當(dāng)代物理學(xué)發(fā)展報(bào)告-非線性物理學(xué)與復(fù)雜性研究

當(dāng)代物理學(xué)發(fā)展報(bào)告——非線性物理學(xué)與復(fù)雜性研究六、非線性物理學(xué)與復(fù)雜性研究A、線性科學(xué)向非線性科學(xué)的轉(zhuǎn)變線性是指量與量之間的正比關(guān)系；在直角坐標(biāo)系里，這是用一根直線表征的關(guān)系。近代自然科學(xué)正是從研究線性系統(tǒng)這種簡(jiǎn)單對(duì)象開(kāi)始的。由于人的認(rèn)識(shí)的發(fā)展總是從簡(jiǎn)單事物開(kāi)始的，所以在科學(xué)發(fā)展的早期，首先從線性關(guān)系來(lái)認(rèn)識(shí)自然事物，較多地研究了事物間的線性相互作用，這是很自然的。因而在經(jīng)典物理學(xué)中，首先考察的是沒(méi)有摩擦的理想擺，沒(méi)有粘滯性的理想流體，溫度梯度很小的熱流等；數(shù)學(xué)家們首先研究的是線性函數(shù)、線性方程等。理論家們?cè)趯?duì)大自然中的許多現(xiàn)象進(jìn)行探索時(shí)，總是力求在忽略非線性因素的前提下建立起線性模型，至少是力求對(duì)非線性模型做線性化處理，用線性模型近似或局部地代替非線性原型，或者借助于對(duì)線性過(guò)程的微小擾動(dòng)來(lái)討論非線性效應(yīng)。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的發(fā)展，在經(jīng)典科學(xué)中就鑄造出一套處理線性問(wèn)題的行之有效的方法，例如傅立葉變換、拉普拉斯變換、傳遞函數(shù)、回歸技術(shù)等；就是設(shè)計(jì)物理實(shí)驗(yàn)，也主要是做那些可以做線性分析的實(shí)驗(yàn)。從這個(gè)特點(diǎn)看來(lái)，經(jīng)典科學(xué)實(shí)質(zhì)上是線性科學(xué)。線性科學(xué)在理論研究和實(shí)際應(yīng)用上都有十分光輝的進(jìn)展，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域，對(duì)線性系統(tǒng)的研究都取得了很大的成績(jī)。線性科學(xué)的長(zhǎng)期發(fā)展，也形成了一種扭曲的認(rèn)識(shí)或“科學(xué)思想”，認(rèn)為線性系統(tǒng)才是客觀世界中的常規(guī)現(xiàn)象和本質(zhì)特征，才有普遍規(guī)律，才能建立一般原理和普適方法；而非線性系統(tǒng)只是例外的病態(tài)現(xiàn)象和非本質(zhì)特征，沒(méi)有普遍的規(guī)律，只能作為對(duì)線性系統(tǒng)的擾動(dòng)或采取特殊的方法做個(gè)別處理。由此得出結(jié)論說(shuō)，線性系統(tǒng)才是科學(xué)探索的基本對(duì)象，線性問(wèn)題才存在理論體系；所以經(jīng)典科學(xué)的長(zhǎng)期發(fā)展，都是封閉在線性現(xiàn)象的圈子里進(jìn)行的。線性與非線性物理現(xiàn)象有著質(zhì)的差異和不同的特征。從結(jié)構(gòu)上看，線性系統(tǒng)的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個(gè)因素對(duì)系統(tǒng)聯(lián)合作用的總效應(yīng)，等于各個(gè)因素單獨(dú)作用效應(yīng)的加和；因而描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來(lái)仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數(shù)學(xué)操作，都是處理線性問(wèn)題的有效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運(yùn)動(dòng)形式上看，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時(shí)空中的平滑運(yùn)動(dòng)，可以用性能良好的函數(shù)表示，是連續(xù)的，可微的。而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運(yùn)動(dòng)向不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。從系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)和參量變化的響應(yīng)來(lái)看，線性系統(tǒng)的響應(yīng)是平緩光滑的，成比例變化；而非線性系統(tǒng)在一些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，參量的微小變化往往導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)形式質(zhì)的變化，出現(xiàn)與外界激勵(lì)有本質(zhì)區(qū)別的行為，發(fā)生空間規(guī)整性有序結(jié)構(gòu)的形成和維持。正是非線性作用，才形成了物質(zhì)世界的無(wú)限多樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復(fù)雜性、多變性和演化性。在科學(xué)還處在主要以簡(jiǎn)單關(guān)系為研究對(duì)象的階段，線性方法曾經(jīng)是十分有效的。線性關(guān)系容易思考，容易解決，可以把它一塊塊地分割開(kāi)進(jìn)行考察，然后再一塊塊地拼合起來(lái)。所以線性關(guān)系讓人喜愛(ài)。而非線性問(wèn)題、非線性方程往往是桀驁不馴、個(gè)性很強(qiáng)的，很難找到普遍的解決方法，只能對(duì)具體問(wèn)題做具體分析，針對(duì)個(gè)別問(wèn)題的特點(diǎn)采取特殊的處理方法。所以歷史上雖然有過(guò)一些解非線性方程的巧妙方法，但與大量存在的非線性問(wèn)題相比，只算是鳳毛麟角；甚至人們一遇到非線性系統(tǒng)或發(fā)現(xiàn)方程中的非線性項(xiàng)時(shí)，就想盡辦法回避，或加以舍棄，使之“線性化”。流體動(dòng)力學(xué)中描述粘性不可壓縮流體動(dòng)量守恒的運(yùn)動(dòng)方程、即著名的“納維-斯托克斯方程”，把流體的速度、壓力、密度和粘滯性全部聯(lián)系起來(lái)，概括了流體運(yùn)動(dòng)的全部規(guī)律；只是由于它比歐拉方程多了一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，因而是非線性的，除了在一些特殊條件下的情況外，很難求出方程的精確解。分析這個(gè)方程的性態(tài)，“仿佛是在迷宮里行走，而迷宮墻的隔板隨你每走一步而更換位置”。計(jì)算機(jī)之父馮·諾意曼（Neumann，Johavon1903～1957）說(shuō)：“這些方程的特性……在所有有關(guān)的方面同時(shí)變化，既改變它的次，又改變它的階。因此數(shù)學(xué)上的艱辛可想而知了。”①所以，非線性系統(tǒng)長(zhǎng)期以來(lái)被冷落在科研領(lǐng)域的視野以外。當(dāng)遇到非線性系統(tǒng)時(shí)，科學(xué)家們就代之以線性近似。甚至在教科書中，也充滿了線性分析成功的內(nèi)容，“非線性”一詞大都只在書末一帶而過(guò)地提一下。除了幾個(gè)可解的非線性范例之外，那里講的不過(guò)是如何把一些非線性方程約化成線性方程。這種訓(xùn)練的結(jié)果，把人們的思想禁錮在線性的陷阱里，致使到了20世紀(jì)40年代和50年代，許多科學(xué)家和工程師除此之外竟一無(wú)所知。一位著名的工程師甚至說(shuō)過(guò)：“上帝不會(huì)不仁得使自然界的方程成為非線性的”。伊恩·斯圖爾特感嘆地說(shuō)：“如果你斷定，只有線性方程才值得研究，那無(wú)異于自我禁錮。你的課本充滿了線性分析的成功，它的失敗埋藏得如此之深，以致連墳?zāi)苟伎床灰?jiàn)，墳?zāi)沟拇嬖谝矝](méi)人注意。如同18世紀(jì)篤信鐘表世界一樣，20世紀(jì)中葉則恪守線性世界?！雹僖炼鳌に苟鳡柼胤浅Ｔ溨C地揶揄說(shuō)：“稱一般微分方程為‘非線性’方程，好比把動(dòng)物學(xué)叫做‘非象類動(dòng)物學(xué)’。但是你明白，我們生活在這樣一個(gè)世界里，多少世紀(jì)以來(lái)它以為現(xiàn)存的唯一動(dòng)物就是大象，它設(shè)想壁腳板上的洞是幼象鑿的，它把翱翔的雄鷹當(dāng)作耳朵變翼的呆寶②，把猛虎當(dāng)做身披花紋的短鼻子大象。它的分類學(xué)家們則施行矯正手術(shù)，使得博物館的動(dòng)物標(biāo)本清一色地由笨重的灰色象類動(dòng)物組成。‘非線性’就是如此。”③到20世紀(jì)60年代以后，情況才有了改變。由于電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用和由此發(fā)展起來(lái)的“計(jì)算物理”和“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”的方法的利用，人們從研究可積系統(tǒng)的無(wú)窮多自由度的非線性偏微分方程中，在淺水波方程中發(fā)現(xiàn)了“孤子”，并得出了一套一些類型非線性方程的解法；從一些看起來(lái)不甚復(fù)雜的不可積系統(tǒng)的研究中，發(fā)現(xiàn)了確定性動(dòng)力系統(tǒng)中存在著對(duì)初值極為敏感的混沌運(yùn)動(dòng)。人們?cè)絹?lái)越明白地認(rèn)識(shí)到，“大自然無(wú)情地是非線性的?！痹诂F(xiàn)實(shí)世界中，能解的、有序的線性系統(tǒng)才是少見(jiàn)的例外，非線性才是大自然的普遍特性；線性系統(tǒng)其實(shí)只是對(duì)少數(shù)簡(jiǎn)單非線性系統(tǒng)的一種理論近似，非線性才是世界的魂魄。恩里科·費(fèi)米（Fermi，Enrico1901～1954）說(shuō)：“圣經(jīng)中并沒(méi)有說(shuō)過(guò)一切大自然的定律都可以用線性方式來(lái)表示”。④而且正是非線性才造成了現(xiàn)實(shí)世界的無(wú)限多樣性、曲折性、突變性和演化性。這樣，就逐漸形成了貫穿物理學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、生命科學(xué)、空間科學(xué)、氣象科學(xué)、環(huán)境科學(xué)等廣泛領(lǐng)域，揭示非線性系統(tǒng)的共性，探討復(fù)雜性現(xiàn)象的新的科學(xué)領(lǐng)域“非線性科學(xué)”。生態(tài)學(xué)和混沌學(xué)家羅伯特·梅（Robert，May）認(rèn)為，目前全世界標(biāo)準(zhǔn)的科學(xué)教育，向人們灌輸?shù)氖顷P(guān)于世界圖景的偏見(jiàn)和歪曲的印象。不管線性的數(shù)學(xué)獲得了多大的成功，都只能給學(xué)生一個(gè)關(guān)于實(shí)際大自然的普遍存在的非線性事實(shí)的失真形象。“如果像這樣發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)直覺(jué)，會(huì)使學(xué)生即使看到離散非線性系統(tǒng)里最簡(jiǎn)單的古怪行為也會(huì)手足失措”。所以他向一切有文化的人呼吁，不僅在研究工作中，而且在日常生活中，包括政治、經(jīng)濟(jì)生活中，“如果更多的人了解到這最簡(jiǎn)單的非線性系統(tǒng)也未必有簡(jiǎn)單的動(dòng)力性質(zhì)，會(huì)大有裨益?！雹偃绻茉缛障蛑袑W(xué)生們講一些非線性知識(shí)，那將使一切變得更好。B、復(fù)雜世界中的規(guī)整性的發(fā)現(xiàn)1．孤波和孤子的發(fā)現(xiàn)水面受到激擾后會(huì)出現(xiàn)四散的水波，但波紋很快就會(huì)消失，不可能傳到很遠(yuǎn)的地方。但在1834年8月，英國(guó)科學(xué)家、造船工程師約翰·羅素（Russell，JohnScott1808～1882）卻觀察到一個(gè)奇怪的現(xiàn)象。他在勘察愛(ài)丁堡到格拉斯哥的運(yùn)河河道時(shí)，看到一只運(yùn)行的木船搖蕩的船頭擠出高約0.3米到0.5米、長(zhǎng)約10米的一堆水來(lái)；當(dāng)船突然停下時(shí)，這堆水竟保持著它的形狀，以每小時(shí)大約13千米的速度往前傳播。10年后，在英國(guó)科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)第14屆會(huì)議上，他發(fā)表了一篇題為《論水波》①的論文，生動(dòng)地描述了這個(gè)現(xiàn)象：1834年秋，我看到兩匹駿馬正沿運(yùn)河拉著一只船迅速前進(jìn)。突然，船停了下來(lái)，然而被船所推動(dòng)的一大團(tuán)水卻不停止。它們堆積在船頭周圍激烈地?cái)_動(dòng)著，隨后形成一個(gè)滾圓、光滑又輪廓分明的大水包，其高度約有1～1.5英尺，長(zhǎng)約30英尺，以每小時(shí)大約8～9英里的速度，沿著水面向前滾動(dòng)。我騎在馬上一直跟隨著它，發(fā)現(xiàn)它的大小、形狀和速度變化很緩慢，直到1～2英里后，它才在蜿蜒的河道上消失。羅素認(rèn)識(shí)到，這決不是普通的水波。