河北省2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（容易題）（含解析）

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一．?dāng)?shù)軸（共2小題）

1．（2023豐潤(rùn)區(qū)二模）用直尺畫數(shù)軸時(shí)，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C分別代表數(shù)字a，b，c，已知AB＝8，BC＝3，如圖所示，設(shè)點(diǎn)p＝a+b+c，該軸的原點(diǎn)為O．

（1）若點(diǎn)A所表示的數(shù)是﹣1，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是；

（2）若點(diǎn)A，B所表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是，此時(shí)p的值為；

（3）若數(shù)軸上點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離為4，求p的值．

2．（2023清苑區(qū)二模）數(shù)軸上有M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M表示的數(shù)為4﹣x，點(diǎn)N表示的數(shù)為2x﹣5．

（1）若點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求點(diǎn)M表示的數(shù)．

（2）若點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，求x的正整數(shù)值．

二．有理數(shù)的加法（共1小題）

3．（2023廣陽(yáng)區(qū)二模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D是單位長(zhǎng)度為1的數(shù)軸上的四個(gè)連續(xù)整數(shù)點(diǎn)，其中一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是0．

（1）若點(diǎn)B與點(diǎn)D表示的數(shù)的和為4，求表示的數(shù)為0的點(diǎn)；

（2）若這四個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的和大于﹣12，求點(diǎn)B表示的數(shù)的最小值．

三．有理數(shù)的乘方（共2小題）

4．（2023競(jìng)秀區(qū)二模）在數(shù)學(xué)課上，老師對(duì)大家說(shuō)：“你任意想一個(gè)非零數(shù)，然后按下列步驟操作，我都會(huì)直接說(shuō)出你運(yùn)算的最后結(jié)果．”

操作步驟如下：

第一步：計(jì)算這個(gè)數(shù)與2的和的平方，減去這個(gè)數(shù)與2的差的平方；

第二步：把第一步得到的數(shù)乘以25；

第三步：把第二步得到的數(shù)除以你想的這個(gè)數(shù)．

（1）若嘉穎同學(xué)心里想的是數(shù)7，請(qǐng)幫她計(jì)算出最后結(jié)果；

（2）同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：“無(wú)論心里想的是什么非零數(shù)，按照以上步驟進(jìn)行操作，得到的最后結(jié)果都相等．”嘉穎同學(xué)想驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫她完成這個(gè)驗(yàn)證過(guò)程．

5．（2023藁城區(qū)二模）老師就式子3×□+9﹣〇，請(qǐng)同學(xué)們自己出問(wèn)題并解答．

（1）小磊的問(wèn)題：若□代表（﹣2）2，〇代表（﹣1）3，計(jì)算該式的值；

（2）小敏的問(wèn)題：若3×□+9﹣〇＝8，□代表某數(shù)的平方，〇代表該數(shù)與1的和的平方，求該數(shù)．

四．列代數(shù)式（共1小題）

6．（2023河北二模）夏令營(yíng)活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一款游戲：四名同學(xué)分別代表一種運(yùn)算，這四名同學(xué)可任意排列，每次排列代表一種運(yùn)算順序，一名同學(xué)負(fù)責(zé)說(shuō)數(shù)，其他同學(xué)進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果既對(duì)又快者獲勝．下面我們用四張卡片分別代表四名同學(xué)，每張卡片上寫有他們代表的運(yùn)算．

比如，說(shuō)的數(shù)是1，這四名同學(xué)從左到右的排列順序（后面簡(jiǎn)稱為排列順序）為A，B，C，D，那么經(jīng)過(guò)A，B，C，D的順序運(yùn)算后，結(jié)果分別為2，3，9，11，所以結(jié)果為11．

【體驗(yàn)】

先列式，再計(jì)算：

（1）如果說(shuō)的數(shù)是﹣1，四名同學(xué)的排列順序?yàn)锽，C，A，D，運(yùn)算的結(jié)果是多少？

【思考與探究】

（2）如果說(shuō)的數(shù)是a，四名同學(xué)的排列順序?yàn)镈，C，A，B，運(yùn)算結(jié)果是9，a是多少？

（3）如果甲乙兩同學(xué)說(shuō)的數(shù)分別為x，1﹣x，按照ADCB的順序運(yùn)算后，要使乙同學(xué)的結(jié)果大，求x的取值范圍．

