如圖,△ABC中,ABAC,∠BAC90°,D是BC邊上任意一點(diǎn),求證BD CD

本文格式為Word版，下載可任意編輯——如圖,△ABC中,ABAC,∠BAC90°,D是BC邊上任意一點(diǎn),求證BDCD1、如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC邊上任意一點(diǎn)，求證BD2+CD2=2AD2

2、在三角形ABC中，AB=AC=m,P為BC上任意一點(diǎn)，則PA2+PB*PC的值為多少？

解：過點(diǎn)A作AN⊥BC于N。(不妨設(shè)P在NC上）

AP^2+PB*PC=AB^2-BN^2+(NC-PC)^2＋PB*PC=m^2-BN^2+BN^2+PC^2-2BN*PC+PB*PC=m^2+PC(PC-2BN+PB)=m^2{三角形是等腰三角形}

3、在三角形ABC中，BC=6，AD是BC邊上的中線，交BC于點(diǎn)D，AD=3，AB+AC=8，

則三角形ABC的面積是_____解：

∵AD是中線，BC=6，AD=3∴∠BAC=90°∴BA2+AC2=BC2=36∵AB+AC=8

∴AB2+2AB*AC+AC2=64∴2AB*AC=64-36=28AB*AC=141/2AB*AC=7

∴△ABC的面積=7

4、在三角形ABC中，AB=5，AC=13,高AD=12，則三角形ABC的周長(zhǎng)是__42或32___5、在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=4,P是AD上的動(dòng)點(diǎn),PE垂直于AC于E,PF垂直于BD于F,則PE+PF

等于多少？解：假設(shè)AC、BD的交點(diǎn)是O，連接POS△APO＝(1/2)AO*PES△DPO＝(1/2)DO*PF

所以PE+PF＝2S△APO/AO+2S△DPO/DO根據(jù)勾股定理，AO＝DO＝5/2

所以PE+PF＝(4/5)*(S△APO+S△DPO)＝(4/5)*S△AOD＝(4/5)*(3×4÷4)＝12/5

6、E為正方形ABCD的邊AB上一點(diǎn)，AE=3BE=1P為AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值等于多少？

解：兩點(diǎn)之間直線最短在AD上做AF=AP=3連接FB

這時(shí)P點(diǎn)是PB+PE的最小值的點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)是根號(hào)下（3^2+4^2）=57、如圖：已知DE=m,BC=n,∠EBC與∠DCB互余，求BD2+CE2

解:沿BE和CD做一延長(zhǎng)線交點(diǎn)為A.由于∠EBC+∠DCB=90°.所以,∠BAC=90°所以BD2=AB2+AD2CE2=AE2+AC2所以CE2+BD2=AB2+AC2+AE2+AD2又有∠EAD=∠BAC=90°所以AB2+AC2=BC2=n2AE2+AD2=ED2=m2

所以有BD2+CE2=m2+n2

8、已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠

BPC的度數(shù)。解：將△CPB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△CP'B,連接PP'所以△CPB全等于△CP'A

所以CP=CP'BP=P'A∠PCB=∠P'CA所以∠PCB+∠ACP=∠P'CA+∠ACP由于角ACB等于90°所以角P'CP等于90°在等腰直角三角形P'CP中角CP'P等于45°由于CP=CP'=2所以PP'等于2倍根號(hào)2由于AP'=BP=1AP=3

所以PP'等于根號(hào)下AP的平方減AP'的平方PP'等于2倍根號(hào)2所以角AP'P=90°

所以角CPB=角AP'C=角AP'P+角PP'C=90°+45°=135°9、如圖，CD是△ABC的中線，CN=MN，求證AM=CB。

10、

（1）如圖1，把正方形CGEF的對(duì)角線CE放在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上(CG>BC)，取線段AE的中點(diǎn)M,探究線段MD,MF的關(guān)系，并加以證明。（2）將正方形ＣＧＥＦ繞點(diǎn)Ｃ旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖3），其他條件不變．探究：線段ＭE與ＭＤ的關(guān)系，并加以說明．

解：(1)線段MD、MF的關(guān)系是MD=MF，DM⊥MF。

延長(zhǎng)DM交CE于N，連結(jié)FD、FN。由正方形ABCD，得AD//BE，AD=DC，所以∠DAM=∠MEN。由于AM=EM，∠AMD=∠E（……隱蔽……）8。由于∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，