因?yàn)槠胀ǖ乃ㄊ怯伤娴恼駝?dòng)形成的，水波的一半高于水面，一半低于水面，而且在擴(kuò)展一小段距離后即行消失；而他所看到的這個(gè)水團(tuán)，卻具有光滑規(guī)整的形狀，完全在水面上移動(dòng)，衰減得也很緩慢。他把這團(tuán)奇特的運(yùn)動(dòng)著的水堆稱為“孤立波”或“孤波”。羅素還仿照運(yùn)河的狀況建造了一個(gè)狹長(zhǎng)的大水槽，模擬當(dāng)時(shí)的條件給水以適當(dāng)?shù)耐苿?dòng)，果然從實(shí)驗(yàn)上再現(xiàn)了在運(yùn)河上觀察到的孤波。他認(rèn)為這應(yīng)當(dāng)是流體力學(xué)方程的一個(gè)解。他批評(píng)數(shù)學(xué)家們未能從流體力學(xué)基本規(guī)律預(yù)言孤波的存在。他的這些觀點(diǎn)在科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)會(huì)議上報(bào)告后，未能說(shuō)服他的同事們，爭(zhēng)論一直持續(xù)了幾十年。1895年，兩位年輕的荷蘭數(shù)學(xué)家科特維格（Korteweg，D.J.）和德弗里斯（devries，G.）在研究淺水中小振幅長(zhǎng)波運(yùn)動(dòng)時(shí)，考慮到可把水簡(jiǎn)化為彈性體，具有彈性特征之外，還注意到水具有非線性特征與色散作用，這些次要特性在一定條件下會(huì)形成相干結(jié)構(gòu)。他們由此導(dǎo)出了單向運(yùn)動(dòng)淺水波Kdv方程②，由方程得出的波的表面形狀與孤波的表面形狀十分相似，從而給出了一個(gè)類似于羅素孤波的解析解，孤波的存在才得到了公認(rèn)。此后這件事又被漸漸淡忘了。20世紀(jì)60年代，電子計(jì)算機(jī)被廣泛應(yīng)用之后，孤波才被重新記起并被命名為“孤立子”或“孤子”。電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，使得科學(xué)家們敢于去探索過(guò)去用解析方法難以處理的復(fù)雜問(wèn)題。首先進(jìn)行這方面探索的是物理學(xué)家費(fèi)米和他的兩個(gè)同事。他們于1952年開(kāi)始利用當(dāng)時(shí)美國(guó)用于設(shè)計(jì)氫彈的Maniac計(jì)算機(jī)，對(duì)由64個(gè)諧振子組成、振子間存在微弱非線性相互作用的系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算，試圖證明統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的“能量均分定理”。但1955年完成的研究結(jié)果表明，開(kāi)始時(shí)集中在某一振子上的能量，隨著時(shí)間的進(jìn)展并不均勻地分配到其它振子上，而是每經(jīng)過(guò)一段“復(fù)歸時(shí)間”后，能量又回到原來(lái)的振子上，這就是奇異的“復(fù)歸”現(xiàn)象。這個(gè)現(xiàn)象引起了一批科學(xué)家的興趣。當(dāng)時(shí)由于空間物理學(xué)和受控?zé)岷思夹g(shù)研究的發(fā)展，促使了人們對(duì)等離子體物理特性的研究。這涉及到等離子體中波的問(wèn)題，推進(jìn)了求解非線性方程孤波解的研究。丕林、斯克姆等人經(jīng)過(guò)一系列近似處理，發(fā)現(xiàn)費(fèi)米等人的諧振子系統(tǒng)可以看做是Kdv方程的極限情況，可以用這個(gè)方程的孤波解來(lái)解釋初始能量的“復(fù)歸”現(xiàn)象。1965年，美國(guó)科學(xué)家扎布斯基（Zabusky，N.）和克魯斯卡爾（Kruskal，M.D.）等在電子計(jì)算機(jī)做數(shù)值試驗(yàn)后意外地發(fā)現(xiàn)，以不同速度運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、動(dòng)量的集中形態(tài)，其波形和速度具有極大的穩(wěn)定性，就像彈性粒子的碰撞過(guò)程一樣，所以完全可以把孤波當(dāng)作剛性粒子看待。于是他們將這種具有粒子性的孤波，即非線性方程的孤波解稱為“孤子”①。1965年以后，人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，除水波外，其它一些物質(zhì)中也會(huì)出現(xiàn)孤波。在固體物理、等離子體物理、光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，都發(fā)現(xiàn)了孤子。并且發(fā)現(xiàn)，除Kdv方程外，其它一些非線性方程，如正弦-戈登方程、非線性薛定諤方程等，也有孤子解。1967年，美國(guó)的一個(gè)研究小組GGKM在解Kdv方程時(shí)，首次發(fā)明了著名的解析方法——“逆散射變換”，并得出了Kdv方程N(yùn)個(gè)孤波相互作用的精確解①。這個(gè)方法經(jīng)拉克斯（Lax，P.D.）②和AKNS等人推廣到一大批非線性演化方程中去，完善為一個(gè)較普遍的解析方法，大大推進(jìn)了孤子的研究。③。上述這些研究成果，已經(jīng)開(kāi)始推向?qū)嶋H應(yīng)用。例如在光纖通訊中，由于色散變形，傳輸信息的低強(qiáng)度光脈沖，不僅傳輸?shù)男畔⒘啃。|(zhì)量差，而且每經(jīng)一段傳輸距離后，都要做波形整復(fù)。70年代從理論上發(fā)現(xiàn)的“光學(xué)孤子”，由于在傳輸中具有波形不損失，不改變速度等特性，為消除前述缺點(diǎn)找到了有效的方法。物理學(xué)中的一些基本方程，如規(guī)范場(chǎng)論中的自對(duì)偶楊-米爾斯方程，引力場(chǎng)理論中的軸對(duì)稱穩(wěn)態(tài)愛(ài)因斯坦方程，以及一系列在流體力學(xué)、非線性光學(xué)、等離子物體中有重要應(yīng)用的方程，都已應(yīng)用孤子理論中的方法得到了許多有趣的精確解。另外，由于孤子同時(shí)具有波和粒子兩重性質(zhì)，引起了理論物理學(xué)家們的極大關(guān)注。他們嘗試用它來(lái)描述基本粒子。但在應(yīng)用中，上述的孤子定義有所擴(kuò)展。但到目前為止，還有很多理論上的困難未能解決。2．復(fù)雜系統(tǒng)相干結(jié)構(gòu)的研究自然界存在著大量復(fù)雜系統(tǒng)。如由大量原子結(jié)合成的固體，奔騰的河流，湍動(dòng)的大氣，大小不一的渦旋等。這些系統(tǒng)除了具有變化不定的運(yùn)動(dòng)形態(tài)外，還具有空間上局域、時(shí)間上長(zhǎng)壽的規(guī)整結(jié)構(gòu)。這就是由于系統(tǒng)中存在的色散與非線性兩種作用相互平衡而形成的“相干結(jié)構(gòu)”。孤子就是一種特殊的一維相干結(jié)構(gòu)。相干結(jié)構(gòu)存在于用連續(xù)介質(zhì)或流體力學(xué)方程描述的具有無(wú)窮多自由度的復(fù)雜系統(tǒng)中。相干結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與非線性系統(tǒng)具有無(wú)窮多守恒律密切相關(guān)。很多具有孤子解的非線性演化方程，就有無(wú)窮多個(gè)守恒律，因而也有無(wú)窮多個(gè)守恒的物理量。對(duì)相干結(jié)構(gòu)的形成機(jī)制和相互作用的探索，是非線性科學(xué)研究的前沿。除孤子之外，各種尺度的渦旋是自然界一大類相干結(jié)構(gòu)。大者如直徑達(dá)四萬(wàn)千米的木星大紅斑，小者如晶體中只有幾納米大小的電荷密度波，都是渦旋現(xiàn)象。通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)，對(duì)木星大紅斑的形成機(jī)理的研究，已取得了重大進(jìn)展。天文學(xué)上觀察到木星的大紅斑，是在伽利略用他的望遠(yuǎn)鏡觀察木星之后不久的事情。羅伯特·胡克（Hooke，Robert1635～1703）也觀察過(guò)它。這個(gè)大紅斑還被畫在梵蒂岡的畫廊里。它是一個(gè)巨大的、渦旋狀的卵圓形，就像一個(gè)不運(yùn)動(dòng)、不消退的巨形風(fēng)暴一直處在木星上。長(zhǎng)期以來(lái)，它引起了人們的各種猜測(cè)。19世紀(jì)末期，天文學(xué)家們認(rèn)為木星紅斑是由火山熔巖形成的一個(gè)卵圓形的熔巖湖；也許是一顆小星體撞擊木星簿殼造成的一個(gè)大洞。一位德國(guó)科學(xué)家認(rèn)為紅斑是木星表面正在分化出的一個(gè)衛(wèi)星的雛型。后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)，紅斑在木星表面上有些浮動(dòng)，所以在1959年有人提出，紅斑是一個(gè)漂浮在木星外大氣中的一個(gè)實(shí)體，就如一枚蛋浮在水中一樣。有人認(rèn)為這可能是一個(gè)很大的氫或氦的氣泡。但是，由于紅斑的漂移距離很小，所以60年代科學(xué)家們又提出它是巨大火山口上形成的氣柱的頂端。1978年，宇宙飛船旅行者二號(hào)在太空中拍到的照片顯示，木星并不是一個(gè)固態(tài)的星球，而是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的流體，表面是沸騰的湍流，有東西向的水平帶。木星大紅斑是一個(gè)巨大旋流中的颶風(fēng)系統(tǒng)，旋動(dòng)在流體木星的上空。它把木星上空的云層推向外邊，嵌入在東西風(fēng)帶之內(nèi)，形成了這行星上一條水平的帶狀構(gòu)造。照片顯示，紅斑中存在著大量小尺度的、非組織性的迅速流動(dòng)，在一天或不到一天的時(shí)間內(nèi)，渦流出現(xiàn)又消失，但大紅斑依然存在，而且長(zhǎng)期不變。這真是一個(gè)宇宙奇跡。80年代初期，美國(guó)年青的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家菲利浦·馬爾卡斯（Marcus，Philip），根據(jù)致密的氫或氦的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立了一組模擬木星氣候的流體力學(xué)方程組，并編制了計(jì)算機(jī)程序，試圖揭示大紅斑的秘密。木星的自轉(zhuǎn)很快，大約每10小時(shí)自轉(zhuǎn)一周。這種自旋使其上的一切物體都受到科里奧利力的作用，這個(gè)力正比于運(yùn)動(dòng)物體的速率，垂直于物體運(yùn)動(dòng)的方向，正是這個(gè)力驅(qū)動(dòng)了紅斑。馬爾卡斯用藍(lán)色表示順時(shí)針?lè)较蛄黧w的轉(zhuǎn)動(dòng)，用紅色表示逆時(shí)針?lè)较蛄黧w的轉(zhuǎn)動(dòng)，中間夾雜有黃色，用計(jì)算機(jī)繪制美麗的色彩圖象。意想不到的事情發(fā)生了，不論從哪一種構(gòu)型開(kāi)始，由不同顏色間雜組成的棋盤式的花樣，在旋轉(zhuǎn)之后藍(lán)色塊都要分解成碎片，紅色塊則越聚越攏，最后匯成一個(gè)其中包含著大量小尺度混沌流的卵圓形大紅斑，在四周混亂的湍流海洋背景中穩(wěn)定而相容地存在著。這就是大尺度的紅斑！馬爾卡斯得出結(jié)論說(shuō)：大紅斑是一個(gè)非線性作用的產(chǎn)物；一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)既可以造成湍流，同時(shí)也可以相互協(xié)調(diào)形成一種空間上局域、時(shí)間上長(zhǎng)壽、相對(duì)穩(wěn)定的相干結(jié)構(gòu)。C、確定性系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象的研究1．古代“渾沌”思想和牛頓的決定論不論中國(guó)還是西方，“混沌”（chaos，又稱“渾沌”）概念古已有之。面對(duì)浩瀚無(wú)垠的宇宙和繁紛多變的自然現(xiàn)象，古人只能憑借直覺(jué)對(duì)它進(jìn)行模糊、整體的想象和猜測(cè)，逐步產(chǎn)生了混沌的概念。中國(guó)古代所說(shuō)的“混沌”，一般是指天地合一、陰陽(yáng)未分、氤氳渺蒙、萬(wàn)物相混的那種整體狀態(tài)。它既含有錯(cuò)綜復(fù)雜、混亂無(wú)序、模糊不清的意思，又有內(nèi)在地蘊(yùn)涵著同一和差異、規(guī)則和雜亂、通過(guò)演化從“元?dú)馕捶帧钡臓顟B(tài)產(chǎn)生出五光十色、多姿多彩的現(xiàn)實(shí)世界的豐富內(nèi)涵?！独献印分兴f(shuō)“有物混成，先天地生”，其實(shí)就是混沌。漢代王充的《論衡·談天篇》說(shuō)：“元?dú)馕捶?，渾沌為一”；漢代《易緯·乾鑿度》云：“混沌者，言萬(wàn)物相混成而未相離”；又云：“太易者，未見(jiàn)氣也；太初者，氣之始也；太始者，形之始也；太素者，質(zhì)之始也；氣、形、質(zhì)具而未相離，謂之混沌”。這些論述都強(qiáng)調(diào)了混沌是宇宙初始物質(zhì)未被分化的一種無(wú)序的元?dú)饨y(tǒng)一體。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的偉大詩(shī)人屈原在他的《天問(wèn)》中精彩地描繪了這種混沌狀態(tài)：曰遂古之初，誰(shuí)傳道之？上下未形，何由考之？冥昭瞢暗，誰(shuí)能極之？馮翼惟象，何以識(shí)之？明明暗暗，惟時(shí)何功？陰陽(yáng)三合，何本何化？……這也把宇宙的初始狀態(tài)描繪為天地未形、渾渾沌沌、動(dòng)蕩不定、明暗不分、陰陽(yáng)滲合的形象。