五．代數(shù)式求值（共1小題）

7．（2023裕華區(qū)二模）如圖為一個(gè)運(yùn)算程序，其結(jié)果為P．

（1）當(dāng)x為4時(shí)，求P的值；

（2）若P為非負(fù)數(shù)，求x的最小整數(shù)值．

六．整式的加減—化簡(jiǎn)求值（共1小題）

8．（2023武安市二模）一道求值題不小心弄污損了，嘉嘉隱約辨識(shí)：化簡(jiǎn)（□m2+3m﹣4）﹣（3m+4m2﹣2），其中m＝﹣1．系數(shù)“□”看不清楚了．

（1）如果嘉嘉把“□”中的數(shù)值看成2，求上述代數(shù)式的值；

（2）若無(wú)論m取任意的一個(gè)數(shù)，這個(gè)代數(shù)式的值都是﹣2，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算幫助嘉嘉確定“□”中的數(shù)值．

七．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

9．（2023任丘市二模）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕上的數(shù)字就會(huì)自動(dòng)加上2．已知屏幕上的初始數(shù)字為﹣10，如圖所示．

（1）從初始狀態(tài)按2次后，求屏幕上顯示的結(jié)果；

（2）按n次按鍵后，若屏幕上顯示的數(shù)字不小于0，求n的最小值

八．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

10．（2023橋西區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有M（﹣4，1），N（1，6）兩點(diǎn)，從點(diǎn)A（﹣1，0）發(fā)出一束光線照向線段MN上的動(dòng)點(diǎn)P．

（1）求直線MN的解析式；

（2）若光線AP的解析式為y＝mx+n，請(qǐng)寫出m，n之間的數(shù)量關(guān)系，并求出m的取值范圍；

（3）若光線AP經(jīng)過(guò)MN的反射后落在x軸上的（﹣3，0）處，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的值．

九．二次函數(shù)的性質(zhì)（共1小題）

11．（2023青龍縣二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，10），B（1，4），C（2，7）三點(diǎn)．回答下列問(wèn)題：

（1）自變量x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，因變量隨自變量的增大而減小？

（2）函數(shù)有最大值，還是有最小值？自變量x取什么值時(shí)，因變量y取得這個(gè)最大值或最小值？最大值或最小值是多少？

（3）這個(gè)圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移運(yùn)動(dòng)，就能得到以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的一條拋物線？

一十．圓的綜合題（共1小題）

12．（2023邢臺(tái)二模）已知，在平行四邊形ABCD中，AB＝10，．

（1）點(diǎn)P在邊AD上，連接BP．

①如圖1，延長(zhǎng)BP交CD的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，若AP＝2PD，求DM的長(zhǎng)；

②將BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到PQ，求的長(zhǎng)的最小值；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于E點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CD上，且DE＝4，點(diǎn)O是射線AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD邊只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求OA的取值范圍．

一十一．列表法與樹狀圖法（共2小題）

13．（2023豐潤(rùn)區(qū)二模）某校積極落實(shí)“雙減”政策，將要開(kāi)設(shè)拓展課程，為讓學(xué)生可以根據(jù)自己的興趣愛(ài)好選擇最喜歡的課程，進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，問(wèn)卷設(shè)置以下四種選項(xiàng)：A（綜合模型）、B（攝影藝術(shù)）、C（音樂(lè)鑒賞）、D（勞動(dòng)實(shí)踐），隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，每名學(xué)生必須且只能選擇其中最喜歡的一種課程，并將調(diào)查結(jié)果整理繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖．

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：

（1）此次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為名，并直接在答題卡中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）求拓展課程D（勞動(dòng)實(shí)踐）所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；

（3）小明和小蘭都從A，B，C，D四種課程中選擇一種自己喜歡的課程，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求他們選中同一課程的概率．

