巧解方陣問題

巧解方陣問題日常生活中，往往需要把人或物擺成正方形的形式，如正方形的體操隊列，正方形花壇周圍擺花盆，插旗子，還有正方形棋盤上擺棋子等問題。在數(shù)學上，人們通常稱這類問題為方陣問題。解方陣問題時，應注意觀察方陣中行列的排列規(guī)律，找出巧妙的解法。如果一個方陣是“實心”的叫中實方陣，如果一個方陣是“空心”的，叫做中空方陣。［學習過程］一.典型例題：例1.軍訓的學生進行隊列表演，排成了一個7行7列的正方形隊列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？還剩下多少人？方法一：去掉的一行一列的人數(shù)為：7梵2-1=13（人）剩下的人數(shù)為：7x7—13二％（人）方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形隊列，即6x6=36（人）去掉的人數(shù)為：*7-6淞二門（人）例2.光明小學四年級原準備排成一個正方形隊列參加廣播操表演，由于服裝不夠，只好橫豎各減少一排，這樣共需去掉27人，問四年級原來準備多少人參加表演？分析與解：此題剛好是例1的逆向題，根據正方形隊列的特點可知：原每行人數(shù)=（去掉一行一列的人數(shù)+1）三2即：原來每行人數(shù)是（茁+1）-2二14（人）原來準備參加表演的人數(shù)：14減14=196（人）答：四年級原準備196人參加表演。例3.正方形舞廳四周均勻地裝彩燈，如果四個角都裝一盞，且每邊12盞，那么這個舞廳四周共裝彩燈多少盞？分析與解：如下圖：方法一：從圖（1）可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應為：12x4—4=44（盞）方法二：按圖（2）把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為（12-1）x4=44（盞）答：這個舞廳四周共裝彩燈44盞。例4.游行隊伍中，手持鮮花的少先隊員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣。最外層每邊12人，問彩車周圍的少先隊員共有多少人？分析與解：方法一：這是一個只有3層的中空方陣，最外層每邊有12人，最外層一共有〔12-1）冥仁傘（人），第二層每邊少2人，即第二層每邊10人，第二層共有（1°一二36（人），比第一層總數(shù)少8人，同理，第三層總數(shù)是36_8=28（人）三層共有隊員的總數(shù)：44+（44-8）+（44-昭）=44+兀+眉=血（人）方法二：如下圖，可把隊員分成人數(shù)相等的四部分，每一部分的人數(shù)：(12-3)x3二9x3=27(人)三層共有隊員數(shù)：茁冥4=1腌（人）方法三：從12行12列的中實方陣中減去中間的空心方陣，就是隊員人數(shù)：12x12-6x6=144-36=108（人）例5.小明用圍棋子擺了一個五層的空心方陣，共用了200個棋子，問最外邊一層每邊有多少個棋子？分析與解：方法一：利用相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差8的特點?？芍钔鈱庸灿衅遄訑?shù)：(200+8+8x2+8x3+8x4)■=■5=56(個)最外層每邊的棋子數(shù)：咒*+l=H（個）方法二：如下圖，把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子數(shù)為：20°一4=^°（個），每一部分每排的棋子數(shù)為：（個）最外層每邊的棋子數(shù)為：1°+^=1?。▊€）列綜合算式：200^4^5+5=15（個）答：最外層每邊有棋子15個。二.模擬試題：運動員入場式要求排成一個9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2列，要減少多少運動員？學校為慶?！笆弧?，用盆花擺了一個中實方陣，最外一層有36盆花。求這個方陣共有花多少盆？一個由圓片擺成的中實方陣，最外一層有12個圓片，把4個這樣的中實方陣拼成一個大的中實方陣，那么最外層應該有多少個圓片？有一個用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個圓片，如果把內層的圓片取出來，在外層再擺一層，變成一個新的中空方陣，應再增加多少圓片？解放軍進行排隊表演，組成一個外層有48人，內層有16人的多層中空方陣，這個方陣有幾層？一共有多少人？【試題答案】運動員入場式要求排成一個9行9列的正方形方陣，如果去掉2行2列，要減少多少運動員？9x9=S1（人）（9-2）x（9-2）=49（人）81-49=32（人）答：要減少32名運動員。學校為慶?！笆弧?，用盆花擺了一個中實方陣，最外一層有36盆花。求這個方陣共有花多少盆？

36一4+1=10（盆）10x10=100（盆）答：這個方陣共有花100盆。一個由圓片擺成的中實方陣，最外一層有12個圓片，把4個這樣的中實方陣拼成一個大的中實方陣，那么最外層應該有多少個圓片？12-4+1=44x4x4=6482=64（8-1）^4=28（個）答：最外層應該有28個圓片。有一個用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個圓片，如果把內層的圓片取出來，在外層再擺一層，變成一個新的中空方陣，應再增加多少圓片？（16+2-1）x4=68（個）（16-2-1）x4=52（個）68—52=16（個）答：應再增加16個圓片。解放軍進行排隊表演，組成一個外層有48人，內層有16