但是，在古人看來(lái)，渾沌并不簡(jiǎn)單地等同于混亂和無(wú)序，它是萬(wàn)物混成尚未分離的狀態(tài)，它是統(tǒng)一的整體，它本身就包含著差異和多樣性，是秩序和無(wú)秩序、和諧與不和諧的統(tǒng)一體。渾沌先于宇宙，渾沌孕育著宇宙，渾沌產(chǎn)生出宇宙。按照《易緯·乾鑿度》的說(shuō)法，這個(gè)演化過(guò)程就是太易→太初→太始→太素→混沌→天地……“天地”才是現(xiàn)實(shí)的宇宙。在古埃及和巴比倫的傳說(shuō)里，都提出了世界起源于混沌的思想。古希臘稱“原始混沌”為“卡俄斯”，說(shuō)卡俄斯生于萬(wàn)物之先，它生下大地（“該亞”）、地獄（“塔爾塔洛斯”）和愛(ài)情（“厄洛斯”），大地又生出天（“烏利諾斯”）和海（“蓬托斯”）。這也是說(shuō)世界萬(wàn)物都是從混沌中分離出來(lái)的。在《圣經(jīng)》“創(chuàng)世紀(jì)”中說(shuō)，起初神創(chuàng)造了天地，大地是空虛混沌，神靈運(yùn)行于黑暗的深淵中，神說(shuō)“要有光”，于是就有了光；神把光暗分開(kāi)，于是就有了晨昏晝夜。這就是“創(chuàng)世”的第一天。這里借“神”的外衣所編織的動(dòng)人神話，都反映了古人關(guān)于世界起源的共同思想：世界產(chǎn)生之前的自然狀態(tài)是混沌，萬(wàn)物借分離之力從混沌中演化出來(lái)。但是，即使古人，也力圖揭開(kāi)浩闊蒼茫的宇宙的奧秘，尋找變幻莫測(cè)的大自然背后的秩序，從混沌中發(fā)現(xiàn)規(guī)則性。世界各地的古文明中，都產(chǎn)生了計(jì)算季節(jié)的精奧歷法，都出現(xiàn)了預(yù)測(cè)日月食的天文律條。偉大的文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)和哥白尼日心說(shuō)的提出，激發(fā)起人們探索大自然的勇氣和信心，近代自然科學(xué)誕生了。1687年，偉大的牛頓（Newton，Isaac1642～1727）出版了他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，以機(jī)械運(yùn)動(dòng)的三個(gè)基本定律和萬(wàn)有引力定律為公理基礎(chǔ)，確立了一個(gè)揭示“萬(wàn)物的至理”、結(jié)構(gòu)“世界的體系”的嚴(yán)整的經(jīng)典力學(xué)理論體系。這個(gè)理論簡(jiǎn)單而精確，普適而優(yōu)美，對(duì)地面物體的各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)和太陽(yáng)系內(nèi)各個(gè)天體的長(zhǎng)短周期運(yùn)動(dòng)做出了統(tǒng)一的解釋，包括落體運(yùn)動(dòng)，彈道曲線，波的傳播，光的折射，海洋潮汐，流體渦旋，行星軌道，月球歲差，彗星的行蹤，雙星的光變等等。牛頓的理論獲得了意想不到的成功，世界一下子變得秩序井然。以牛頓力學(xué)為旗幟的科學(xué)革命，導(dǎo)致了把宇宙看作是一個(gè)巨大的精密機(jī)械，或者說(shuō)就像一架精確運(yùn)行的“鐘表機(jī)構(gòu)”。因?yàn)榕ｎD力學(xué)的核心是牛頓第二定律，它是一個(gè)二級(jí)微分方程；這個(gè)方程的解，即物體的運(yùn)動(dòng)軌道，完全由兩個(gè)初始條件唯一地決定。就是說(shuō)，只要知道了物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及作用于這個(gè)物體的外部的力，就可以準(zhǔn)確地確定這個(gè)物體以往和未來(lái)的全部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這樣，牛頓力學(xué)必然導(dǎo)致一個(gè)機(jī)械決定論的結(jié)構(gòu)，即認(rèn)為所有的自然現(xiàn)象和自然過(guò)程，都只能按照機(jī)械的必然性發(fā)生和進(jìn)行。根據(jù)物體間的相互作用和力學(xué)的基本定律，從運(yùn)動(dòng)的初始條件出發(fā)，就可以巨細(xì)不遺地得出宇宙中一切物體的全部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這是一個(gè)數(shù)量的世界，一個(gè)可以利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算的世界。對(duì)牛頓理論的最輝煌的證實(shí)，是由18世紀(jì)天體力學(xué)做出的。1705年，牛頓的摯友哈雷（Halley，Edmund1656～1742）根據(jù)他對(duì)1682年一顆彗星軌道的觀測(cè)數(shù)據(jù)，運(yùn)用牛頓的天體運(yùn)動(dòng)理論進(jìn)行了計(jì)算，預(yù)言它將在1758年末再次出現(xiàn)。1743年，法國(guó)科學(xué)家克雷洛（Clairault，A.C.1713～1765）同樣用牛頓的理論，計(jì)算了遙遠(yuǎn)的木星和土星的攝動(dòng)作用，指出這顆彗星的出現(xiàn)要稍作推遲，它經(jīng)過(guò)近日點(diǎn)的時(shí)間在1759年4月。果然，這顆彗星在1759年的春天又映輝于夜空。這就是著名的哈雷彗星。這是人類歷史上第一次在54年前就準(zhǔn)確預(yù)言了的一次天體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，極大地增強(qiáng)了對(duì)以牛頓理論為代表的確定性因果規(guī)律的信心。對(duì)這個(gè)經(jīng)典確定論的信心，充分體現(xiàn)在1812年法國(guó)科學(xué)家拉普拉斯（Laplace，P.S.M.1749～1827）關(guān)于一個(gè)高超“智者”的設(shè)想上。他寫道：①假設(shè)有一位智者，它能知道在任一給定時(shí)刻作用于自然界的所有的力以及構(gòu)成世界的一切物體的位置。假定這位智者的智慧高超到有能力對(duì)所有這些數(shù)據(jù)做出分析處理，那么它就能將宇宙中最大的天體和最小的原子的運(yùn)動(dòng)包容到一個(gè)公式中。對(duì)于這個(gè)智者來(lái)說(shuō)，再?zèng)]有什么事物是不確定的了，過(guò)去和未來(lái)都?xì)v歷在目地呈現(xiàn)在它的面前。拉普拉斯的設(shè)想實(shí)際上是提出了一個(gè)令人敬畏的命題：整個(gè)宇宙中物質(zhì)的每一個(gè)粒子在任一時(shí)刻的位置和速度，完全決定了它未來(lái)的演化；宇宙沿著唯一一條預(yù)定的軌道演變，混沌是不存在的；隨機(jī)性只是人類智力不敷使用時(shí)的搪塞之語(yǔ)。2．龐加萊關(guān)于三體問(wèn)題的開(kāi)創(chuàng)性研究科學(xué)認(rèn)識(shí)的步伐，走出一條“之”字形路線：“混沌”讓位于“規(guī)則”——這是牛頓所建立的偉大功績(jī)；而“規(guī)則”又產(chǎn)生出新形式的“混沌”。邁出這一步伐的第一人，是偉大的法國(guó)科學(xué)家龐加萊（1854～1912）。龐加萊被譽(yù)為是“一只腳站在19世紀(jì)，一只腳站在20世紀(jì)”的跨世紀(jì)天才學(xué)者，“是最后一位傳統(tǒng)科學(xué)家，也是第一位現(xiàn)代科學(xué)家”。這位蓄胡須、戴眼鏡、和藹可親、不修邊幅、帶著心不在焉的糊涂外表的沉思者，卻是一位科學(xué)上的集大成者，在數(shù)學(xué)、天體力學(xué)、物理學(xué)和科學(xué)哲學(xué)等領(lǐng)域，都做出了杰出的貢獻(xiàn)。他通曉他的時(shí)代的全部數(shù)學(xué)，在每一個(gè)重要分支里都做出了富有創(chuàng)造性的工作。這使他成為世界數(shù)學(xué)界無(wú)可爭(zhēng)辯的領(lǐng)袖。正是這位科學(xué)巨擘，在確定論思想濃重籠罩著全部科學(xué)界的時(shí)候，卻把智慧的眼光投向早被驅(qū)趕出科學(xué)園地的混沌深淵。他是在研究天體力學(xué)，特別是“三體問(wèn)題”時(shí)發(fā)現(xiàn)混沌的。1887年，瑞典國(guó)王奧斯卡二世（1829～1907）懸賞2500克朗，征求天文學(xué)中一個(gè)重要問(wèn)題的答案。這個(gè)問(wèn)題就是“太陽(yáng)系是穩(wěn)定的嗎？”其實(shí)這是牛頓本人早就提出來(lái)的一個(gè)老問(wèn)題了。牛頓以當(dāng)時(shí)已觀測(cè)到的木星和土星運(yùn)動(dòng)的不規(guī)則性以及彗星以極扁的軌道橫穿所有行星的公轉(zhuǎn)軌道所可能帶來(lái)的干擾作用為依據(jù)，提出了太陽(yáng)系的運(yùn)動(dòng)可能會(huì)陷入紊亂的擔(dān)心。此后不少科學(xué)家都對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)探索。直到1784年，拉普拉斯根據(jù)萬(wàn)有引力理論證明，太陽(yáng)系是一個(gè)完善的自行調(diào)節(jié)的機(jī)械機(jī)構(gòu)，行星之間的相互影響和彗星等外來(lái)天體所造成的攝動(dòng)，最終都會(huì)自行得到改正。所以，太陽(yáng)系作為一個(gè)整體是穩(wěn)定的，它將無(wú)限期地繼續(xù)做著目前的周期運(yùn)動(dòng)。但是看來(lái)，拉普拉斯的答案并沒(méi)有消除科學(xué)界的這個(gè)疑慮，沒(méi)有阻止100年后瑞典國(guó)王的懸賞征文。龐加萊自然向奧斯卡國(guó)王的難題發(fā)起了進(jìn)攻。但是這個(gè)問(wèn)題是太困難了，它涉及到了怎樣研究復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性這個(gè)深刻的問(wèn)題。連龐加萊這樣的天才學(xué)者，也未能徹底攻克它。但是，他卻為了做這一工作而創(chuàng)立了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支——拓?fù)鋵W(xué)，并大大推進(jìn)了人們對(duì)這個(gè)歷史難題的認(rèn)識(shí)。他因此獲得了這項(xiàng)獎(jiǎng)金。在太陽(yáng)系中，包含著十多個(gè)比月球大的巨大天體，這是造成解題困難的根本原因。如果太陽(yáng)系僅僅由太陽(yáng)和地球組成，這就是一個(gè)“二體系統(tǒng)”，問(wèn)題則很簡(jiǎn)單，牛頓早已完全解決了它們的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。它們的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)單而規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)和地球?qū)@一個(gè)公共質(zhì)心、以一年為周期永遠(yuǎn)運(yùn)轉(zhuǎn)下去；或者稍做簡(jiǎn)化地說(shuō)，地球?qū)⒁蕴?yáng)為一個(gè)焦點(diǎn)，周而復(fù)始地沿橢圓軌道繞轉(zhuǎn)。然而，當(dāng)增加一個(gè)相當(dāng)大的天體后，這就成了一個(gè)“三體系統(tǒng)”，它們的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題就大大復(fù)雜化了，要徹底解決這個(gè)問(wèn)題，幾乎是不可能的。對(duì)短時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以用數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)確定；但是由于根據(jù)牛頓力學(xué)所列出的方程組不能解析地求解，所以系統(tǒng)長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是無(wú)法確定的。為了減少解決“三體問(wèn)題”的難度，龐加萊著眼于美國(guó)數(shù)學(xué)家希爾（Hill，GeorgeWilliam1838～1914）提出的一個(gè)極為簡(jiǎn)化的三體系統(tǒng)，即“希爾約化模型”。三體中有一個(gè)物體的質(zhì)量非常小，它對(duì)其它兩個(gè)天體不產(chǎn)生引力作用，就像由海王星、冥王星和一粒星際塵埃組成的一個(gè)宇宙體系一樣。這兩顆行星就像一個(gè)“二體系統(tǒng)”一樣繞著它們的公共質(zhì)心做周期運(yùn)動(dòng)；但這顆塵埃卻受到兩顆行星萬(wàn)有引力的作用，在兩顆行星共同形成的旋轉(zhuǎn)著的引力場(chǎng)中做復(fù)雜的軌道運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)不可能是周期的，也不可能是簡(jiǎn)單的，看上去簡(jiǎn)直是亂糟糟一團(tuán)（圖2）。