14．（2023藁城區(qū)二模）在一個(gè)不透明的口袋中共有7張除顏色外完全相同的卡片，其中白色卡片2張，黃色卡片5張．

（1）如果從口袋中任意摸出1張卡片，摸出白色卡片的概率是；

（2）在5張黃色卡片上分別寫上1，2，3，4，5，反面朝上放在甲盒里：在2張白色卡片上分別寫上4，5，反面朝上放在乙盒里，先從甲盒中任意摸出一張卡片作為十位數(shù)，再?gòu)囊液兄腥我饷鲆粡埧ㄆ鳛閭€(gè)位數(shù)，組成兩位數(shù)，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法，求組成的兩位數(shù)是5的倍數(shù)的概率．

河北省2023年各地區(qū)中考考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題按題型難易度分層分類匯編-03解答題（容易題）

參考答案與試題解析

一．?dāng)?shù)軸（共2小題）

1．（2023豐潤(rùn)區(qū)二模）用直尺畫數(shù)軸時(shí)，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C分別代表數(shù)字a，b，c，已知AB＝8，BC＝3，如圖所示，設(shè)點(diǎn)p＝a+b+c，該軸的原點(diǎn)為O．

（1）若點(diǎn)A所表示的數(shù)是﹣1，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是10；

（2）若點(diǎn)A，B所表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點(diǎn)C所表示的數(shù)是7，此時(shí)p的值為7；

（3）若數(shù)軸上點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離為4，求p的值．

【答案】（1）10；（2）7，7；（3）﹣2或﹣26．

【解答】解：（1）∵AB＝8，BC＝3，

∴AC＝AB+BC＝8+3＝11，

∵點(diǎn)A所表示的數(shù)是﹣1，

∴點(diǎn)C所表示的數(shù)是﹣1+11＝10；

故答案為：10．

（2）∵點(diǎn)A，B所表示的數(shù)互為相反數(shù)，

∴原點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，

∵AB＝8，

∴OA＝OB＝4，

∴a＝﹣4，b＝4，

∵BC＝3，

∴c＝3+4＝7，

p＝a+b+c＝﹣4+4+7＝7，

故答案為：7，7．

（3）∵點(diǎn)C表示的數(shù)為4，AB＝8，BC＝3，

∴c＝4時(shí)，b＝4﹣3＝1，a＝1﹣8＝﹣7，

c＝﹣4時(shí)，b＝﹣4﹣3＝﹣7，a＝﹣7﹣8＝﹣15，

∴p＝a+b+c＝﹣7+1+4＝﹣2，或p＝﹣15﹣7﹣4＝﹣26．

2．（2023清苑區(qū)二模）數(shù)軸上有M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M表示的數(shù)為4﹣x，點(diǎn)N表示的數(shù)為2x﹣5．

（1）若點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求點(diǎn)M表示的數(shù)．

（2）若點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，求x的正整數(shù)值．

【答案】（1）3；

（2）1和2．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴4﹣x+2x﹣5＝0，

解得x＝1，

∴4﹣x＝3，

∴點(diǎn)M表示的數(shù)為3；

（2）若點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，

∴4﹣x＞2x﹣5，

解得x＜3，

∴x的正整數(shù)值為1和2．

二．有理數(shù)的加法（共1小題）

3．（2023廣陽(yáng)區(qū)二模）如圖，點(diǎn)A，B，C，D是單位長(zhǎng)度為1的數(shù)軸上的四個(gè)連續(xù)整數(shù)點(diǎn)，其中一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是0．

（1）若點(diǎn)B與點(diǎn)D表示的數(shù)的和為4，求表示的數(shù)為0的點(diǎn)；

（2）若這四個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的和大于﹣12，求點(diǎn)B表示的數(shù)的最小值．

【答案】（1）A點(diǎn)；

（2）﹣2．

【解答】解：（1）設(shè)B點(diǎn)表示的數(shù)為x，則D點(diǎn)表示的數(shù)為x+2，

由題意知，x+x+2＝4，

解得x＝1，

即B點(diǎn)表示的數(shù)為1，

∴A點(diǎn)表示的數(shù)為0；

（2）∵這四個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)的和大于﹣12，A、B、C、D其中一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是0，

∴D點(diǎn)為0時(shí)，B點(diǎn)最小，

此時(shí)B點(diǎn)表示的數(shù)為﹣2．

三．有理數(shù)的乘方（共2小題）

4．（2023競(jìng)秀區(qū)二模）在數(shù)學(xué)課上，老師對(duì)大家說(shuō)：“你任意想一個(gè)非零數(shù)，然后按下列步驟操作，我都會(huì)直接說(shuō)出你運(yùn)算的最后結(jié)果．”

