北師版初三九年級(jí)數(shù)學(xué)(上冊(cè))第四章相似圖形知識(shí)點(diǎn)講解

九年級(jí)（上）第四章圖形的相似(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形.(2)相似多邊形：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比．一．成比例線段（1）線段的比如果選用同一單位量得兩條線段的長(zhǎng)度分別為，那么就說(shuō)這兩條線段的比是，或?qū)懗桑ⅲ涸谇缶€段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一。（2）成比例線段在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．注：=1\*GB3①比例線段是有順序的，如果說(shuō),成比例，那么應(yīng)得比例式為：=．=2\*GB3②a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng),如果b=c，即那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)，此時(shí)有。③判斷給定的四條線段是否成比例的方法：第一排：現(xiàn)將四條線段的長(zhǎng)度統(tǒng)一單位，再按大小順序排列好；第二算:分別算出前兩條線的長(zhǎng)度之比與后兩條線段的長(zhǎng)度之比；第三判：若兩個(gè)比相等，則這四條線段是成比例線段，否則不是（3）比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）基本性質(zhì)：a:b=c:d則有ad=bc（兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)向之積）；②．注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如，除了可化為，還可化為，，，，，，．（2）更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：（3）合、分比性質(zhì)：．（4）等比性質(zhì)：如果，那么．注：①此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法”（即引入新的參數(shù)k）這樣可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算變形中一種常用方法．②應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中．（4）比例題常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，設(shè)參法，連等設(shè)k法，消元法二，平行線分線段成比例（1）平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注意：是所截的線段成比例，而跟平行線無(wú)關(guān)，所以比例線段中不可能有AD,BE,CF的比例關(guān)系（2）黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項(xiàng)，即，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中≈0.618．即簡(jiǎn)記為：注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形三．相似三角形的概念相似三角形概念：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”．相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．注意：①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母按相同的順序?qū)?，這樣寫(xiě)比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．兩個(gè)三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例．三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.由DE∥BC可得：注：①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.②易錯(cuò)點(diǎn)：EQ(錯(cuò))(對(duì))四．三角形相似的判定方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．(一)相似三角形的判斷定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似．（有些像SAS）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．（二）判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用．(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似．一共產(chǎn)生三對(duì)相似三角形（三）射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。五．相似三角形常見(jiàn)的圖形1、下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱為“平行線型”的相似三角形（有“A型”與“X型”圖）即平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、“蝶型”）如圖：稱為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。2、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：（1）若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形）則Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；3.全等與相似的比較：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)

兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)

兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(SAS)

三邊對(duì)應(yīng)相等(SSS)

直角三角形中一直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)相等(HL)相似判定的預(yù)備定理

兩角對(duì)應(yīng)相等

兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等

三邊對(duì)應(yīng)成比例

直角三角形中斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)成比例4.相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．5.相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的相似必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①對(duì)應(yīng)邊成比例；②對(duì)應(yīng)角相等。兩個(gè)同時(shí)成立才可以說(shuō)明多邊形相似，缺一不可，如兩個(gè)矩形不一定相似，缺少①。(1)相似多邊形周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比．(2)相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方．注意：相似多邊形問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問(wèn)題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識(shí)是基礎(chǔ)和關(guān)鍵．六．相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線作法

1、證明題常用方法歸納：（1）總體思路:“等積式”變“比例式”，“比例的對(duì)應(yīng)邊”找“相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊”當(dāng)有多條邊相等的時(shí)候要會(huì)轉(zhuǎn)移邊

(2)找相似：通過(guò)“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.常用方法：一對(duì)平行線之間有多少個(gè)交點(diǎn)，就會(huì)產(chǎn)生多少對(duì)相似三角形

(3)找中間比：若沒(méi)有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這幾個(gè)字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來(lái)。①②③(4)添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。（5）比例問(wèn)題：常用處理方法是將“一份”看著k;對(duì)于等比問(wèn)題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（6）．對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來(lái)的辦法處理。2.相似圖形的證明題型題型一：相似之中間項(xiàng)轉(zhuǎn)化,解題思路：一條平行線至少能產(chǎn)生一組比例式，利用比例式等量代換題型二：輔助線X圖題型三：面積相等題題型四：周長(zhǎng)相等題題型五：相似旋轉(zhuǎn)題型六：非相似三角形的面積比題型七：相似外角推論題型八：函數(shù)題七．位似圖形1.如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.2.這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.（1）位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn).（2）位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.（3）位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線.（4）位似多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比3.畫(huà)位似圖形的一般步驟：（1）確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)）（2）分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)（或截?。?（3）根據(jù)已知的位似比，確定所畫(huà)位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.（4）順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形.①②③④⑤注：①位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或頂點(diǎn)上）。②外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱為“外位似”（即同向位似圖形）③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形）（5）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為k（k>0）,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky),反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-kx,-ky),比例的性質(zhì)比例線段平行線分線段成比例相似圖形相似多邊形的性質(zhì)相似三角形的判定利用相似測(cè)高相似三角形的性質(zhì)經(jīng)典例題透析類型一、相似三角形的概念

1．判斷對(duì)錯(cuò)：

(1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？

(2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？

(3)兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？

(4)兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？

(5)兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？

思路點(diǎn)撥：要說(shuō)明兩個(gè)三角形相似，要同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.要說(shuō)明不相似，則只要否定其中的一個(gè)條件.