為了用幾何方法直觀地描繪運(yùn)動(dòng)的情況，可以以描述系統(tǒng)狀態(tài)的狀態(tài)參量為坐標(biāo)張成的“相空間”來(lái)描繪運(yùn)動(dòng)過(guò)程。某一時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)在相空間里用一個(gè)點(diǎn)表示；系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間的變化，即系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的解，對(duì)應(yīng)于相空間的一條曲線，稱為“相軌道”；如果物體做周期運(yùn)動(dòng)，它的相軌道就是一條閉合曲線；如果曲線不閉合，則表示物體的運(yùn)動(dòng)是非周期的。但是，為了確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是不是周期性的，與其自始至終地跟蹤系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，不如只觀察系統(tǒng)的相軌道是否總會(huì)通過(guò)同一相點(diǎn)。設(shè)想通過(guò)相空間中一點(diǎn)A（初始狀態(tài)）作一個(gè)橫截面（圖3），如果系統(tǒng)的相軌道總在同一點(diǎn)A穿過(guò)截面，那么系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就是周期性圖3用龐加萊截面考察運(yùn)動(dòng)情況：的；相反，如果系統(tǒng)的相曲線1表示周期運(yùn)動(dòng)軌道每次都在不同點(diǎn)穿曲線2為非周期運(yùn)動(dòng)過(guò)這個(gè)截面，它的運(yùn)動(dòng)就是非周期的。這個(gè)截面現(xiàn)被稱為“龐加萊截面”，它把對(duì)連續(xù)曲線（相軌道）的研究簡(jiǎn)化為對(duì)點(diǎn)的集合的研究，相當(dāng)于對(duì)系統(tǒng)的全部運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行不連續(xù)的抽樣檢驗(yàn)，從而簡(jiǎn)化了檢測(cè)工作。龐加萊把他的截面方法應(yīng)用于“希爾約化模型”的研究，以觀察塵埃粒子的運(yùn)動(dòng)。龐加萊震驚了，他發(fā)現(xiàn)塵粒的運(yùn)動(dòng)如此復(fù)雜而且違反直覺(jué)。它的軌線多次穿過(guò)截面所形成的交點(diǎn)竟連綴成無(wú)窮多交點(diǎn)的“柵欄”（圖4，現(xiàn)稱為“同宿柵欄”）。他寫道：當(dāng)人們?cè)噲D描畫由這兩條曲線和它們的無(wú)窮次相交（每一次相交都對(duì)應(yīng)于一個(gè)雙漸近解）構(gòu)成的圖形時(shí)，這些相交形成一種格子、絲網(wǎng)或無(wú)限密集的網(wǎng)柵結(jié)構(gòu)；這兩條曲線從不會(huì)自相交叉，但為了無(wú)窮多次穿過(guò)絲網(wǎng)的網(wǎng)節(jié)，它們必須以一種很復(fù)雜的方式折疊回自身之上。這一圖形的復(fù)雜性令人震驚，我甚至不想把它畫出來(lái)。沒(méi)有什么能給我們一個(gè)三體問(wèn)題復(fù)雜性的更好的概念了①。從截面上一點(diǎn)出發(fā)的系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)一個(gè)過(guò)程后，當(dāng)它再穿過(guò)截面時(shí)，卻在另一點(diǎn)交于龐加萊截面，簡(jiǎn)直無(wú)法預(yù)言它下一次將從哪一點(diǎn)穿過(guò)截面；實(shí)際上系統(tǒng)是以無(wú)規(guī)的點(diǎn)的序列頻頻穿過(guò)龐加萊截面的。這就是混沌，龐加萊在“三體問(wèn)題”中發(fā)現(xiàn)了混沌！這一發(fā)現(xiàn)表明，即使在“三體系統(tǒng)”，甚至是極為簡(jiǎn)化的“希爾約化模型”中，牛頓力學(xué)的確定性原則也受到了挑戰(zhàn)，動(dòng)力系統(tǒng)可能出現(xiàn)極其驚人的復(fù)雜行為。并不像人們?cè)瓉?lái)認(rèn)為的那樣，動(dòng)力系統(tǒng)從確定性的條件出發(fā)都可以得出確定的、可預(yù)見(jiàn)的結(jié)果；確定性動(dòng)力學(xué)方程的某些解，出現(xiàn)了不可預(yù)見(jiàn)性，即走向混沌。其實(shí)，在龐加萊動(dòng)手解決奧斯卡國(guó)王的難題的同一年，即1887年，數(shù)學(xué)家布倫斯（Bruns，H.）就已證明，三體問(wèn)題的9個(gè)自由度18個(gè)二階微分方程，只有10個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，即3個(gè)動(dòng)量積分，3個(gè)角動(dòng)量積分，3個(gè)關(guān)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的積分和1個(gè)能量積分。1890年，龐加萊將布倫斯的結(jié)論推廣到有攝動(dòng)參數(shù)的情況；1892年在他的三卷本《天體力學(xué)新方法》的第一卷第四章中，他對(duì)這個(gè)定理做出了一般表述：在通常的保守問(wèn)題中，經(jīng)典力學(xué)正則方程除了滿足能量積分外，不滿足其它任何解析、一致的積分。龐加萊的一般性結(jié)論，實(shí)質(zhì)上是指出，可積系統(tǒng)是極少的；許多行為很規(guī)則的系統(tǒng)，當(dāng)受到擾動(dòng)后，可能出現(xiàn)不連續(xù)性，其參數(shù)或初始條件的微小變化，就可能引起復(fù)雜的、甚或是性質(zhì)上的變化。龐加萊的工作提出了經(jīng)典力學(xué)的確定性原則的適用限度的重大問(wèn)題，留下了極富啟發(fā)性的論斷和猜想。不過(guò)，混沌問(wèn)題是太復(fù)雜了，龐加萊的時(shí)代還不具備揭示和描述混沌現(xiàn)象的足夠的知識(shí)儲(chǔ)備和數(shù)學(xué)工具。雖然憑著他超人的幾何直覺(jué)對(duì)混沌的復(fù)雜性有所洞察，但是他并不真的是“不想”畫出他所發(fā)現(xiàn)的“同宿柵欄”，而是“無(wú)法”把它畫出來(lái)。這是只有用電子計(jì)算機(jī)技術(shù)才能處理的復(fù)雜幾何圖象。龐加萊的思想是太超前于他的時(shí)代了，所以他的發(fā)現(xiàn)在半個(gè)多世紀(jì)里并未受到科學(xué)界的重視；牛頓力學(xué)確定性的帷幕，仍然厚厚地遮蔽著混沌廣闊富饒的研究領(lǐng)域。3．伯克霍夫的工作與KAM定理美國(guó)數(shù)學(xué)家伯克霍夫（Birkhoff，George1884～1944）是20世紀(jì)初少數(shù)幾個(gè)認(rèn)識(shí)到龐加萊動(dòng)力系統(tǒng)研究工作的重要性的人物之一，他繼承和發(fā)展了龐加萊的工作。伯克霍夫把龐加萊截面方法用于探索哈密頓系統(tǒng)的一般行為。他發(fā)現(xiàn)微分方程的性質(zhì)取決于正則級(jí)數(shù)的收斂性。如果正則級(jí)數(shù)是收斂的，則微分方程的解位于N維不變環(huán)面上。但實(shí)際上級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散與否取決于振幅的大小。當(dāng)考慮非線性作用時(shí)，橢圓不動(dòng)點(diǎn)周圍的不變環(huán)面有些遭到破壞，有些繼續(xù)存在但有點(diǎn)變形。1932年，伯克霍夫證明，對(duì)應(yīng)于不變環(huán)面的消失，存在不穩(wěn)定區(qū)域，它可以被一條扭曲映射下的不變曲線所包攏，而區(qū)域內(nèi)并無(wú)環(huán)繞原點(diǎn)的不變曲線。他實(shí)際上已經(jīng)證明，任意接近外邊界的點(diǎn)，在映射作用下可以任意接近內(nèi)邊界，反之亦然。在研究不穩(wěn)定區(qū)的結(jié)構(gòu)時(shí)，伯克霍夫讓一個(gè)收縮性的扭曲映射作用于兩條不變曲線之間的不穩(wěn)定區(qū)域，結(jié)果不穩(wěn)定區(qū)域被映射到一個(gè)更小的子區(qū)域中；映射的迭代最終把原區(qū)域變成了一個(gè)面積為零、結(jié)構(gòu)極其復(fù)雜的極限集合，位于原區(qū)域中的點(diǎn)的軌跡都收斂到這個(gè)集合中去了。伯克霍夫?qū)嶋H上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“混沌行為”和現(xiàn)在所說(shuō)的“奇怪吸引子”的實(shí)例，他當(dāng)時(shí)稱之為“奇特曲線”。更值得提出的是，他已經(jīng)意識(shí)到這種行為是動(dòng)力系統(tǒng)的通有行為。除伯克霍夫等極少數(shù)人之外，幾乎沒(méi)有人沿著龐加萊的道路前進(jìn)。直到20世紀(jì)60年代以后，對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的研究才有了長(zhǎng)足的進(jìn)展。1960年前后，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲宸颍↘olmogorov，A.N.）、阿諾德（Arnold，V.I.）和莫塞爾（Moser，J.）提出并證明了以他們的姓氏的字頭命名的KAM定理。這個(gè)定理的基本思想是1954年柯?tīng)柲宸蛟诎⒛匪固氐づe行的國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上宣讀的《在具有小改變量的哈密頓函數(shù)中條件周期運(yùn)動(dòng)的保持性》短文中提出的。后來(lái)他的學(xué)生阿諾德做出了嚴(yán)格的證明，莫塞爾又推廣了這些結(jié)果。按照分析力學(xué)方法，N個(gè)自由度系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)是H=H（p1，p2……pN；q1，q2……qN），系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由哈密頓正則方程確定。如果能夠找到一系列正則變換，從廣義動(dòng)量p1，p2……pN和廣義坐標(biāo)q1，q2……qN變到另一套作用-角度變量J1，J2……JN和θ1，θ2……θN，使得利用新變量表示的哈密頓函數(shù)只依賴于前一半變量J1，J2……JN，而與θ1，θ2……θN無(wú)關(guān)，則這個(gè)力學(xué)系統(tǒng)就是完全可解的，即為一可積系統(tǒng)。因?yàn)檫@意味著這個(gè)系統(tǒng)的行為可化簡(jiǎn)，歸約為N維環(huán)面上的條件周期運(yùn)動(dòng)。相反，如果找不到一種變換，使得哈密頓方程只包含作用變量，則系統(tǒng)是不可積的。實(shí)際上，對(duì)于多數(shù)保守系統(tǒng)，是無(wú)法找到這種正則變換的。KAM定理是關(guān)于近可積系統(tǒng)的一個(gè)重要的、一般性結(jié)論，有十分重要的意義。假定系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)分為兩部分其中H0部分是可積的，V是使H變得不可積的擾動(dòng)，只要ε很小，這就是一個(gè)弱不可積系統(tǒng)。KAM定理斷言，在擾動(dòng)較小，V足夠光滑，離開(kāi)共振條件一定距離三個(gè)條件共同成立下，對(duì)于系統(tǒng)的大多數(shù)初始條件，弱不可積系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)圖象與可積系統(tǒng)基本相同?？煞e系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)限制在由N個(gè)運(yùn)動(dòng)不變量決定的N維環(huán)面上，而弱不可積系統(tǒng)的絕大多數(shù)軌道仍然限制在稍有變形的N維環(huán)面上，這些環(huán)面并不消失，只有輕微的變形，稱為不變環(huán)面。不過(guò)，只要有非零的擾動(dòng)，總會(huì)有一些軌道逃離不變環(huán)面，出現(xiàn)不穩(wěn)定、隨機(jī)性的特征；但只要滿足KAM定理的條件，這些迷走軌線是零測(cè)度的，不代表系統(tǒng)的典型行為。大量的計(jì)算機(jī)數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，破壞KAM定理的任何一個(gè)條件，都會(huì)促使迷走軌線增多，使運(yùn)動(dòng)的不規(guī)則性和隨機(jī)性增大，最終導(dǎo)致混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)然，這運(yùn)動(dòng)所遵循的仍然是決定性的牛頓力學(xué)方程式。所以，KAM定理以一個(gè)限制性原理的形式，從反面泄露了有關(guān)牛頓力學(xué)面目的真實(shí)信息。它暴露出，確定性的動(dòng)力系統(tǒng)，只要精確地從同一點(diǎn)出發(fā)，其運(yùn)動(dòng)就是一條確定的軌道；但是只要初始條件有無(wú)論多么微小的變化，其后的運(yùn)動(dòng)就會(huì)變得無(wú)序和混亂，就如同擲骰子一樣，是隨機(jī)和不可預(yù)測(cè)的。這就是牛頓力學(xué)的內(nèi)稟隨機(jī)性。4．洛侖茲關(guān)于氣象預(yù)報(bào)的研究混沌研究上的一個(gè)重大突破，是在天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題的探索中取得的。1922年，英國(guó)物理學(xué)家和心理學(xué)家理查孫（Richardson，LewisFry1881～1953）發(fā)表了一篇題為《用數(shù)值方法進(jìn)行天氣預(yù)報(bào)》的文章。在文章的末尾，他提出了一個(gè)異想天開(kāi)的幻想：在一個(gè)大建筑內(nèi)，集聚一大批長(zhǎng)于計(jì)算的工作者，在統(tǒng)一指揮下相互協(xié)調(diào)地對(duì)影響天氣變化的各種數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。