操作步驟如下：

第一步：計(jì)算這個(gè)數(shù)與2的和的平方，減去這個(gè)數(shù)與2的差的平方；

第二步：把第一步得到的數(shù)乘以25；

第三步：把第二步得到的數(shù)除以你想的這個(gè)數(shù)．

（1）若嘉穎同學(xué)心里想的是數(shù)7，請(qǐng)幫她計(jì)算出最后結(jié)果；

（2）同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：“無(wú)論心里想的是什么非零數(shù)，按照以上步驟進(jìn)行操作，得到的最后結(jié)果都相等．”嘉穎同學(xué)想驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫她完成這個(gè)驗(yàn)證過(guò)程．

【答案】（1）200，（2）驗(yàn)證見(jiàn)詳解．

【解答】解：（1）[（7+2）2﹣（7﹣2）2]×25÷7

＝（81﹣25）×25÷7

＝200．

（2）設(shè)心里想的非零數(shù)是a，根據(jù)題意得：

25[（a+2）2﹣（a﹣2）2]÷a

＝25（a2+4a+4﹣a2+4a﹣4）÷a

＝200．

∴無(wú)論心里想的什么非零數(shù)，得到的最后結(jié)果都是200．

5．（2023藁城區(qū)二模）老師就式子3×□+9﹣〇，請(qǐng)同學(xué)們自己出問(wèn)題并解答．

（1）小磊的問(wèn)題：若□代表（﹣2）2，〇代表（﹣1）3，計(jì)算該式的值；

（2）小敏的問(wèn)題：若3×□+9﹣〇＝8，□代表某數(shù)的平方，〇代表該數(shù)與1的和的平方，求該數(shù)．

【答案】（1）22；

（2）0或1．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：

3×（﹣2）2+9﹣（﹣1）3

＝3×4+9﹣（﹣1）

＝12+9+1

＝22；

（2）設(shè)該數(shù)為x，

根據(jù)題意得：3x2+9﹣（x+1）2＝8，

整理得：x2﹣x＝0，即x（x﹣1）＝0，

解得：x＝0或x＝1，

則該數(shù)為0或1．

四．列代數(shù)式（共1小題）

6．（2023河北二模）夏令營(yíng)活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一款游戲：四名同學(xué)分別代表一種運(yùn)算，這四名同學(xué)可任意排列，每次排列代表一種運(yùn)算順序，一名同學(xué)負(fù)責(zé)說(shuō)數(shù)，其他同學(xué)進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果既對(duì)又快者獲勝．下面我們用四張卡片分別代表四名同學(xué)，每張卡片上寫有他們代表的運(yùn)算．

比如，說(shuō)的數(shù)是1，這四名同學(xué)從左到右的排列順序（后面簡(jiǎn)稱為排列順序）為A，B，C，D，那么經(jīng)過(guò)A，B，C，D的順序運(yùn)算后，結(jié)果分別為2，3，9，11，所以結(jié)果為11．

【體驗(yàn)】

先列式，再計(jì)算：

（1）如果說(shuō)的數(shù)是﹣1，四名同學(xué)的排列順序?yàn)锽，C，A，D，運(yùn)算的結(jié)果是多少？

【思考與探究】

（2）如果說(shuō)的數(shù)是a，四名同學(xué)的排列順序?yàn)镈，C，A，B，運(yùn)算結(jié)果是9，a是多少？

（3）如果甲乙兩同學(xué)說(shuō)的數(shù)分別為x，1﹣x，按照ADCB的順序運(yùn)算后，要使乙同學(xué)的結(jié)果大，求x的取值范圍．

