陜西省西安市名校2023-2024學(xué)年高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）

第第頁陜西省西安市名校2023-2024學(xué)年高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含解析）2023-2024學(xué)年陜西省西安高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．（5分）已知點(diǎn)A（2，1），B（3，2），則直線AB的傾斜角為（）

A．30°B．45°C．60°D．135°

2．（5分）在空間直角坐標(biāo)系中，若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則（）

A．l∥αB．l⊥αC．lα或l∥αD．l與α斜交

3．（5分）已知直線傾斜角為60°，在y軸上的截距為﹣2，則此直線方程為（）

A．y＝x+2B．y＝﹣x+2C．y＝﹣x﹣2D．y＝x﹣2

（多選）4．（5分）若A，B，C，D為空間不同的四點(diǎn)，則下列式子可以化簡為零向量的是（）

A．+2+2+B．2+2+3+3+

C．++D．﹣+﹣

5．（5分）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，且，則＝（）

A．B．C．D．

6．（5分）已知點(diǎn)M（1，﹣2），N（m，2），若線段MN的垂直平分線的方程是+y＝1，則實(shí)數(shù)m的值是（）

A．﹣2B．﹣7C．3D．1

7．（5分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，與點(diǎn)（﹣1，2，1）關(guān)于平面xOz對(duì)稱的點(diǎn)為（）

A．（﹣1，﹣2，1）B．（﹣1，2，1）

C．（﹣1，﹣2，﹣1）D．（1，﹣2，﹣1）

8．（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐P﹣ABCD為陽馬，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，則x+y+z＝（）

A．1B．2C．D．

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9．（5分）如果AB＜0，BC＞0，那么直線Ax+By+C＝0經(jīng)過（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

（多選）10．（5分）三棱錐A﹣BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為，若，則二面角A﹣BD﹣C的大小可能為（）

A．B．C．D．

（多選）11．（5分）已知空間中三點(diǎn)A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），則下列說法正確的是（）

A．與是共線向量

B．與同向的單位向量是（，，0）

C．和夾角的余弦值是

D．平面ABC的一個(gè)法向量是（1，﹣2，5）

（多選）12．（5分）已知直線l1：3x+y﹣3＝0，直線l2：6x+my+1＝0，則下列表述正確的有（）

A．直線l2的斜率為

B．若直線l1垂直于直線l2，則實(shí)數(shù)m＝﹣18

C．直線l1傾斜角的正切值為3

D．若直線l1平行于直線l2，則實(shí)數(shù)m＝2

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13．（5分）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（0，1）且一個(gè)方向向量為（2，1），則直線l的方程為．

14．（5分）已知，，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于．

15．（5分）直線ax+y+a﹣3＝0恒過定點(diǎn)．

16．（5分）在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，D，D1分別是AB，A1B1的中點(diǎn)，AC＝BC＝1，A1A＝2．則二面角D﹣A1C﹣C1的余弦值是．

四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分）

17．（10分）如圖是一個(gè)機(jī)器人手臂的示意圖．該手臂分為三段，分別可用向量，，代表．

（1）若用向量代表整條手臂，求；

（2）求所代表的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離．

18．（12分）已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣5，﹣1），B（﹣1，1），C（﹣2，3）．

（1）試判斷△ABC的形狀；

（2）求AC邊上的高所在直線的方程．

19．（12分）如圖，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．

（1）求證：MN⊥平面PCD；

（2）求PD與平面PMC所成角的正弦值．

20．（12分）已知直線l1：（m+2）x+my﹣8＝0與直線l2：mx+y﹣4＝0，m∈R．

（1）若l1∥l2，求m的值；

（2）若點(diǎn)P（1，m）在直線l2上，直線l過點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，求直線l的方程．

21．（12分）已知直線l：kx﹣y+2+4k＝0（k∈R）．

（1）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；

（2）若直線l交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸的正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．

22．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形AA1C1C是邊長為的正方形，CC1⊥BC，BC＝1，AB＝2．

（1）證明：平面A1BC⊥平面ABC1；

（2）在線段A1B上是否存在點(diǎn)M，使得CM⊥BC1，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2023-2024學(xué)年陜西省西安工業(yè)大學(xué)附中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

參考答案與試題解析

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1．【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式求解即可．

【解答】解：，

又因?yàn)?°≤α＜180°

所以α＝45°．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角和斜率，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．

2．【分析】根據(jù)＝0可知⊥，從而得出結(jié)論．

【解答】解：由＝2×1+（﹣2）×3+1×4＝0，可知⊥．

∴l(xiāng)∥α或lα．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

3．【分析】利用點(diǎn)斜式即可得出．

【解答】解：由題意可得直線方程為：y＝xtan60°﹣2，即y＝x﹣2，

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)斜式方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