他估計(jì)，為了使天氣預(yù)報(bào)和實(shí)際的天氣變化達(dá)到同步，大約需要64000個(gè)熟練的計(jì)算者。他設(shè)想，在遙遠(yuǎn)的將來(lái)，有朝一日或許有可能發(fā)展出比天氣變化還要快的計(jì)算手段，從而使天氣預(yù)報(bào)夢(mèng)想成真。真是先知之見(jiàn)，不到30年，電子計(jì)算機(jī)就出現(xiàn)了，并且成功地用于天氣預(yù)報(bào)。在牛頓力學(xué)確定論思想的影響下，當(dāng)時(shí)科學(xué)家們對(duì)天氣預(yù)報(bào)普遍持有這樣樂(lè)觀的看法：氣象系統(tǒng)雖然復(fù)雜異常，但仍然是遵循牛頓定律的確定性過(guò)程。在有了電子計(jì)算機(jī)這種強(qiáng)有力的工具之后，只要充分利用遍布全球的氣象站、氣象船、探空氣球和氣象衛(wèi)星，把觀測(cè)的氣象數(shù)據(jù)（氣壓、溫度、濕度、風(fēng)力等）都及時(shí)準(zhǔn)確地收集起來(lái)，根據(jù)大氣的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行計(jì)算，天氣變化是可以做出精確預(yù)報(bào)的。既然天文學(xué)家能夠根據(jù)牛頓定律，用鉛筆和計(jì)算尺計(jì)算出了太陽(yáng)系的未來(lái)，預(yù)見(jiàn)了哈雷彗星的出沒(méi)以及海王星和冥王星的存在，勾劃出了人造衛(wèi)星和洲際導(dǎo)彈的準(zhǔn)確軌跡，那么為什么對(duì)于風(fēng)和云就做不到呢？只要有一臺(tái)功能高超的計(jì)算機(jī)來(lái)充任拉普拉斯設(shè)想的“智者”，天氣的變化就會(huì)在人們精確的預(yù)言中。計(jì)算機(jī)之父約翰·馮·諾意曼就認(rèn)為氣象模擬是計(jì)算機(jī)的理想的用武之地。他甚至認(rèn)為，天氣狀況不僅可以預(yù)報(bào)，而且是可以人工控制和改變的。美國(guó)氣象學(xué)家、麻省理工學(xué)院的洛侖茲（Lorenz，Edward）最初也接受了這種觀點(diǎn)。1960年前后，他開(kāi)始用計(jì)算機(jī)模擬天氣變化。洛侖茲有良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，他本想成為一個(gè)數(shù)學(xué)家，只是由于第二次世界大戰(zhàn)的爆發(fā)，他成了空軍氣象預(yù)報(bào)員，使他成了一位氣象學(xué)家。比起龐加萊來(lái)，洛侖茲的條件是太優(yōu)越了。他擁有一臺(tái)“皇家馬可比”計(jì)算機(jī)，它是用真空管組成的，雖然運(yùn)算速度還不算快，但在當(dāng)時(shí)已經(jīng)是很了不起的了。洛侖茲把氣候問(wèn)題簡(jiǎn)化又簡(jiǎn)化，提煉出影響氣候變化的少而又少的一些主要因素；然后運(yùn)用牛頓的運(yùn)動(dòng)定律，列出了12個(gè)方程。這些方程分別表示著溫度與壓力、壓力與風(fēng)速之間的關(guān)系等等。他相信，運(yùn)動(dòng)定律為數(shù)學(xué)確定性架起了橋梁，12個(gè)聯(lián)立方程可以用數(shù)值計(jì)算方法對(duì)氣象的變化做出模擬。開(kāi)始時(shí)，洛侖茲讓機(jī)器每分鐘在打印機(jī)上打出一串?dāng)?shù)字，表示出一天的氣象，包括氣壓的升降，風(fēng)向的變化，氣溫的起伏等。洛侖茲把這些數(shù)據(jù)與他心目中的預(yù)測(cè)相對(duì)比，感覺(jué)到某種熟悉的東西一次一次地重復(fù)出現(xiàn)。氣溫上升又下降，風(fēng)向向北又向南，氣壓升高又降低；如果一條曲線由高向低變化而中間沒(méi)有隆起的部分，隨后就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)隆起部分。但是他又發(fā)現(xiàn)，這種重復(fù)決不是精確的，一次與一次絕不完全吻合。這個(gè)結(jié)果已經(jīng)開(kāi)始向洛侖茲透露著某種奧秘了。1961年冬季的一天，洛侖茲用他的計(jì)算機(jī)算出了一長(zhǎng)段數(shù)據(jù)，并得出了一個(gè)天氣變化的系列。為了對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行核對(duì)，又為了節(jié)省點(diǎn)時(shí)間，他把前一次計(jì)算的一半處得到的數(shù)據(jù)作為新的初始值輸入計(jì)算機(jī)。然后他出去喝了杯咖啡。一個(gè)小時(shí)后當(dāng)他又回到計(jì)算機(jī)旁的時(shí)候，一個(gè)意想不到的事情使他目瞪口呆了，新一輪計(jì)算數(shù)據(jù)與上一輪的數(shù)據(jù)相差如此之大，僅僅表示幾個(gè)月的兩組氣候數(shù)據(jù)逐漸分道揚(yáng)鑣，最后竟變得毫無(wú)相近之處，簡(jiǎn)直就是兩種類型的氣候了。開(kāi)始時(shí)洛侖茲曾經(jīng)想到可能是他的計(jì)算機(jī)出了故障，但很快他就悟出了真相：機(jī)器沒(méi)有毛病，問(wèn)題出在他輸入的數(shù)字中。他的計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)器里存有6位小數(shù)，0.506127。他為了在打印時(shí)省些地方只打出了3位0.506。洛侖茲原本認(rèn)為舍棄這只有千分之一大小的后幾位數(shù)無(wú)關(guān)緊要；但結(jié)果卻表明，小小的誤差卻帶來(lái)了巨大的“災(zāi)難”。為了仔細(xì)看一下初始狀態(tài)原本十分相同的氣候流程，如何越來(lái)相差越大，洛侖茲把兩次輸出的變化曲線打印在兩張透明片上，然后把它們重疊在一起（圖5）。一下子就清楚地看出來(lái)，開(kāi)始時(shí)的兩個(gè)隆峰還很好地相重疊，但到第三個(gè)和第四個(gè)隆峰時(shí)，就完全亂套了。這個(gè)結(jié)果從傳統(tǒng)觀點(diǎn)看來(lái)是不可理解的。因?yàn)榘凑战?jīng)典決定性原則，初始數(shù)據(jù)中的小小差異只能導(dǎo)致結(jié)果的微小變化；一陣微風(fēng)不會(huì)造成大范圍的氣象變化。但是洛侖茲是從事天氣預(yù)報(bào)的，他對(duì)長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的失敗是有深切感受的。這個(gè)離奇古怪的計(jì)算結(jié)果與他的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)是完全相符的。所以他深信他的這些方程組和計(jì)算結(jié)果揭露了氣象變化的真實(shí)性質(zhì)。他終于做出斷言：長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)是根本不可能的！他甚至有些慶幸地說(shuō)：“當(dāng)然，我們實(shí)在也不曾做準(zhǔn)過(guò)氣象的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)，而現(xiàn)在好了，我們找到了開(kāi)脫！”“對(duì)于普通人來(lái)說(shuō)，看到我們可以在幾個(gè)月前就很準(zhǔn)地預(yù)報(bào)了潮汐，便會(huì)問(wèn)：為什么對(duì)大氣就不能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)呢？確實(shí)，大氣雖然是一個(gè)與潮汐不同的系統(tǒng)，但支配它們的定律的復(fù)雜程度卻是差不多的。但我認(rèn)為，任何表現(xiàn)出非周期性態(tài)的物理系統(tǒng)，都是不可預(yù)測(cè)的?！雹偈聦?shí)正是這樣，即使在今天，世界上最好的天氣預(yù)報(bào)也只能一天可靠，超過(guò)兩三天，就只是猜測(cè)。洛侖茲是個(gè)穿著氣象學(xué)家外衣的數(shù)學(xué)家，他很快看出了氣候變化不能精確重演與長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的不可能二者之間存在著一種必然的聯(lián)系。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是“非周期性”與“不可預(yù)見(jiàn)性”之間的聯(lián)系。氣象系統(tǒng)是不斷重復(fù)但又從未真正重復(fù)的，這叫做“非周期系統(tǒng)”。如果氣候的變化是嚴(yán)格的周期性的，即某一時(shí)刻各個(gè)地方的壓力、溫度、濕度、每一片云、每一股風(fēng)都和此前某一時(shí)刻的情況完全一樣，那么這一時(shí)刻以后的天氣變化也將和此前那一時(shí)刻以后的天氣變化完全相同，于是天氣就會(huì)循環(huán)往復(fù)地永遠(yuǎn)按照這個(gè)變化順序反復(fù)重現(xiàn)，精確的天氣預(yù)報(bào)也就成了平淡無(wú)奇的事情了?；谶@種認(rèn)識(shí)，洛侖茲就把氣候問(wèn)題丟在一邊，專心致力于在更簡(jiǎn)單的系統(tǒng)中去尋找產(chǎn)生復(fù)雜行為的模式。他抓住了影響氣候變化的重要過(guò)程，即大氣的對(duì)流。受熱的氣體或液體會(huì)上升，這種運(yùn)動(dòng)就是對(duì)流。烈日烘烤著大地，使地面附近的空氣受熱而上升；升到高空的空氣放熱變冷后，又會(huì)從側(cè)面下降。雷雨云就是通過(guò)空氣的對(duì)流形成的。如果對(duì)流是平穩(wěn)的，氣流就以恒定的方式漸漸上升；如果對(duì)流是不平穩(wěn)的，大氣的運(yùn)動(dòng)就復(fù)雜化了，出現(xiàn)某種非周期性態(tài)。這與天氣變化有某種類似。于是，洛侖茲就從表征著流體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的納維-斯托克斯方程組出發(fā)，經(jīng)過(guò)無(wú)量綱化處理并做傅立葉展開(kāi)，取頭一、二項(xiàng)，得到傅立葉系數(shù)滿足的一組常微分方程。與大氣的實(shí)際對(duì)流運(yùn)動(dòng)相比，這組方程是大為簡(jiǎn)化了，它只是抽象地刻劃了大氣真實(shí)運(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn)，既考慮了流動(dòng)的速度，又考慮了熱的傳輸，與真實(shí)的大氣運(yùn)動(dòng)是大體類似的。他建立的三個(gè)方程是dx/dt=10(y-x)dy/dt=28x-y-xzdz/dt=(8/3)z+xyx、y、z是三個(gè)主要變量，t是時(shí)間，d/dt是對(duì)時(shí)間的變化率；常數(shù)28對(duì)應(yīng)于不平穩(wěn)對(duì)流剛開(kāi)始后系統(tǒng)的狀態(tài)。這就是1963年洛侖茲發(fā)表在《氣象科學(xué)雜志》20卷第2期上的題為《確定性非周期流》中所列出的方程組。由于其中出現(xiàn)了xz、xy這些項(xiàng)，因而是非線性的，這意味著它們表示的關(guān)系不是簡(jiǎn)單的比例關(guān)系。一般地說(shuō)，非線性方程組是不可解的，洛侖茲的方程組也是不能用解析方法求解的，唯一可靠的方法就是用數(shù)值方法計(jì)算解。用初始時(shí)刻x、y、z的一組數(shù)值，計(jì)算出下一個(gè)時(shí)刻它們的數(shù)值，如此不斷地進(jìn)行下去，直到得出某一組“最后”的數(shù)值。這個(gè)方法叫做“迭代”，即反復(fù)做同樣方法的計(jì)算。用計(jì)算機(jī)進(jìn)行這種“迭代”運(yùn)算是很容易的。洛侖茲把x、y、z作為坐標(biāo)畫出了一個(gè)坐標(biāo)空間，描繪了系統(tǒng)行為的相軌道，他吃驚地發(fā)現(xiàn)，畫出的圖顯示出奇妙而無(wú)窮的復(fù)雜性（圖6）。這是三維空間里的雙重繞圖，就像是有兩翼翅膀的一只蝴蝶；它意味著一種新的序，軌線被限制在某個(gè)邊界之內(nèi)，決不會(huì)越出這個(gè)邊界；但軌線決不與自身相交，在兩翼上轉(zhuǎn)來(lái)轉(zhuǎn)去地環(huán)繞著。這表示系統(tǒng)的性態(tài)永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)，是非周期性的，從這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它又純粹是無(wú)序的。正如這篇論文的標(biāo)題所表示的，從確定性的方程和確定的初始狀態(tài)（x、y、z的初始值）出發(fā)，經(jīng)過(guò)多次迭代后，卻得出了非周期性態(tài)的結(jié)果。這就是混沌！一切有關(guān)混沌的豐富內(nèi)容，都包含在這幅奇妙的畫圖中了?，F(xiàn)在就可以說(shuō)明什么是現(xiàn)代科學(xué)意義上的“混沌”概念了。1986年在倫敦召開(kāi)的一個(gè)關(guān)于混沌問(wèn)題的國(guó)際會(huì)議上，提出了下述的定義：“數(shù)學(xué)上指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)性態(tài)”。傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為，確定性系統(tǒng)的性態(tài)受精確的規(guī)則支配，其行為是確定的，可以預(yù)言的；隨機(jī)系統(tǒng)的性態(tài)是不規(guī)則的，由偶然性支配，“隨機(jī)”就是“無(wú)規(guī)”。