遼寧省沈陽市重點中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題含解析

遼寧省沈陽市重點中學(xué)2023年高二上數(shù)學(xué)期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.22．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A. B.C. D.23．已知數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C. D.4．若復(fù)數(shù)z滿足（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.5．某學(xué)校的校車在早上6：30，6：45，7：00到達(dá)某站點，小明在早上6：40至7：10之間到達(dá)站點，且到達(dá)的時刻是隨機的，則他等車時間不超過5分鐘的概率是（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．如圖，在長方體中，若，，則異面直線和所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．從0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的橫、縱坐標(biāo)，其中不在軸上的點有（）A.36個 B.30個C.25個 D.20個9．已知四棱錐，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，滿足上述條件的四棱錐的頂點P的軌跡是（）A.橢圓 B.橢圓的一部分C.圓 D.不完整的圓10．已知是拋物線的焦點，是拋物線的準(zhǔn)線，點，連接交拋物線于點，，則的面積為（）A.4 B.9C. D.11．設(shè)，分別為具有公共焦點與橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為A. B.1C.2 D.不確定12．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2021項的乘積是（）A. B.C.2 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)，滿足.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.14．函數(shù)極值點的個數(shù)是______15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______16．設(shè)是數(shù)列的前項和，且，則_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的圖像在處的切線斜率為，且時，有極值.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.18．（12分）已知雙曲線，拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，點為拋物線上一點.（1）求雙曲線的焦點坐標(biāo)；（2）若點到拋物線的焦點的距離是5，求的值.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.20．（12分）已知數(shù)列，，其中，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，且（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：存在最大值，且恒成立.22．（10分）已知函數(shù)，從下列兩個條件中選擇一個使得數(shù)列{an}成等比數(shù)列.條件1：數(shù)列{f（an）}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列；條件2：數(shù)列{f（an）}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D.2、D【解析】由已知條件可得，，…，即是周期為3的數(shù)列，即可求.【詳解】由題設(shè)，知：，，，…，∴是周期為3的數(shù)列，而的余數(shù)為1，∴.故選：D.3、D【解析】根據(jù)給定遞推公式求出即可計算作答.【詳解】因數(shù)列的前n項和為，，，則，，，所以.故選：D4、B【解析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】，因此，.故選：B5、B【解析】求出小明等車時間不超過5分鐘能乘上車的時長，即可計算出概率.【詳解】6:40至7：10共30分鐘，小明同學(xué)等車時間不超過5分鐘能乘上車只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分鐘，所以所求概率為.故選：B6、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，.故選：A.7、D【解析】根據(jù)長方體中，異面直線和所成角即為直線和所成角，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】解：連接、，如下圖所示由圖可知，在長方體中，且，所以，所以異面直線和所成角即為，又，，由余弦定理可得∶故選：D.8、C【解析】根據(jù)點不在y軸上，分2類根據(jù)分類加法計數(shù)原理求解.【詳解】因為點不在軸上，所以點的橫坐標(biāo)不能為0，分兩類考慮，第一類含0且為點的縱坐標(biāo)，共有個點，第二類坐標(biāo)不含0的點，共有個點，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有個點.故選：C9、D【解析】根據(jù)題意，分析得動點滿足的條件，結(jié)合圓以及橢圓的方程，以及點的限制條件，即可判斷軌跡.【詳解】因為平面PAB，平面PAB，則//，又面面，故可得；因為，故可得，則，綜上所述：動點在垂直的平面中，且滿足；為方便研究，不妨建立平面直角坐標(biāo)系進行說明，在平面中，因為，以中點為坐標(biāo)原點，以為軸，過且垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：因為，故可得，整理得：，故動點的軌跡是一個圓；又當(dāng)三點共線時，幾何體不是空間幾何體，故動點的軌跡是一個不完整的圓.故選：.【點睛】本題考察立體幾何中動點的軌跡問題，處理的關(guān)鍵是利用立體幾何知識，找到動點滿足的條件，進而求解軌跡.10、D【解析】根據(jù)題意求得拋物線的方程為和焦點為，由，得到為的中點，得到，代入拋物線方程，求得，進而求得的面積.【詳解】由直線是拋物線的準(zhǔn)線，可得，即，所以拋物線的方程為，其焦點為，因為，可得可得三點共線，且為的中點，又因為，，所以，將點代入拋物線，可得，所以的面積為.故選：D.11、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關(guān)于a、c、m的方程，聯(lián)解可得a2+m2=2c2，再根據(jù)離心率的定義求解【詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C12、C【解析】先由數(shù)列滿足，，計算出前5項，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，同理可得，…所以數(shù)列每四項重復(fù)出現(xiàn)，即，且，而，所以該數(shù)列的前2021項的乘積是.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用基本不等式性質(zhì)可得的最小值，由恒成立可得即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：因為正數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號因為恒成立，所以，解得.故實數(shù)的取值范圍是.故答案填：.【點睛】熟練掌握基本不等式的性質(zhì)和正確轉(zhuǎn)化恒成立問題是解題的關(guān)鍵.14、0【解析】通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得極值點的情況.【詳解】因為，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極值點的個數(shù)是0，故答案為：0.15、【解析】應(yīng)用余弦定理有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，根據(jù)基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：16、【解析】根據(jù)題意可知，再利用裂項相消法，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）由題得①，②，解方程組即得解；（2）令解得或，再列表得解.【小問1詳解】解：求導(dǎo)得，因為在出的切線斜率為，則，即①因為時，有極值，則.即②由①②聯(lián)立得，所以.【小問2詳解】解：由（1），令解得或，列表如下：極大值極小值所以，在［－3，2］上的最大值為，最小值為.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)雙曲線的方程求出即得雙曲線的焦點坐標(biāo)；（2）先求出的值，再解方程得解.【詳解】（1）因為雙曲線的方程為，所以.所以.所以.所以雙曲線的焦點坐標(biāo)分別為.（2）因為拋物線的焦點與雙曲線的一個焦點相同，所以拋物線的焦點坐標(biāo)是(2，0)，所以.因為點為拋物線上一點，所以點到拋物線的焦點的距離等于點到拋物線的準(zhǔn)線的距離.因為點到拋物線的焦點的距離是5，即，所以.【點睛】本題主要考查雙曲線的焦點坐標(biāo)的求法，考查拋物線的定義和幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數(shù)，，所以時，，在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當(dāng)時，為增函數(shù)，不妨取，則有在上單調(diào)遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【點睛】方法點睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號，當(dāng)f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到20、（1），（2）【解析】（1）利用公式法，基本量代換求出數(shù)列，的通項公式；（2）利用錯位相減法求和.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，所以，所以．所以，所以，所以．所以，所以，【小問2詳解】，所以，，所以.所以21、（1）的單增區(qū)間為，；單減區(qū)間為，，；（2）證明見解析.【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，求出，由，結(jié)合函數(shù)的定義域可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時，定義域R,求出，從而得出單調(diào)區(qū)間，由當(dāng)時，，當(dāng)時，，以及極值點與2的大小關(guān)系可得出當(dāng)時，函數(shù)有最大值，然后再證明即可.【詳解】解：（1）定義域，可得且且，，可得且3無0無0減無減增無增減所以，的單增區(qū)間為，；單減區(qū)間為，，.（2）當(dāng)時，定義域R因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最大值在時取得