三角函數(shù)恒等變換教案

兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一、教學(xué)目標理解以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)兩角和、差正弦和正切公式的方法，體會三角恒等變換特點的過程，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點1.教學(xué)重點：兩角和、差正弦和正切公式的推導(dǎo)過程及運用；2.教學(xué)難點：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運用.三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和與差的余弦公式：；．這是兩角和與差的余弦公式，下面大家思考一下兩角和與差的正弦公式是怎樣的呢？提示：在第一章我們用誘導(dǎo)公式五（或六）可以實現(xiàn)正弦、余弦的互化，這對我們解決今天的問題有幫助嗎？讓學(xué)生動手完成兩角和與差正弦和正切公式.．讓學(xué)生觀察認識兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切公式.（學(xué)生動手）．通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同時除以，得到．注意：以上我們得到兩角和的正切公式，我們能否推倒出兩角差的正切公式呢？注意：．（二）例題講解例1、利用和（差）角公式計算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、．解：分析：解此類題首先要學(xué)會觀察，看題目當中所給的式子與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式中哪個相象.（1）、；（2）、；（3）、．例2例3、化簡解：此題與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象，但我們能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？思考：是怎么得到的？，我們是構(gòu)造一個叫使它的正、余弦分別等于和的.小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習了兩角和與差正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會靈活運用.作業(yè)：已知求的值．（）已知，求的值．二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教學(xué)目標以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點教學(xué)重點：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式；教學(xué)難點：二倍角的理解及其靈活運用.三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式，；；．我們由此能否得到的公式呢？（學(xué)生自己動手，把上述公式中看成即可），（二）公式推導(dǎo)：；；思考：把上述關(guān)于的式子能否變成只含有或形式的式子呢？；．．注意：（三）例題講解例4、已知求的值．解：由得．又因為．于是；；．例5、已知求的值．解：，由此得解得或．（四）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會靈活運用.例6、試以表示．解：我們可以通過二倍角和來做此題．因為，可以得到；因為，可以得到．又因為．思考：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同？代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換．對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點．例7、求證：（１）、；（２）、．證明：（１）因為和是我們所學(xué)習過的知識，因此我們從等式右邊著手．；．兩式相加得；即；（２）由（１）得①；設(shè)，那么．把的值代入①式中得．思考：在例２證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想？證明中用到換元思想，（１）式是積化和差的形式，（２）式是和差化積的形式，在后面的練習當中還有六個關(guān)于積化和差、和差化積的公式．例8、求函數(shù)的周期，最大值和最小值．解：這種形式我們在前面見過，，所以，所求的周期，最大值為２，最小值為．點評：例３是三角恒等變換在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的舉例，它使三角函數(shù)中對函數(shù)的性質(zhì)研究得到延伸，體現(xiàn)了三角變換在化簡三角函數(shù)式中的作用．小結(jié)：此節(jié)雖只安排一到兩個課時的時間，但也是非常重要的內(nèi)容，我們要對變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認識，學(xué)會靈活運用．總結(jié)：公式的變形升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降冪公式：cos2α＝EQ\F(1＋cos2α,2)sin2α＝EQ\F(1－cos2α,2)正切公式變形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ）tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ)萬能公式（用tanα表示其他三角函數(shù)值）sin2α＝EQ\F(2tanα,1+tan2α)cos2α＝EQ\F(1－tan2α,1+tan2α)tan2α＝EQ\F(2tanα,1－tan2α)插入輔助角公式asinx＋bcosx=EQ\R(,a2+b2)sin(x+φ)(tanφ=EQ\F(b,a))特殊地：sinx±cosx＝EQ\R(,2)sin(x±EQ\F(π,4))熟悉形式的變形（如何變形）1±sinx±cosx1±sinx1±cosxtanx＋cotxEQ\F(1－tanα,1＋tanα)EQ\F(1＋tanα,1－tanα)若A、B是銳角，A+B＝EQ\F(π,4)，則（1＋tanA）(1+tanB)=2cosαcos2αcos22α…cos2nα=EQ\F(sin2n+1α,2n+1sinα)在三角形中的結(jié)論（如何證明）若：A＋B＋C=πEQ\F(A+B+C,2)=EQ\F(π,2)tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtanEQ\F(A,2)tanEQ\F(B,2)＋tanEQ\F(B,2)tanEQ\F(C,2)＋tanEQ\F(C,2)tanEQ\F(A,2)＝19．求值問題（1）已知角求值題如：sin555°（2）已知值求值問題常用拼角、湊角如：1）已知若cos(EQ\F(π,4)－α)＝EQ\F(3,5)，sin(EQ\F(3π,4)＋β)＝EQ\F(5,13)，又EQ\F(π,4)<α<EQ\F(3π,4),0<β<EQ\F(π,4),求sin(α＋β)。2）已知sinα+sinβ=EQ\F(3,5),cosα+cosβ=EQ\F(4,5),求cos(α－β)的值。（3）已知值求角問題必須分兩步：1）求這個角的某一三角函數(shù)值。2）確定這個角的范圍。如：．已知tanα=EQ\F(1,7),tanβ=EQ\F(1,3),且αβ都是銳角，求證：α＋2β＝EQ\F(π,4)1.（2010全國卷1理）(2)記,那么A.B.-C.D.-2.已知，化簡：.解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．3.（2010天津文）（17）（本小題滿分12分）在ABC中，。（Ⅰ）證明B=C：（Ⅱ）若=-，求sin的值?！窘馕觥勘拘☆}主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力.滿分12分.（Ⅰ）證明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因為，從而B-C=0.所以B=C.（Ⅱ）解：由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又0<2B<,于是sin2B==.從而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.所以4.（2010湖北理）16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。5.（2009江蘇，15）設(shè)向量（1）若與垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求證：∥.分析本小題主要考查向量的基本概念，同時考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運算和證明得基本能力。6.（2009安徽卷理）在ABC中，,sinB=.（I）求sinA的值；(II)設(shè)AC=，求ABC的面積.本小題主要考查三角恒等變換、正弦定理、解三角形等有關(guān)知識，考查運算求解能力。（Ⅰ）由，且，∴，∴，ABC∴，又，∴ABC（Ⅱ）如圖，由正弦定理得∴，又∴7.（2009湖南卷文）已知向量（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若求的值。解：（Ⅰ）因為，所以于是，故（Ⅱ）由知，所以從而，即，于是.又由知，，所以，或.因此，或8.（2009天津卷理）在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA(I)求AB的值：(II)求sin的值本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力。滿分12分。（Ⅰ）