這樣看來(lái)，“混沌”就是“完全由定律支配的無(wú)定律性態(tài)”，這真是一個(gè)大自然的“悖論”。5．“蝴蝶效應(yīng)”和“斯梅爾馬蹄”無(wú)規(guī)性的源泉在于初始條件的選擇。一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的行為或運(yùn)動(dòng)軌道決定于兩個(gè)因素。一個(gè)是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)演化所遵從的規(guī)律，如牛頓定律；一個(gè)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即初始條件。經(jīng)典力學(xué)指出，一個(gè)確定性系統(tǒng)在給定了運(yùn)動(dòng)方程后，它的軌道就唯一地取決于初始條件，一組初始值只有一條軌道，這就是系統(tǒng)行為對(duì)初值的依賴性。但是，任何測(cè)量都是有誤差的，所以任何時(shí)候都不可能絕對(duì)精確地測(cè)定初始值。實(shí)驗(yàn)上給出的初值都只能是近似的。這個(gè)誤差對(duì)系統(tǒng)的行為會(huì)不會(huì)有嚴(yán)重影響呢？經(jīng)典力學(xué)斷言，系統(tǒng)的行為或運(yùn)動(dòng)軌道對(duì)初值的依賴是不敏感的，知道了一個(gè)系統(tǒng)近似的初始條件，系統(tǒng)的行為就能夠近似地計(jì)算出來(lái)。這就是說(shuō)，從兩組相接近的初值描繪出的兩條軌道，會(huì)始終相互接近地在相空間里偕游并行，永遠(yuǎn)不會(huì)分道揚(yáng)鑣，泛泛的小影響不會(huì)積累起來(lái)形成一種大的效應(yīng)?；煦缪芯繀s粉碎了傳統(tǒng)科學(xué)中這種對(duì)近似性和運(yùn)動(dòng)的收斂性的信仰。處在混沌狀態(tài)的系統(tǒng)，或者更一般地說(shuō)對(duì)于一個(gè)非線性系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)軌道將敏感地依賴于初始條件。洛侖茲已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，從兩組極相鄰近的初始值出發(fā)的兩條軌道，開(kāi)始時(shí)似乎沒(méi)有明顯的偏離，但經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，就會(huì)呈現(xiàn)出顯著的差異來(lái)（圖5）。這就是說(shuō)，初值的微小差異，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)逐漸被放大，終會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)軌道的巨大偏差，以至于這種偏差要多大就有多大。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，一種變化過(guò)程可能有一個(gè)臨界點(diǎn)，在這一點(diǎn)上，一個(gè)微小的擾動(dòng)可能被放大成一個(gè)重大的變化。而在混沌中，這種點(diǎn)無(wú)處不在，確定性系統(tǒng)初值的微小差異導(dǎo)致了系統(tǒng)整體的混沌后果。小的誤差竟能帶來(lái)巨大的災(zāi)難性后果，這一點(diǎn)早在1908年就被目光敏銳的龐加萊洞察到了。他在他的名著《科學(xué)與方法》中寫道：我們覺(jué)察不到的極其輕微的原因決定著我們不能不看到的顯著結(jié)果，于是我們說(shuō)這個(gè)結(jié)果是由于偶然性。如果我們可以正確地了解自然定律以及宇宙在初始時(shí)刻的狀態(tài)，那么我們就能夠正確地預(yù)言這個(gè)宇宙在后繼時(shí)刻的狀態(tài)。不過(guò)，即使自然定律對(duì)我們已無(wú)秘密可言，我們也只能近似地知道初始狀態(tài)。如果情況容許我們以同樣的近似度預(yù)見(jiàn)后繼的狀態(tài)，這就是我們所要求的一切，那我們便說(shuō)該現(xiàn)象被預(yù)言到了，它受規(guī)律支配。但是，情況并非總是如此；可以發(fā)生這樣的情況：初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生了極大的差別；前者的微小誤差促成了后者的巨大誤差。預(yù)言變得不可能了，我們有的是偶然發(fā)生的現(xiàn)象①。這一段幾乎是百年前的話，不正是我們近幾十年才揭開(kāi)的混沌來(lái)源之謎嗎？洛侖茲從他關(guān)于長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)的研究中悟出的正是這個(gè)道理。對(duì)于任何小塊地區(qū)氣候變化的誤測(cè)，都會(huì)導(dǎo)致全球天氣預(yù)報(bào)的迅速失真。不論氣象觀測(cè)站的網(wǎng)點(diǎn)如何密集，都不可能覆蓋整個(gè)地球和從地面到高空的每一高度。在一尺之遙的空間范圍內(nèi)的一點(diǎn)氣象漲落，都可能迅速波及到一尺之外、十尺之外、百尺之外的空間，小誤差通過(guò)一系列湍流式的鏈鎖反應(yīng)，集結(jié)起來(lái)而成十倍、百倍、千倍地膨脹擴(kuò)大，終于使天氣預(yù)報(bào)變成一派胡言，在跨洋隔洲的地區(qū)形成山雨欲來(lái)風(fēng)滿樓的景象。洛侖茲非常形象地比喻說(shuō)：巴西亞馬孫河叢林里一只蝴蝶扇動(dòng)了幾下翅膀，三個(gè)月后在美國(guó)的得克薩斯州引起了一場(chǎng)龍卷風(fēng)。人們把洛侖茲的比喻戲稱為“蝴蝶效應(yīng)”。這個(gè)看法當(dāng)時(shí)并不為氣象學(xué)家們所接受。據(jù)說(shuō)洛侖茲把“蝴蝶效應(yīng)”說(shuō)給他的一個(gè)朋友以說(shuō)明長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)不可能時(shí)，他的朋友回答說(shuō)“預(yù)報(bào)不會(huì)成為問(wèn)題”，“現(xiàn)在是要搞氣象控制”。洛侖茲卻不這樣看，他認(rèn)為，人工改變氣候當(dāng)然是可能的；但是當(dāng)你這樣做時(shí)，你就無(wú)法預(yù)測(cè)它會(huì)產(chǎn)生什么后果。簡(jiǎn)單的確定性系統(tǒng)如何會(huì)導(dǎo)致長(zhǎng)期行為對(duì)初值的敏感依賴性呢？理解這一點(diǎn)的關(guān)鍵是要理解混沌的幾何特性，即由系統(tǒng)內(nèi)在的非線性相互作用在系統(tǒng)演化過(guò)程中所造成的“伸縮”與“折疊”變換。美國(guó)拓?fù)鋵W(xué)家斯梅爾（Smale，Stephen1930～）對(duì)此做出了重要貢獻(xiàn)。斯梅爾是一個(gè)杰出的拓?fù)鋵W(xué)家，本來(lái)在多維拓?fù)鋵W(xué)的一些最奇特的問(wèn)題上已經(jīng)卓有成就。1958年，他開(kāi)始對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行深入研究，并發(fā)表了一篇過(guò)于樂(lè)觀的論文。他在這篇論文里提出了一個(gè)錯(cuò)誤的猜想。他用極為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言論證說(shuō)，一切動(dòng)力系統(tǒng)最終都將進(jìn)入一個(gè)并不十分奇異的行為；或者說(shuō)，典型的動(dòng)力學(xué)行為是定態(tài)的或周期的。雖然，一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)離奇古怪的性態(tài)，但斯梅爾認(rèn)為這種性態(tài)不會(huì)是穩(wěn)定的。后來(lái)斯梅爾曾回憶說(shuō)：“我的過(guò)分樂(lè)觀引導(dǎo)我在那篇論文里認(rèn)為，幾乎所有常微分方程系統(tǒng)都是這樣一些（結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的）系統(tǒng)！”①他說(shuō)如果他多少了解些龐加萊、伯克霍夫等人的文獻(xiàn)，他就不會(huì)有那種愚蠢的思想。1959年圣誕節(jié)后，斯梅爾一家正在巴西首都里約熱內(nèi)盧暫住，他接到了他的朋友萊文松（Levinson，N.）的一封信，指出他的猜想是錯(cuò)誤的，并告訴他自己關(guān)于受迫范德坡方程的研究已經(jīng)提供了一個(gè)反例。早在本世紀(jì)20年代，德國(guó)物理學(xué)家范德坡（VanderPol，B.）就已開(kāi)始研究非線性電路的弛豫振蕩問(wèn)題，并得出了以他的名字命名的范德坡方程和受迫范德坡方程。1927年，范德坡又和范德馬克（VanderMark，J.）發(fā)現(xiàn)了著名的“分頻”現(xiàn)象。萊文松用這個(gè)反例說(shuō)明，一個(gè)系統(tǒng)既有混沌又有穩(wěn)定性，混沌與穩(wěn)定性共存；系統(tǒng)的這種奇特性質(zhì)并不為小的擾動(dòng)所破壞。當(dāng)斯梅爾仔細(xì)研究了萊文松的文章，最后確信萊文松是對(duì)的時(shí)，他就把自己的猜想換成了另一個(gè)問(wèn)題：典型的動(dòng)力行為是什么？斯梅爾多年來(lái)是在拓?fù)鋵W(xué)中進(jìn)行探索的，他利用相空間對(duì)范德坡振子的全程可能性進(jìn)行探索。他注意的并不只是單條的軌線，而是全空間的性態(tài)；他的直覺(jué)由這系統(tǒng)的物理本質(zhì)躍進(jìn)到一種新型的幾何本質(zhì)。他思考的是形狀在相空間中的拓?fù)渥儞Q，例如拉伸或壓縮變換。這些變換有明確的物理意義。如系統(tǒng)中的耗散，由于摩擦而喪失能量，意味著系統(tǒng)在相空間中的形狀將會(huì)收縮，甚至可能最終完全靜止下來(lái)收縮到一點(diǎn)。為了反映范德坡振子的全部復(fù)雜運(yùn)動(dòng)性態(tài)，他想到相空間必須經(jīng)歷一種新的變換組合。這使他從觀察振子的總體行為提出了一種幾何模型——“斯梅爾馬蹄”。斯梅爾馬蹄的道理很簡(jiǎn)單。取一個(gè)正方形，把它拉伸為瘦長(zhǎng)的矩形，再把它對(duì)折彎疊成馬蹄形（圖7）。然后想象把這馬蹄嵌入一個(gè)新的矩形中，再重復(fù)相同的變換：擠壓、折曲、拉伸……這實(shí)際上就像廚師揉面團(tuán)的操作過(guò)程：首先是伸縮變換，使面團(tuán)在一個(gè)方向搟平壓薄，同時(shí)在另一個(gè)方向上伸長(zhǎng)；然后是折疊變換，將拉長(zhǎng)的兩塊面對(duì)折疊置。這種操作反復(fù)進(jìn)行下去?？梢栽O(shè)想，開(kāi)始時(shí)先在面團(tuán)上擦一層紅顏色，那么在廚師揉面過(guò)程中，紅色層將被拉長(zhǎng)、變薄、交疊起來(lái)。經(jīng)過(guò)多次反復(fù)操作后，原來(lái)相鄰近的兩個(gè)紅色粒子會(huì)越來(lái)越遠(yuǎn)地分離開(kāi)去，原來(lái)不相鄰近的兩個(gè)紅色粒子卻可能越來(lái)越靠近了。動(dòng)力系統(tǒng)正是通過(guò)這兩種變換而形成渾沌軌道幾何圖象的復(fù)雜性的。伸縮變換使相鄰狀態(tài)不斷分離而造成軌道發(fā)散。但僅有伸縮變換還不足以擾亂相空間造成復(fù)雜性，還必須通過(guò)折疊變換。折疊是一種最強(qiáng)烈的非線性作用。伸縮和折疊的混合并不斷反復(fù)，才可能產(chǎn)生動(dòng)力系統(tǒng)相軌道的分離、匯合，產(chǎn)生無(wú)可預(yù)見(jiàn)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。在混沌區(qū)內(nèi)，相空間中的伸縮與折疊變換以不同的方式永不停息又永不重復(fù)地進(jìn)行，從而造成了相軌道永不自交又永不相交的穿插盤繞、分離匯聚，完全“忘掉了”初始狀態(tài)的一切信息，“丟棄了”未來(lái)與過(guò)去之間的一切聯(lián)系，呈現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)。這就是系統(tǒng)長(zhǎng)期行為對(duì)初值的敏感依賴性的源由。本來(lái)，斯梅爾企圖只用拉伸與擠壓去解釋一切動(dòng)力系統(tǒng)的行為，而不用會(huì)大大損害系統(tǒng)穩(wěn)定性的折疊變換。但是折疊是必要的，因?yàn)檎郫B使動(dòng)力系統(tǒng)的行為有動(dòng)力性態(tài)上的根本變化，是導(dǎo)致混沌的一種重要作用。斯梅爾馬蹄給數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家提供了一個(gè)對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的可能性的直觀理解的幾何圖象。6．“周期倍化分叉”的發(fā)現(xiàn)在動(dòng)力系統(tǒng)演化過(guò)程中的某些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，系統(tǒng)的定態(tài)行為可能發(fā)生性質(zhì)的改變，原來(lái)的穩(wěn)定定態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定定態(tài)，同時(shí)出現(xiàn)新的更多的定態(tài)，這種現(xiàn)象叫作“分叉”（bifurcation）。分叉是由運(yùn)動(dòng)方程中參數(shù)的變化引起的，所以往往要用“參數(shù)空間”來(lái)描繪分叉現(xiàn)象。