即此處的維修工人數(shù)S3.00平均每小時(shí)損壞的機(jī)床數(shù)目LAMDA0.32平均每人每小時(shí)修理的機(jī)床數(shù)MU0.14初步處理的數(shù)據(jù)RHO2.23修理工繁忙的概率RHO_S0.74修理工空閑的概率P07.75E-02機(jī)床必須等待修理的概率P_WAIT0.56平均排隊(duì)等候修理的機(jī)床數(shù)量L_Q1.61平均需要修理的機(jī)床數(shù)量L_S3.84每臺(tái)損壞機(jī)床平均需要等待開始修理的時(shí)間W_Q5.06損壞的機(jī)床平均需要逗留的時(shí)間W_S12.06求解結(jié)果見附錄24.1.2使用lingo編譯程序（附錄3），求解得到表：同時(shí)損壞機(jī)床數(shù)i同時(shí)損壞機(jī)床數(shù)i同時(shí)損壞機(jī)床數(shù)i17.15E-02201.54E-02393.33E-0326.60E-02211.42E-02403.08E-0336.08E-02221.31E-02412.84E-0345.61E-02231.21E-02422.62E-0355.18E-02241.12E-02432.41E-0364.78E-02251.03E-02442.23E-0374.41E-02269.51E-03452.05E-0384.06E-02278.78E-03461.90E-0393.75E-02288.10E-03471.75E-03103.46E-02297.47E-03481.61E-03113.19E-02306.89E-03491.49E-03122.94E-02316.36E-03501.37E-03132.72E-02325.86E-03511.27E-03142.51E-02335.41E-03521.17E-03152.31E-02344.99E-03531.08E-03162.13E-02354.60E-03549.94E-04171.97E-02364.25E-03181.81E-02373.92E-03191.67E-02383.61E-03依據(jù)上表，求解得到機(jī)床損壞數(shù)目的期望:0.0715+0.066*2+0.0608*3+0.0561*4+…+0.000994*5411.1平均每小時(shí)有多少臺(tái)機(jī)器在等待修理5.61*1+5.18*2+4.78*3+4.41*4+…+0.0994*518.64.1.2.4同時(shí)正在運(yùn)行的機(jī)床數(shù)的求解同時(shí)在運(yùn)行的機(jī)床數(shù)，與在等候修理的機(jī)器數(shù)之間的滿足以下關(guān)系：則，根據(jù)已經(jīng)求解建立的同一時(shí)間段，損壞不同數(shù)量的機(jī)床概率表，可以求解得出同時(shí)正在運(yùn)行的機(jī)床數(shù)，列表如下：同時(shí)工作機(jī)床數(shù)j同時(shí)工作機(jī)床數(shù)j同時(shí)工作機(jī)床數(shù)j11.08E-03204.99E-03392.31E-0221.17E-03215.41E-03402.51E-0231.27E-03225.86E-03412.72E-0241.37E-03236.36E-03422.94E-0251.49E-03246.89E-03433.19E-0261.61E-03257.47E-03443.46E-0271.75E-03268.10E-03453.75E-0281.90E-03278.78E-03464.06E-0292.05E-03289.51E-03474.41E-02102.23E-03291.03E-02484.78E-02112.41E-03301.12E-02495.18E-02122.62E-03311.21E-02502.484E-01132.84E-03321.31E-02143.08E-03331.42E-02153.33E-03341.54E-02163.61E-03351.67E-02173.92E-03361.81E-02184.25E-03371.97E-02194.60E-03382.13E-02依據(jù)上表，求解正在運(yùn)行的機(jī)床期望0.00108+0.00117*2+0.00127*3+…+0.3374*5041.8此數(shù)值即為平均每小時(shí)有處于工作狀態(tài)的工人數(shù)值。4.1.2.5平均每小時(shí)有多少修理工處于工作狀態(tài)4.2模型二4.2.1模型的建立根據(jù)題意分析得出，此題的模型實(shí)際上為M/G/3/50/50，但是考慮到實(shí)際情況可以將模型簡化成M/G/S的模型，其建M/G/S：4.2.1.1修理工人修理機(jī)床的時(shí)間期望和方差求解由于修理工人修理機(jī)床的時(shí)間服從［4，10］的均勻分布，均勻分布的期望和方差計(jì)算如下：期望：方差：4.2.1.2M/G/S根據(jù)題意，模型實(shí)際為M/G/3/50/50,但是由于考慮到此模型實(shí)際的可操作性，所以我們將模型簡化成M/G/S的模型。記，則當(dāng)時(shí)，根據(jù)波克切克-欣欽公式得當(dāng)模型為M/G/1時(shí)又因?yàn)槟Ｐ褪荕/G/S，根據(jù)推導(dǎo)得考慮到模型M/G/1與模型M/G/S的關(guān)系，由模型M/G/1推出模型M/G/S，具體因?yàn)橐粋€(gè)圖形在一個(gè)小范圍內(nèi)，負(fù)指數(shù)分布與均勻分布沒有太大的差別，這樣求時(shí)就可以運(yùn)用M/M/S的模型求去。