【答案】（1）2；

（2）a＝0或a＝﹣4；

（3）x＜﹣．

【解答】解：（1）由題意可得：

[（﹣1）﹣（﹣1）]2×2+2

＝02×2+2

＝2；

（2）由題意得：

（a+2）2×2﹣（﹣1）＝9，

（a+2）2＝4，

∴a+2＝2或a+2＝﹣2，

∴a＝0或a＝﹣4，

（3）由題意知：

甲，（x×2+2）2﹣（﹣1）

＝（2x+2）2+1

＝4x2+8x+5；

乙，[（x﹣1）×2+2]2﹣（﹣1）

＝（2x）2+1

＝4x2+1；

∵乙同學(xué)的結(jié)果大，

∴4x2+1＞4x2+8x+5，

∴x＜﹣，

∴x的取值范圍為x＜﹣．

五．代數(shù)式求值（共1小題）

7．（2023裕華區(qū)二模）如圖為一個(gè)運(yùn)算程序，其結(jié)果為P．

（1）當(dāng)x為4時(shí)，求P的值；

（2）若P為非負(fù)數(shù)，求x的最小整數(shù)值．

【答案】（1）10；

（2）1．

【解答】解：（1）當(dāng)x＝4時(shí)，

P＝3x﹣2

＝3×4﹣2

＝12﹣2

＝10；

（2）P＝3x﹣2，

∵P為非負(fù)數(shù)，

∴3x﹣2≥0，

解得：x≥，

∴x的最小整數(shù)值是1．

六．整式的加減—化簡(jiǎn)求值（共1小題）

8．（2023武安市二模）一道求值題不小心弄污損了，嘉嘉隱約辨識(shí)：化簡(jiǎn)（□m2+3m﹣4）﹣（3m+4m2﹣2），其中m＝﹣1．系數(shù)“□”看不清楚了．

（1）如果嘉嘉把“□”中的數(shù)值看成2，求上述代數(shù)式的值；

（2）若無(wú)論m取任意的一個(gè)數(shù)，這個(gè)代數(shù)式的值都是﹣2，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算幫助嘉嘉確定“□”中的數(shù)值．

【答案】（1）﹣2m2﹣2，﹣4；（2）4．

【解答】解：（1）原式＝2m2+3m﹣4﹣3m﹣4m2+2＝﹣2m2﹣2．

當(dāng)m＝﹣1時(shí)，

原式＝﹣2×（﹣1）2﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4；

（2）設(shè)□中的數(shù)值為x，則原式＝xm2+3m﹣4﹣3m﹣4m2+2＝（x﹣4）m2﹣2．

∵無(wú)論m取任意的一個(gè)數(shù)，這個(gè)代數(shù)式的值都是﹣2，

∴x﹣4＝0．

∴x＝4．

答：“□”中的數(shù)是4．

七．一元一次不等式的應(yīng)用（共1小題）

9．（2023任丘市二模）有一電腦程序：每按一次按鍵，屏幕上的數(shù)字就會(huì)自動(dòng)加上2．已知屏幕上的初始數(shù)字為﹣10，如圖所示．

（1）從初始狀態(tài)按2次后，求屏幕上顯示的結(jié)果；

（2）按n次按鍵后，若屏幕上顯示的數(shù)字不小于0，求n的最小值

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）﹣10+2×2

＝﹣10+4

＝﹣6．

答：從初始狀態(tài)按2次后，屏幕上顯示的結(jié)果為﹣6；

（2）根據(jù)題意得：﹣10+2n≥0，

解得：n≥5，

∴n的最小值為5．

答：n的最小值為5．

八．一次函數(shù)的應(yīng)用（共1小題）

10．（2023橋西區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有M（﹣4，1），N（1，6）兩點(diǎn)，從點(diǎn)A（﹣1，0）發(fā)出一束光線照向線段MN上的動(dòng)點(diǎn)P．

（1）求直線MN的解析式；

（2）若光線AP的解析式為y＝mx+n，請(qǐng)寫出m，n之間的數(shù)量關(guān)系，并求出m的取值范圍；

（3）若光線AP經(jīng)過(guò)MN的反射后落在x軸上的（﹣3，0）處，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的值．