隨著參數(shù)的變化，分叉可以一次接一次地相繼出現(xiàn)，而這種分叉序列又往往是出現(xiàn)混沌的先兆，最終會(huì)導(dǎo)致混沌。生物群體數(shù)量（“蟲口”）變化的研究以及涉及到的一類典型一維映射的分叉現(xiàn)象的研究，在20世紀(jì)70年代混沌學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展中曾經(jīng)起到過(guò)特殊的作用。澳大利亞昆蟲學(xué)家尼科爾森（Nicholson，A.J.）曾經(jīng)在一個(gè)大瓶子里用有限的蛋白質(zhì)食物喂養(yǎng)了一瓶子綠頭蒼蠅，研究受到空間和食物限制的蒼蠅群體數(shù)目（“蠅口”）的變化。他觀察到有時(shí)綠頭蒼蠅可繁殖到將近一萬(wàn)只；過(guò)些時(shí)候又會(huì)降至幾百只。蠅口繁殖過(guò)快超過(guò)容器的空間限制后數(shù)目就急劇減少，而活動(dòng)空間的擴(kuò)大又使蠅口快速增長(zhǎng)；蠅口決不會(huì)單調(diào)增大或單調(diào)減少，呈現(xiàn)一種周期性的漲落。尼科爾森發(fā)現(xiàn)，這個(gè)循環(huán)周期大約是38天。但每個(gè)周期內(nèi)蠅口數(shù)卻可能出現(xiàn)兩個(gè)峰值，而且到約450天后，蠅口的變化（振蕩）變得極不規(guī)則。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，蠅口數(shù)的變化包括了周期性、擬周期性和混沌。看來(lái)，生物群體應(yīng)被看做是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，是受著某種動(dòng)力驅(qū)使的。在食物受限制的地域單種生物在起起落落地繁殖著；幾種生物共存的區(qū)域，各種生物在生存競(jìng)爭(zhēng)中此長(zhǎng)彼消；在捕食者與被食者之間，存在著雙向抑制作用；在宿主群體內(nèi)部，流行病在傳播?！@一切因素，都對(duì)生物群體起到約束作用，把群體限制在更合理的數(shù)目上。生態(tài)學(xué)家們一直試圖為生物群體增減尋找一個(gè)數(shù)學(xué)模型。一個(gè)合理的簡(jiǎn)化就是用離散的時(shí)間間隔去模擬蟲口的變化。因?yàn)樵S多生物群體的數(shù)目基本上都是按照一年的時(shí)間間隔變化的，而不是連續(xù)時(shí)間的變化。更有一些昆蟲，它們只在一年中的特定季節(jié)里繁殖，所以它們的一代一代之間決不會(huì)重疊。一年一年的變化，正是生態(tài)學(xué)家所要了解的全部信息。因此，描寫生物群體的方程不是連續(xù)的微分方程，而是比較簡(jiǎn)單的差分方程，這是一種迭代模型，即逐年逐年地反復(fù)用同一個(gè)函數(shù)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，它可以反映由一個(gè)狀態(tài)（數(shù)目）到另一個(gè)狀態(tài)（數(shù)目）的跳躍變化。這個(gè)差分方程應(yīng)該反映出以下影響蟲口增減的因素：第一，蟲口的增長(zhǎng)必定與前一年的蟲口數(shù)目成正比，這是一個(gè)線性關(guān)系，比例系數(shù)k即群體的增長(zhǎng)率；第二，蟲口的增長(zhǎng)又受到空間、食物、流行病等許多因素的限制，不可能無(wú)限增長(zhǎng)。實(shí)際情況是，群體小時(shí)穩(wěn)定增長(zhǎng)，群體適中時(shí)增殖量近于零，群體暴漲時(shí)急劇下降。一個(gè)較好的方程是由迭代邏輯斯蒂映射所得到的非線性邏輯斯蒂（Logistic）差分方程xt+1=kxt(1-xt)x表示蟲口的相對(duì)數(shù)，它被定義為介于0和1之間的數(shù)，0代表滅絕，1代表群體的最大蟲口數(shù)；t表示時(shí)間，它只能以整數(shù)0，1，2，3……跳躍；生殖增長(zhǎng)率k代表了這一模型的一個(gè)十分重要的特征，表示拉伸或壓縮的程度，也即非線性程度。從幾何學(xué)上講，邏輯斯蒂映射表示以不均勻的方式拉伸或壓縮一個(gè)線段，然后再加以折疊。對(duì)于一個(gè)生物群體來(lái)說(shuō)，參數(shù)k越低，意味著群體最終將在較低的數(shù)量水平上滅絕；參數(shù)k的值提高以后，群體的數(shù)量也不會(huì)無(wú)限增長(zhǎng)，這是可以理解的。但是計(jì)算表明，在k值提高后，群體卻不可能收斂于一個(gè)定態(tài)水平，這是令人費(fèi)解的。20世紀(jì)70年代，美國(guó)普林斯頓大學(xué)的生態(tài)學(xué)家羅伯特·梅（RobertMay）開(kāi)始利用計(jì)算機(jī)對(duì)這種單一群體生物隨時(shí)間而變化的最簡(jiǎn)單的生態(tài)學(xué)方程進(jìn)行系統(tǒng)的研究。他對(duì)這一非線性參數(shù)試用不同的值進(jìn)行迭代計(jì)算。他發(fā)現(xiàn)，改變的不僅僅是輸出的數(shù)量，而且也改變了輸出的性質(zhì)；因?yàn)樗粌H影響著平衡時(shí)群體的數(shù)值，而且還影響群體是否能夠?qū)崿F(xiàn)平衡。梅編制了計(jì)算機(jī)程序，慢慢增加k值，對(duì)方程進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算。他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k值小于1時(shí)，在0到1之間任意取初值x0，經(jīng)過(guò)若干次迭代，蟲口數(shù)趨于終態(tài)x*=0，表示生物群體將滅絕，這是可以預(yù)料的。當(dāng)1＜k＜3時(shí)，任取初值x0，經(jīng)過(guò)一系列迭代（演化過(guò)程）后，蟲口數(shù)越來(lái)越趨于一個(gè)穩(wěn)定態(tài)x*=1-1/k；如取k=2，則蟲口數(shù)將最終穩(wěn)定在x*=0.5；若取k=2.4，則x*=0.5833；若取k=2.7，則x*=0.6292；隨著k值的增大，穩(wěn)定平衡值也會(huì)增大，但系統(tǒng)的行為沒(méi)有質(zhì)的變化，都會(huì)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的定態(tài)（即蟲口數(shù)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值）。為了在全局上對(duì)邏輯斯蒂差分方程的解（即最終定態(tài)）做出了解，梅以參數(shù)k值的變化為橫坐標(biāo)，以群體最終蟲口數(shù)為縱坐標(biāo)，把二者的變化關(guān)系集攏在一張圖上（圖8）。迭代計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k值超過(guò)3之后，系統(tǒng)的定態(tài)失穩(wěn)了，這條線分裂為兩條，蟲口交替振蕩于兩年的兩點(diǎn)之間，x*值在兩個(gè)數(shù)之間一年一換地交替躍變，這是周期2循環(huán)。當(dāng)k值增大到3.5左右時(shí)，周期2吸引子也開(kāi)始失穩(wěn)，出現(xiàn)周期4循環(huán)，群體的不同起始值x*都收斂于以4年為周期的循環(huán)中，每4年返回近原值一次。當(dāng)k值增至3.56后，周期又加倍到8；k到3.567時(shí)，周期達(dá)到16。此后將更快地出現(xiàn)32、64、128……的周期倍化序列。這就是“周欺倍化級(jí)聯(lián)”；倍周期就是分叉或雙分枝現(xiàn)象。周期分裂再分裂，這種雙分枝越來(lái)越快地發(fā)生，以致到k=3.58左右這種分裂突然呈現(xiàn)崩潰之勢(shì)，周期性態(tài)就變成混沌，蟲口的漲落再也不會(huì)確定下來(lái)，蟲口的逐年變化完全成為隨機(jī)的，全部區(qū)域染成了墨色。這么簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在非線性作用下，當(dāng)k從0趨向4時(shí)，其動(dòng)力學(xué)性態(tài)的復(fù)雜性逐步增加，即從定態(tài)變?yōu)橹芷谛詰B(tài)，通過(guò)周期倍化級(jí)聯(lián)而到達(dá)混沌性態(tài)。但這還不是最終的圖景。更令人驚奇的是，在這個(gè)復(fù)雜的區(qū)域中又會(huì)突然出現(xiàn)一個(gè)有正規(guī)周期的窗口（圖8中狹窄的白條部分）；不過(guò)周期由偶數(shù)變?yōu)槠鏀?shù)。如當(dāng)k=3.835時(shí)，出現(xiàn)周期3循環(huán)；輕微地增加k值，周期以新的“倍化級(jí)聯(lián)”出現(xiàn)6、12、24、48……周期。當(dāng)k=3.739時(shí)，將得到周期5循環(huán)，此后又是雙分枝的10、20、40……的周期。愈來(lái)愈快的倍周期雙分枝再度爆發(fā)出現(xiàn)混沌。這是一個(gè)十分奇妙的圖景：分叉再分叉，加快更加快，周期性態(tài)走向混沌性態(tài)，混沌區(qū)內(nèi)又出現(xiàn)周期窗口；窗口內(nèi)還有更小的窗口，出現(xiàn)更稠密的周期性態(tài)；放大任何窗口，都會(huì)重現(xiàn)整個(gè)圖景的微縮復(fù)本。圖象特別明顯地顯示出，周期區(qū)內(nèi)分叉序列中兩個(gè)相鄰分叉點(diǎn)之間的距離越來(lái)越快地縮短，而且似乎有某種規(guī)則的比例關(guān)系。美國(guó)物理學(xué)家費(fèi)根鮑姆(Feigenbaum，Mitchell)敏銳地覺(jué)察到了這種幾何收斂的周期僵化級(jí)聯(lián)現(xiàn)象的規(guī)則性，對(duì)收斂的速度——標(biāo)度比的值進(jìn)行了深入的探討。1975～1976年，費(fèi)根鮑姆在一次會(huì)議上聽(tīng)到斯梅爾關(guān)于邏輯斯蒂映射及其通過(guò)周期倍化級(jí)聯(lián)走向混沌的介紹后，投入到對(duì)邏輯斯蒂映射的研究。那個(gè)時(shí)代，使用計(jì)算機(jī)是件麻煩冗長(zhǎng)的過(guò)程，要用穿孔卡分批輸入數(shù)據(jù)，幾天后才能出結(jié)果。所以費(fèi)根鮑姆寧肯用惠普HP65型可編程計(jì)算器，這是一個(gè)幸運(yùn)的選擇。因?yàn)橛?jì)算器算得很慢，促使操作者在結(jié)果出來(lái)以前常去思考它。為了節(jié)省時(shí)間，費(fèi)根鮑姆就嘗試大致揣測(cè)級(jí)聯(lián)中的下一個(gè)分叉點(diǎn)可能在哪里。不久他就發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，相繼的分叉點(diǎn)之差具有恒定的比率，前一個(gè)差值約為后一個(gè)差值的4倍，更精確地說(shuō)，這二者的比率約為4.669。對(duì)一個(gè)物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，恒定比率意味著標(biāo)度率，表明物理學(xué)特征必在愈來(lái)愈小的標(biāo)度上再現(xiàn)，這當(dāng)然是極為重要的。費(fèi)根鮑姆用這個(gè)方法對(duì)另一個(gè)映射即三角映射x→ksin(x)進(jìn)行了計(jì)算，同樣發(fā)現(xiàn)了周期倍化級(jí)聯(lián)和幾何收斂現(xiàn)象，更為驚人的是它的標(biāo)度比值也是4.669。費(fèi)根鮑姆利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行了更精確的計(jì)算。對(duì)于邏輯斯蒂映射，他很快得出了一個(gè)更精確的標(biāo)度比值：4.6692016090；對(duì)三角映射重復(fù)計(jì)算，到小數(shù)點(diǎn)后10位，兩數(shù)完全相同?？磥?lái)標(biāo)度比不依賴于方程，無(wú)論邏輯斯蒂映射還是三角映射，沒(méi)有什么差別。這當(dāng)然不可能是巧合。費(fèi)根鮑姆的發(fā)現(xiàn)表明，在邏輯斯蒂映射一類的非線性映射中，倍周期分叉遵循一個(gè)普適性規(guī)律：當(dāng)t→∞時(shí)，分叉間距比存在一個(gè)極限值（更精確的）δ=4.66920160910399097……同時(shí)，分叉也在越來(lái)越窄的寬度上出現(xiàn)，這又是一種普適性規(guī)律：相鄰兩個(gè)分枝間的寬度按一定比率縮小，縮小因子在t→∞時(shí)也存在極限值α=2.5029078750958928485……這兩個(gè)常數(shù)被稱為“費(fèi)根值”(Feigenvalue)。費(fèi)根值的普適性也具有相對(duì)性，它只適用于具有像拋物線那樣的峰的單峰映射；對(duì)于多峰或者具有扁平峰和尖峰那樣的情況，標(biāo)度比值將會(huì)不同；但每一類的映射，其標(biāo)度比總是相同的。費(fèi)根鮑姆的發(fā)現(xiàn)，是一條普遍適用于一切從有序轉(zhuǎn)變到混沌的動(dòng)力系統(tǒng)在轉(zhuǎn)變點(diǎn)上的自然規(guī)律。這種普適性不僅是結(jié)構(gòu)的，而且是測(cè)度的。這一發(fā)現(xiàn)的意義在于，動(dòng)力系統(tǒng)中存在著標(biāo)度變換，它不僅控制著分叉花樣，而且延伸到精確數(shù)值。事物整體具有與其部分相似的結(jié)構(gòu)，說(shuō)明在完全確定的系統(tǒng)中不需要引入任何干擾，就可能出現(xiàn)不規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，這是一種內(nèi)稟特性。