4．【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．

【解答】解：對(duì)于A：＝＝，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：2+2+3+3+＝，故B正確；

對(duì)于C：＝，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：＝，故D正確．

故選：BD．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．

5．【分析】由，得＝0求出x，從而可求出的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出其模．

【解答】解：因?yàn)椋?，＝?，﹣1，x），且，

所以x＝0，得x＝0，

所以＝（1，﹣1，0），所以），

所以|．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積公式、向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

6．【分析】由題意可得點(diǎn)M、N的中點(diǎn)（，0）在直線x+2y﹣2＝0上，代入可得m的方程，解方程可得m的值．

【解答】解：∵線段MN的垂直平分線的方程是x+2y﹣2＝0，

∴點(diǎn)M、N的中點(diǎn)（，0）在直線x+2y﹣2＝0上，

∴+2×0﹣2＝0，解得m＝3，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的一般式方程，涉及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬基礎(chǔ)題．

7．【分析】在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，與點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于平面xOz對(duì)稱的點(diǎn)為（x，﹣y，z）．

【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，

與點(diǎn)（﹣1，2，1）關(guān)于平面xOz對(duì)稱的點(diǎn)為（﹣1，﹣2，1）．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，與點(diǎn)（x，y，z）關(guān)于平面xOz對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

8．【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得．

【解答】解：如圖，四棱錐P﹣ABCD為陽馬，

PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，，

因?yàn)镋C＝2PE，所以，

所以

＝

＝

＝

＝

＝

＝，

又，所以，則x+y+z＝1．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量線性運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9．【分析】由直線的方程求出斜率和在y軸上的截距，可得結(jié)論．

【解答】解：∵直線Ax+By+C＝0，即y＝﹣x﹣，

∵AB＜0，BC＞0，∴直線的斜率﹣＞0，在y軸上的截距﹣＜0，

故直線Ax+By+C＝0經(jīng)過第一、三、四象限，

故選：ACD．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查確定直線位置的幾何要素，屬于基礎(chǔ)題．

10．【分析】由二面角的大小與法向量夾角相等或互補(bǔ)即可求得結(jié)果．

【解答】解：∵二面角的大小與法向量的夾角相等或互補(bǔ)，

∴二面角A﹣BD﹣C的大小可能為或．

故選：BC．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的概念，向量法求解二面角問題，屬基礎(chǔ)題．

11．【分析】利用空面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、共線向量、向量夾角公式、法向量直接求解．

【解答】解：空間中三點(diǎn)A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），

對(duì)于A，＝（2，1，0），＝（﹣1，2，1），∴與不是共線向量，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，＝（2，1，0），＝（，，0），故B正確；

對(duì)于C，＝（2，1，0），＝（﹣3，1，1），

∴和夾角的余弦值是：

cos＜＞＝＝＝﹣，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，＝（2，1，0），＝（﹣1，2，1），

設(shè)平面ABC的法向量＝（x，y，z），

則，取x＝1，得＝（1，﹣2，5），故D正確．

故選：BD．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、共線向量、向量夾角公式、法向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．

12．【分析】利用直線l1的方程，考慮斜率不存在的情況可判斷選項(xiàng)A，利用兩條直線垂直的充要條件可判斷選項(xiàng)B，利用傾斜角與斜率的關(guān)系可判斷選項(xiàng)C，利用兩條直線平行的充要條件可判斷選項(xiàng)D．

【解答】解：直線l1：3x+y﹣3＝0，直線l2：6x+my+1＝0，

當(dāng)m＝0時(shí)，直線l2的斜率不存在，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)直線l1垂直于直線l2，則有3×6+1×m＝0，解得m＝﹣18，故選項(xiàng)B正確；

直線l1的斜率為﹣3，故傾斜角的正切值為﹣3，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)直線l1平行于直線l2，則，解得m＝2，故選項(xiàng)D正確．

故選：BD．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與直線位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及了直線斜率、直線傾斜角的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解直線方程與斜率、傾斜角直線的關(guān)系，屬于中檔題．

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13．【分析】根據(jù)方向向量可得直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式解方程即可．

【解答】解：∵直線的一個(gè)方向向量為（2，1），

∴直線l的斜率為k＝，

∴直線l的方程為y﹣1＝（x﹣0），即y＝．

故答案為：y＝．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線方程、直線的方向向量、斜率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