【答案】（1）MN的解析式為y＝x+5；

（2）m，n之間的數(shù)量關(guān)系為m＝n，m的取值范圍為m≥3或m≤﹣；

（3）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的值為﹣．

【解答】解：（1）設(shè)直線MN的解析式為y＝kx+b（k≠0），

∵M(jìn)（﹣4，1），N（1，6），

則，

解得，

∴直線MN的解析式為y＝x+5；

（2）∵直線AP過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），

∴﹣m+n＝0，

∴m＝n，

即m，n之間的數(shù)量關(guān)系為m＝n，

∴y＝mx+m，

聯(lián)立方程組，

解得，

∵P在線段MN上，

∴P的橫坐標(biāo)滿足﹣4≤≤1，

①當(dāng)m﹣1＜0即m＜1時(shí)，有m﹣1≤5﹣m≤4﹣4m，

解得m≤﹣；

②當(dāng)m﹣1＞0即m＞1時(shí)，有4﹣4m≤5﹣m≤m﹣1，

解得m≥3；

③當(dāng)m＝1時(shí)，此時(shí)直線y＝x+1與直線y＝x+5平行，不合題意．

綜上所述，m的取值范圍為m≥3或m≤﹣；

（3）如圖：作出點(diǎn)A關(guān)于直線y＝x+5的對(duì)稱點(diǎn)A′，

∵A（﹣1，0），

∴A′（﹣5，4），

根據(jù)光反射原理，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′，

設(shè)D（﹣3，0），連接A′D交MN于P，

直線DA′的解析式為y＝k1x+b1，

則，

解得，

∴直線DA′的解析式為y＝﹣2x﹣6，

聯(lián)立直線MN與直線DA′，則，

解得，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xP的值為﹣，

九．二次函數(shù)的性質(zhì)（共1小題）

11．（2023青龍縣二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，10），B（1，4），C（2，7）三點(diǎn)．回答下列問(wèn)題：

（1）自變量x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，因變量隨自變量的增大而減小？

（2）函數(shù)有最大值，還是有最小值？自變量x取什么值時(shí)，因變量y取得這個(gè)最大值或最小值？最大值或最小值是多少？

（3）這個(gè)圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移運(yùn)動(dòng)，就能得到以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的一條拋物線？

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），

∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，10），B（1，4），C（2，7）三點(diǎn)，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y＝2x2﹣3x+5＝2（x﹣）2+，

∵a＝2＞0，

∴當(dāng)x＜時(shí)，y隨x的增大而減?。?/p>

（2）函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時(shí)，y最?。剑?/p>

（3）將拋物線向下平移個(gè)單位，再向左平移的單位即可得到以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的一條拋物線．

一十．圓的綜合題（共1小題）

12．（2023邢臺(tái)二模）已知，在平行四邊形ABCD中，AB＝10，．

（1）點(diǎn)P在邊AD上，連接BP．

①如圖1，延長(zhǎng)BP交CD的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，若AP＝2PD，求DM的長(zhǎng)；

②將BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到PQ，求的長(zhǎng)的最小值；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD于E點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CD上，且DE＝4，點(diǎn)O是射線AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與CD邊只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求OA的取值范圍．

【答案】（1）①5，②；

（2）OA＝8或．

【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠DMP＝∠ABP，∠MDP＝∠BAP，

∴△MDP∽△BAP，

∵AP＝2AP，

∴，

∵AB＝10，

∴DM＝＝．

②∵將BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到PQ，

∴當(dāng)BP最小時(shí)，BQ最?。?/p>

當(dāng)BP⊥AD于P點(diǎn)時(shí)，BP最小，

∵，AP2+BP2＝AB2，AB＝10，

∴AP＝6，BP＝8，

∴的長(zhǎng)的最小值＝，

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD＝AB＝10，CD∥AB

過(guò)點(diǎn)B作BP⊥AD于E點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，且DE＝4，

∴CE＝6，

∵，

∴BE＝8，

當(dāng)⊙O與CD相切于點(diǎn)G時(shí)，⊙O與線段CD只有一個(gè)交點(diǎn)，

連接OG，

∴∠OGC＝90°

∴OG∥BE，

∴四邊形OGEB為矩形，

∴OG＝OA＝BE＝8，

當(dāng)⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，連接OD，過(guò)O作OF⊥AD于F點(diǎn)，

∵BE＝8，CE＝6，

∴BC＝10＝AD，

∵OA＝OD，

∴AF＝DF＝5，

∵，

∴，

∴，

當(dāng)⊙O過(guò)點(diǎn)C時(shí)，AB＝BC＝10，

此時(shí)，點(diǎn)O在點(diǎn)B處，

∴OA＝CB＝10，

∴OA的取值范圍為OA＝8或．

一十一．列