所以∠DCF=∠FEN，易得△DCF≌△NEF，所以FD=FN，∠DFC=∠NFE。由∠CFE=90°，得∠DFN=90°，所以MD=MF，DM⊥MF。

11、矩形ABCD中，AB=20，BC=10。若在AC，AB上各取一點(diǎn)M，N，使BM+MN

的值最小，求這最小值。解：遇到這類問題我們一般做鏡像,也就是做軸對(duì)稱,作B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE交CD于F,連接CE,過E作EN垂直AB交CD于G交AC于M,連接MB,所以BM＋MN＝NM＋EM，顯然EN垂直AB時(shí)值最?。?/p>

由于CEF為直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC斜邊高EG=6,所以EN=BC+EG=16.

12、已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=k（k是正整數(shù)），正△PAE的頂點(diǎn)P在正方形內(nèi)，

頂點(diǎn)E在邊AB上，且AE=1.將△PAE在正方形內(nèi)按圖1中所示的方式，沿著正方形的邊AB、BC、CD、DA、AB、……連續(xù)地翻轉(zhuǎn)n次，使頂點(diǎn)第一次回到原來的起始位置.．．P．（1）假使我們把正方形ABCD的邊展開在一直線上，那么這一翻轉(zhuǎn)過程可以看作是△PAE在直線上作連續(xù)的翻轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).圖2是k=1時(shí)，△PAE沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)過程的展開示意圖.請(qǐng)你摸索：若k=1，則△PAE沿正方形的邊連續(xù)翻轉(zhuǎn)的次數(shù)n=時(shí)，頂點(diǎn)第一次回到原來的起始位置.．．P．

DDCPAEBP

C圖1

AB(E)CDABCDABCDABCDAB圖2

（2）若k=2，則n=時(shí)，頂點(diǎn)第一次回到原來的起始位置；若k=3，則．．P．n=時(shí)，頂點(diǎn)第一次回到原來的起始位置.．．P．

（3）請(qǐng)你猜測(cè)：使頂點(diǎn)第一次回到原來的起始位置的n值與k之間的關(guān)系（請(qǐng)用含．．P．k的代數(shù)式表示n）.

分析：這是一道面動(dòng)滾動(dòng)型問題，正△PAE在滾動(dòng)的過程中，第1次以點(diǎn)E為圓心，第2次以點(diǎn)P為圓心，第3次以點(diǎn)A為圓心第4次又以點(diǎn)E為圓心……，每3次成循環(huán)，而半徑始終為1。而把四邊形展開頂點(diǎn)A、B、C、D、A……，每4個(gè)成循環(huán)。故問題1轉(zhuǎn)化為求3與4的最小公倍數(shù)即12；問題2中，三角形每轉(zhuǎn)2次，頂點(diǎn)才會(huì)重合一次，故需24次；問題3中，三角形每轉(zhuǎn)3，頂點(diǎn)A便會(huì)與四邊形的下一個(gè)頂點(diǎn)重合，故僅需12次；總結(jié)一、二兩題的規(guī)律，可歸納得出第3題的結(jié)論。

解：（1）12次（2）24次；12次（3）當(dāng)k是3的倍數(shù)時(shí)，n=4k；當(dāng)k不是3的倍數(shù)時(shí)，n=12k.

12、設(shè)x、y為正實(shí)數(shù)，且X+Y=4。求根號(hào)下X的平方加1加上根號(hào)下Y平方加4的最小值？解：解:令T=√(x^2+1)+√(y^2+4)

則T>0

T^2=x^2+1+y^2+4+2√(x^2+1)(y^2+4)=x^2+y^2+5+2√(x^2y^2+4x^2+y^2+4)

由于x+y=4所以(x+y)^2=16即x^2+y^2=16-2xy

由于x,y都是正實(shí)數(shù)所以4x^2+y^2≥4xy（當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)取等號(hào)）所以T^2≥21-2xy+2√(x^2y^2+4xy+4)=21-2xy+2√(xy+2)^2=25

由于T>0,所以T≥5（當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)取等號(hào)）即最小值是5。(此時(shí)x=4/3,y=8/3)

13、正△ABC的邊長(zhǎng)為3厘米邊長(zhǎng)為1厘米的正

△RPQ的頂點(diǎn)R與點(diǎn)A重合點(diǎn)PQ分別在ACAB上將△RPQ沿著邊ABBCCA順時(shí)針連續(xù)翻轉(zhuǎn)直至點(diǎn)P第一次回到原來