費(fèi)根鮑姆關(guān)于普適性的發(fā)現(xiàn)，指引人們走上混沌科學(xué)的大道，推動(dòng)了非線性科學(xué)的發(fā)展。費(fèi)根鮑姆寫道①：“物理學(xué)中有一條基本假定，那就是分析分析再分析，把事物的組成分離出來(lái)，直到你真正明白基本的東西在單純的狀態(tài)以如何簡(jiǎn)明的規(guī)律行事，然后，你就假定那些你還不懂的事物都是細(xì)節(jié)?！钡乾F(xiàn)在不行了，因?yàn)椤按罅肯到y(tǒng)底層有一反復(fù)運(yùn)行之規(guī)律，需要用另一種思維去認(rèn)識(shí)它?！@要拋棄純分析的方法，不能分析分析再分析?！彼又鴮懙溃骸叭祟愐肀傩聫?，必須捉住標(biāo)度結(jié)構(gòu)這一環(huán)，看看大家伙與小家伙的關(guān)系如何?！@產(chǎn)生復(fù)雜性的、持續(xù)進(jìn)行的單一過(guò)程卻與大小尺寸無(wú)關(guān)，與地點(diǎn)無(wú)關(guān)，與時(shí)間無(wú)關(guān)，它是普適的標(biāo)度變換，它存在于大與小的自相似之中，由小到大自相似的放大比率就是一個(gè)普適的費(fèi)根鮑姆常數(shù)?！弊詈?，他感慨萬(wàn)千地寫道：“大地充滿了美，引人入勝?？茨闶鞘裁绰殬I(yè)你就如何理解”。7．湍流研究和奇怪吸引子湍流現(xiàn)象普遍存在于行星和地球大氣、海洋、江河、火箭尾流、鍋爐燃燒室、血液流動(dòng)等自然現(xiàn)象和工程技術(shù)中。湍流的出現(xiàn)將使流體中的質(zhì)量、動(dòng)量和能量的輸運(yùn)速度大大加快，從而引起各種機(jī)械的阻力驟增，效率下降，能耗加大，噪音增強(qiáng)，結(jié)構(gòu)振顫加劇乃至破壞，如使飛機(jī)墜落，輸油管阻塞。另一方面，湍流又可能加速噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)油料的混合和充分燃燒，提高燃燒效率和熱交換效率，加快化學(xué)反應(yīng)的速度和混合過(guò)程。所以湍流的研究對(duì)工程技術(shù)的進(jìn)步有重要意義。同時(shí)湍流本身也是物理學(xué)領(lǐng)域中尚未取得重大突破的基礎(chǔ)研究課題之一。因此長(zhǎng)期以來(lái)湍流的研究一直受到各方面的重視。湍流是流體中局部速度、壓力等力學(xué)量在時(shí)間和空間中發(fā)生不規(guī)則脈動(dòng)的流體運(yùn)動(dòng)。其基本特征是流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)性，它不僅有橫向脈動(dòng)，而且有反向運(yùn)動(dòng)，各個(gè)微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡極其紊亂，各個(gè)部分之間劇烈滲混，流場(chǎng)極不穩(wěn)定，隨時(shí)間變化很快。湍流的運(yùn)動(dòng)不僅有無(wú)窮多個(gè)自由度，大、中、小、微各種尺寸的渦旋層層相套，而且運(yùn)動(dòng)的能量迅速由大尺度運(yùn)動(dòng)分散到小尺度運(yùn)動(dòng)，錯(cuò)綜復(fù)雜地由整化零，是高度耗散的。湍流是經(jīng)過(guò)一次或多次突變形成的，在紊亂無(wú)規(guī)的背景中又會(huì)出現(xiàn)大尺度、相當(dāng)規(guī)則的結(jié)構(gòu)和協(xié)調(diào)一致的運(yùn)動(dòng)，所以給研究工作帶來(lái)極大的困難，經(jīng)過(guò)一百多年的研究，現(xiàn)在還沒(méi)有得到令人滿意的理論解釋。有一個(gè)傳說(shuō)，說(shuō)量子力學(xué)家海森伯在臨終前的病榻上向上帝提了兩個(gè)問(wèn)題：上帝??！你為何賜予我們相對(duì)論？為何賜予我們湍流？海森伯說(shuō)：“我相信上帝也只能回答第一個(gè)問(wèn)題”。早在1893年，龐加萊就發(fā)現(xiàn)了湍流問(wèn)題，但又偏離了它。他發(fā)現(xiàn)，液體流中的渦旋通常不擴(kuò)散，而是傾向于集中到單個(gè)渦旋之中。他說(shuō)這一現(xiàn)象還沒(méi)有恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)解釋。實(shí)際上他討論的是二維現(xiàn)象，還不是真正的湍流，但與間歇現(xiàn)象有明顯的聯(lián)系，表明他已很接近湍流的探討。1895年，雷諾(Reynolds，Osborne1842～1912)提出湍流瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)可分解為時(shí)間平均和脈動(dòng)兩個(gè)部分，即其中是相應(yīng)力學(xué)量的時(shí)間平均量，f′是脈動(dòng)值。將這個(gè)分解式代到納維-斯托克斯方程組中，可得到關(guān)于平均流動(dòng)元素滿足的雷諾方程組。但方程組不封閉，多出6個(gè)未知的湍應(yīng)力分量。只有找到湍應(yīng)力和平均流動(dòng)元素之間的相應(yīng)關(guān)系式，才可使方程組封閉，至今這一問(wèn)題仍未獲解決。法國(guó)流體動(dòng)力學(xué)家?guī)彀Ｌ?Couette，M.M.1858～1943)為了研究流體被扭曲的“切變流”，曾制造了一個(gè)筒里套筒的雙圓筒裝置，中間裝上水，使外筒固定，內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)，有控制地進(jìn)行切變實(shí)驗(yàn)。1923年，英國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)家泰勒(Taylor，GeoffreyIngram1886～1975)利用這種旋轉(zhuǎn)同心柱體進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。當(dāng)內(nèi)筒轉(zhuǎn)速足夠高時(shí)，發(fā)現(xiàn)流體不再平穩(wěn)地轉(zhuǎn)動(dòng)，而是攪亂成成對(duì)的渦旋，渦旋會(huì)變成波狀，波動(dòng)又此起彼伏，出現(xiàn)麻花渦旋、辮子渦旋等螺旋模式；轉(zhuǎn)速更高時(shí)，系統(tǒng)則呈湍流狀（圖9）。

由于湍流看起來(lái)包含著十分微小的渦旋，而小于原子尺度的渦旋又是不可想象的，所以可以設(shè)想湍流是原子結(jié)構(gòu)的宏觀效應(yīng)。1934年，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒雷(Leray)提出，納維-斯托克斯方程在原子尺度上的不準(zhǔn)確度，經(jīng)過(guò)物理流傳播后規(guī)模變大而形成湍流。他據(jù)此解釋了湍流的間歇現(xiàn)象。1941年，前蘇聯(lián)科學(xué)家柯?tīng)柲宸驅(qū)u旋的性質(zhì)提出了一些看法。他設(shè)想，大渦旋中形成更小的渦旋，而每一次都會(huì)消耗流體的能量；當(dāng)渦旋變得非常小，粘性流體的能量也會(huì)減少到一個(gè)極限值。他認(rèn)為，這些渦旋充滿流體的整個(gè)空間，使得流體處處相同。實(shí)際上這個(gè)均勻性假設(shè)并不正確，他忽視了湍流的間歇現(xiàn)象。40年前龐加萊就已經(jīng)看到，在江河的湍流中，渦流總是和平穩(wěn)流混在一起的，能量?jī)H在空間的一部分中耗散。在湍流區(qū)域的各種尺度下，都存在著平靜的區(qū)域；在從大到小的所有尺度下，洶涌的區(qū)域與平靜的區(qū)域是互相混雜的。這就是間歇現(xiàn)象。那么，平穩(wěn)流是如何變成湍流的呢？也就是說(shuō)湍流開(kāi)始的時(shí)候是通過(guò)什么樣的步驟形成的呢？1944年，前蘇聯(lián)物理學(xué)家朗道(Landau，Lev1908～1968)在一篇論文中提出了湍流肇始的一幅圖景：當(dāng)表征系統(tǒng)中外力與粘滯力競(jìng)爭(zhēng)的無(wú)量綱雷諾數(shù)為零時(shí)，流體將做光滑的平穩(wěn)流動(dòng)；當(dāng)由于外界的擾動(dòng)而使雷諾數(shù)增大時(shí)，層流中分枝出一個(gè)周期軌道，對(duì)應(yīng)于流體的周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)更多的能量進(jìn)入流體，即雷諾數(shù)不斷增大時(shí)，每次都出現(xiàn)一個(gè)與上一個(gè)頻率不和諧的頻率；當(dāng)頻率數(shù)足夠大時(shí)，擬周期運(yùn)動(dòng)即轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?。這就是說(shuō)，各種不同頻率的運(yùn)動(dòng)的積累和疊加，相互交錯(cuò)干擾，就會(huì)產(chǎn)生非常復(fù)雜的湍流。1948年，德國(guó)數(shù)學(xué)家霍普夫(Hopf，Eberhard1902～1983)按照同朗道一致的思路，提出了一個(gè)更加詳細(xì)的理論，即通過(guò)擺振的積累而由平穩(wěn)層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯木唧w機(jī)制。此后20多年，霍普夫-朗道理論曾被廣泛接受。1967年，Kline首先利用氫氣泡顯示技術(shù)通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了近壁湍流的相干結(jié)構(gòu)（擬序結(jié)構(gòu)）。這種大尺度的渦旋運(yùn)動(dòng)在將流體的平均運(yùn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯膭?dòng)能的過(guò)程中，起了主要的作用。人們通過(guò)進(jìn)一步的流體動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)，還發(fā)現(xiàn)了自由剪切流的相干結(jié)構(gòu)。到80年代，流體力學(xué)家們普遍認(rèn)識(shí)到相干結(jié)構(gòu)是對(duì)湍流的生成、維持和演化起主要作用的結(jié)構(gòu)。所以有人認(rèn)為相干結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)是湍流研究上的一個(gè)革命性的進(jìn)展。不過(guò)到目前為止，關(guān)于相干結(jié)構(gòu)的定義、成因和定量分析還有不少問(wèn)題有待研究。關(guān)于湍流的形成，即流體的運(yùn)動(dòng)是如何從層流轉(zhuǎn)變成湍流的問(wèn)題，目前流行的看法是認(rèn)為，在層流中由于各種原因出現(xiàn)的擾動(dòng)波，經(jīng)演化、放大、失穩(wěn)而導(dǎo)致流體運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定，最終發(fā)展為湍流。70年代以來(lái)，非線性科學(xué)關(guān)于混沌現(xiàn)象的理論和實(shí)驗(yàn)研究的進(jìn)展，為解決湍流理論的百年難題提供了啟示。特別為解決湍流的發(fā)生機(jī)制、小尺度混亂與大尺度結(jié)構(gòu)共存等問(wèn)題帶來(lái)了希望。1971年，法國(guó)物理學(xué)家茹勒(Ruelle，David)和荷蘭數(shù)學(xué)家泰肯斯(Takens，F(xiàn)loris)的《論湍流的本質(zhì)》一文，對(duì)湍流的研究產(chǎn)生了很大的影響。他們的結(jié)論否定了霍普夫-朗道關(guān)于湍流起始階段的傳統(tǒng)觀點(diǎn)。朗道和霍普夫的直覺(jué)即一系列不同頻率擺振的累積在數(shù)學(xué)上和物理學(xué)上似乎是容易理解的，但他們的理論在某種程度上是源于哈密頓動(dòng)力學(xué)的，不適用于有摩擦的耗散系統(tǒng)。在粘滯流體的流動(dòng)中充滿著摩擦。茹勒和泰肯斯指出，由平穩(wěn)流向湍流的轉(zhuǎn)變，不需要一系列的頻率，只要三個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)就會(huì)產(chǎn)生湍流的全部復(fù)雜性。他們描繪出如下的圖景：第一次轉(zhuǎn)變，即從定態(tài)到單個(gè)擺振，產(chǎn)生流體中的周期運(yùn)動(dòng)。第二次轉(zhuǎn)變，即加上一個(gè)不同頻率的擺振，開(kāi)始時(shí)像兩個(gè)獨(dú)立的周期運(yùn)動(dòng)的擬周期疊加，但這種運(yùn)動(dòng)不能繼續(xù)保持下去，微小的擾動(dòng)就會(huì)破壞掉它。兩個(gè)獨(dú)立的周期運(yùn)動(dòng)將相互作用而變得同步，合成為具有單個(gè)合成周期的周期運(yùn)動(dòng)，即發(fā)生鎖頻現(xiàn)象。當(dāng)有三個(gè)疊加頻率時(shí)，不再發(fā)生頻率的鎖定現(xiàn)象，而會(huì)出現(xiàn)一個(gè)新奇的結(jié)果，即運(yùn)動(dòng)進(jìn)入維數(shù)不多的“奇怪吸引子”。他們認(rèn)為，湍流能量的耗散，必定導(dǎo)致相空間的壓縮，把運(yùn)動(dòng)軌跡向著吸引子的低維相區(qū)推進(jìn)。這個(gè)吸引子不會(huì)是不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)橥牧鞑?/p>