14．【分析】由，，三向量共面，得，（x≠0，y≠0），列方程組，能求出結(jié)果．

【解答】解：∵，，，，，三向量共面，

∴，（x≠0，y≠0），

∴（2，﹣1，3）＝（﹣x，4x，﹣2x）+（3y，2y，λy）＝（﹣x+3y，4x+2y，﹣2x+λy），

∴，

解得x＝﹣，y＝，

∴實(shí)數(shù)λ＝4．

故答案為：4．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量共面定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

15．【分析】將直線化簡為a（x+1）+y﹣3＝0，令，即可求解．

【解答】解：直線ax+y+a﹣3＝0，即a（x+1）+y﹣3＝0，

令，解得x＝﹣1，y＝3，

故直線ax+y+a﹣3＝0恒過定點(diǎn)（﹣1，3）．

故答案為：（﹣1，3）．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查恒過定點(diǎn)的直線，屬于基礎(chǔ)題．

16．【分析】建系，分別求平面DA1C、平面A1CC1的法向量，利用空間向量求二面角．

【解答】解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，

可得，

設(shè)平面DA1C的法向量為，則，

令x＝2，則可得，

由題意可得：平面A1CC1的法向量，

則，

由圖形可知：二面角D﹣A1C﹣C1為鈍角，所以其余弦值為．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分）

17．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可求解．

（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的模公式，即可求解．

【解答】解：（1）由題意．

（2）由題意．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，以及空間向量的模公式，屬于基礎(chǔ)題．

18．【分析】（1）由題意利用兩條直線垂直的條件判斷AB⊥BC，可得結(jié)論．

（2）先求出AC邊上的高所在直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求得AC邊上的高所在直線的方程．

【解答】解：（1）∵直線AB的斜率為＝，直線BC的斜率為＝﹣2，

∴直線AB和直線BC的斜率之積等于﹣1，故AB⊥BC，

∴△ABC為直角三角形．

（2）因?yàn)橹本€AC的斜率為＝，所以，AC邊上高線所在直線的斜率為﹣，

故AC邊上的高所在直線的方程是y﹣1＝﹣（x+1），即3x+4y﹣1＝0．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩條直線垂直的條件，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．

19．【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得MN⊥平面PCD．

（2）利用直線PD的方向向量，平面PMC的法向量，計(jì)算線面角的正弦值．

【解答】解：（1）以A為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則M（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），N（1，1，1），D（0，2，0）．

則，

，所以MN⊥PC，MN⊥PD，

由于PC∩PD＝P，所以MN⊥平面PCD．

（2），，

設(shè)平面PMC的法向量為，

則，

令z＝1，則x＝2，y＝﹣1，所以．

設(shè)直線PD與平面PMC所成角為θ，則．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面垂直的判定定理和直線與平面所成的角，屬于中檔題．

20．【分析】（1）由題意可知m≠0，所以有，且≠4，從而求出m的值．

（2）將點(diǎn)P（1，m）的坐標(biāo)代入直線l2的方程中，求出m的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)題意可知直線l的斜率一定存在且不為0，設(shè)出直線l的方程，利用在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，列出方程可求出直線l的方程．

【解答】解：（1）∵l1∥l2，∴兩直線的斜率都存在，

∴，且≠4，

∴m＝﹣1．

（2）∵點(diǎn)P（1，m）在直線l2上，

∴m+m﹣4＝0，∴m＝2，

∴P（1，2），

由題意可知，直線l的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y﹣2＝k（x﹣1）（k≠0），

令x＝0得，y＝2﹣k，令y＝0得，x＝1﹣，

∵在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0，

∴2﹣k+1﹣＝0，

解得k＝1或2，

∴直線l的方程為x﹣y+1＝0或y＝2x．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線的一般方程，考查了兩直線平行的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．

21．【分析】（1）根據(jù)題意可得，由此求得k的范圍．

（2）由題意可得S＝OAOB＝8k+8+，利用基本不等式求得它的最小值，可得此時(shí)直線l的方程．

【解答】解：（1）∵直線l：kx﹣y+2+4k＝0，即y＝kx+4k+2，

∵它不經(jīng)過第四象限，

∴，求得k≥0，即k的取值范圍為[0，+∞）．

（2）直線l交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A（，0），交y軸的正半軸于點(diǎn)B（0，4k+2），k＜0，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，則S＝OAOB＝（4k+2）＝8k+8+≥8+2＝16，

當(dāng)且僅當(dāng)8k＝時(shí)，即k＝時(shí)，取等號(hào)，故S的最小值為16，此時(shí)，k＝，直線l：x﹣2y