然后運(yùn)用生滅過程排隊(duì)模型求出，…001n-1nn+1...因?yàn)榕c得關(guān)系具體推到就是，因?yàn)閮蓚€(gè)模型的關(guān)系我們可以看成一個(gè)修理工人與S個(gè)修理工人的關(guān)系，當(dāng)只有一個(gè)修理工人時(shí)，當(dāng)來的臺(tái)數(shù)超過一臺(tái)時(shí)就要有機(jī)床排隊(duì)等候維修，爾當(dāng)有S個(gè)修理工人時(shí)，當(dāng)臺(tái)數(shù)超過S臺(tái)時(shí)，才有機(jī)床排隊(duì)等候維修，所以我們只要求出一個(gè)修理工人時(shí)排隊(duì)在減去當(dāng)臺(tái)數(shù)少于S臺(tái)時(shí)的概率乘以S，就能求去S臺(tái)時(shí)排隊(duì)而沒有接受維修的排隊(duì)的對(duì)長。4.2.1.3模型求解求得：即有1臺(tái)機(jī)床發(fā)生故障的概率為0.1550；即有2臺(tái)機(jī)床發(fā)生故障的概率為0.1550；即有3臺(tái)機(jī)床發(fā)生故障的概率為0.1033；即等待維修的故障機(jī)床的平均臺(tái)數(shù)為4.5臺(tái)；即機(jī)床故障的平均臺(tái)數(shù)為6.8臺(tái)；最少有多少臺(tái)機(jī)器同時(shí)在運(yùn)行；最多有多少臺(tái)機(jī)器在等候修理；平均每小時(shí)處于工作狀態(tài)工人數(shù)為:人平均每小時(shí)有多少修理工處于工作狀態(tài)；平均每小時(shí)有多少臺(tái)機(jī)器在等待修理:臺(tái)4.2.1.4提出人事安排方案根據(jù)可知機(jī)床故障的平均臺(tái)數(shù)為6.8223，又因?yàn)槟Ｐ椭惺÷钥蛻粼吹膯栴}那么故障臺(tái)數(shù)稍微偏大，所以故障的平均臺(tái)數(shù)約為6臺(tái)。即平均只有48位工人在工作，所以方法一，只雇傭48位工人工作，維修人員不變。方法二，多雇傭一名維修人員，工人不變。5、模型評(píng)價(jià)對(duì)于建立的模型一，使用多服務(wù)臺(tái)模型，此模型能夠在一定程度上反映出損壞的機(jī)床和維修工人之間的關(guān)系，求出相關(guān)的數(shù)據(jù)。但是存在著很大的缺陷，比如M/M/3/所考慮的范圍是無限客戶源，但本題的客戶數(shù)量直觀體現(xiàn)卻是有限的；再者，此模型所考慮的服務(wù)臺(tái)服務(wù)率是服從指數(shù)分布，但是本題中的維修工人的服務(wù)率服從的是均勻分布等。正是這些因素的影響，使得使用此方法得到的結(jié)果不準(zhǔn)確。，因此才有了我們模型二。關(guān)于模型二，我們所考慮到的是模型的合理性，以及必要的推廣性。建立M/G/S模型是相對(duì)較合理的。同模型一相比較，模型二突出的特點(diǎn)有一下幾方面：首先M/G/S模型宏觀體現(xiàn)了題目的真正內(nèi)容；其次所建立的模型使得維修人員不再局限于分散的考慮，而又加入一定的集體考慮，集體考慮的部分不會(huì)影響最終的結(jié)果；最后，模型具有較好的推廣性，即當(dāng)S發(fā)生變化，或者是G變化時(shí)，依舊可以沿用。模型缺點(diǎn)：推敲本題的得出的最恰當(dāng)模型建立應(yīng)該是M/G/3//54，所以，盡管模型已經(jīng)得到一定的優(yōu)化，但是還并不是最優(yōu)化的模型求解；同時(shí)對(duì)于模型二而言，缺乏計(jì)算機(jī)全程模擬，增大了計(jì)算難度以及過程分析。參考文獻(xiàn):韓旭里，謝永欽.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第二版），復(fù)旦大學(xué)出版社，2009.5.薛毅，耿美英，運(yùn)籌學(xué)與實(shí)驗(yàn)，北京：電子工業(yè)出版社，2008.9.Lingo教學(xué)課件（清華大學(xué)版）.2008姜啟源，《數(shù)學(xué)模型》.高等教育出版社，2003附錄：附錄1：model:s=3;lamda=50/157;mu=1/7;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;P_wait=@peb(rho,s);p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);L_s=L_q+rho;W_q=L_q/lamda;W_s=L_s/lamda;End附錄2：附錄3：model:s=3;lamda=50/157;mu=1/7;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;P_wait=@peb(rho,s);p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);L_s=L_q+rho;W_q=L_q/lamda;W_s=L_s/lamda;p1=(1-p0)*p0;p2=(1-p0)^2*p0;p3=(1-p0)^3*p0;p4=(1-p0)^4*p0;p5=(1-p0)^5*p0;