解：(1)不一定相似.反例

直角三角形只確定一個(gè)直角，其他的兩對(duì)角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.

(2)不一定相似.反例

等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.因此兩個(gè)等腰三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，兩底邊的比不一定等于對(duì)應(yīng)腰的比，所以等腰三角形不一定相似.

(3)一定相似.

在直角三角形ABC與直角三角形A′B′C′中

設(shè)AB=a，A′B′=b，則BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b

∴

∴ABC∽A′B′C′

(4)一定相似.

因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟?，各角都等?0度，所以兩個(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，因此兩個(gè)等邊三角形一定相似.

(5)一定相似.

全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，所以對(duì)應(yīng)邊比為1，所以全等三角形一定相似，且相似比為1.

舉一反三

【變式1】?jī)蓚€(gè)相似比為1的相似三角形全等嗎？

解析：全等.因?yàn)檫@兩個(gè)三角形相似，所以對(duì)應(yīng)角相等.又相似比為1，所以對(duì)應(yīng)邊相等.

因此這兩個(gè)三角形全等.

總結(jié)升華：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

(1)兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)等腰三角形不一定相似.

(2)兩個(gè)等腰直角三角形，兩個(gè)等邊三角形一定相似.

(3)兩個(gè)全等三角形一定相似，且相似比為1；相似比為1的兩個(gè)相似三角形全等.

【變式2】下列能夠相似的一組三角形為()

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形

解析：根據(jù)相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿足三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條對(duì)應(yīng)邊的比相等.而A中只有一組直角相等，其他的角是否對(duì)應(yīng)相等不可知；B中什么條件都不滿足；D中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角組成的三角形，且對(duì)應(yīng)邊的比也相等.答案選C.

類型二、相似三角形的判定

2．如圖所示，已知中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE與BC相交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.

思路點(diǎn)撥：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線找相似三角形.

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.

∴△BEF∽△CDF∽△AED.

∴當(dāng)△BEF∽△CDF時(shí)，相似比；當(dāng)△BEF∽△AED時(shí)，相似比；

當(dāng)△CDF∽△AED時(shí)，相似比.

總結(jié)升華：本題中△BEF、△CDF、△AED都相似，共構(gòu)成三對(duì)相似三角形.求相似比不僅要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序，若次序顛倒，則相似比成為原來(lái)的倒數(shù).

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相似嗎？為什么？

思路點(diǎn)撥：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知兩邊長(zhǎng)，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊是否對(duì)應(yīng)成比例.

解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.

由勾股定理得.

在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.

由勾股定理，得.

在△ABC和△EDF中，，，，

∴，

∴△ABC∽△EDF(三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似).

總結(jié)升華：

(1)本題易錯(cuò)為只看3，6，4，10四條線段不成比例就判定兩三角形不相似.利用三邊判定兩三角形相

似，應(yīng)看三角形的三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，而不是兩邊.

(2)本題也可以只求出AC的長(zhǎng)，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，判定兩三角形相似.

4．如圖所示，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時(shí)，△ACD與△ABC相似？試分別加以列舉.

思路點(diǎn)撥：此題屬于探索問(wèn)題，由相似三角形的識(shí)別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識(shí)別方法尋找一個(gè)條件即可.

解：當(dāng)滿足以下三個(gè)條件之一時(shí)，△ACD∽△ABC.

條件一：∠1=∠B.

條件二：∠2=∠ACB.

條件三：，即.

總結(jié)升華：本題的探索鑰匙是相似三角形的識(shí)別方法.在探索兩個(gè)三角形相似時(shí)，用分析法，可先假設(shè)△ACD∽△ABC，然后尋找兩個(gè)三角形中邊的關(guān)系或角的關(guān)系即可.本題易錯(cuò)為出現(xiàn)條件四：.不符合條件“最小化”原則，因?yàn)闂l件三能使問(wèn)題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯(cuò)誤的.

舉一反三

【變式1】已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)．

求證：△ADQ∽△QCP．

思路點(diǎn)撥：因△ADQ與△QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等判定．而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點(diǎn)，而B(niǎo)P=3PC，所以可用對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等的方法來(lái)判定．具體證明過(guò)程如下：

證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴=2

∵=3，∴=4

又∵BC=2DQ，∴=2

在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，

∴△ADQ∽△QCP．

【變式2】如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：.

思路點(diǎn)撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉(zhuǎn)化為比例式，從而找到應(yīng)證哪兩個(gè)三角形相似.同時(shí)圓當(dāng)中同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等要會(huì)靈活應(yīng)用.

證明：連接，.

在

∴∽

∴.

【變式3】已知：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．

求證：△DFE∽△ABC．

思路點(diǎn)撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=AB，DF=AC．因此考慮用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．

證明：在Rt△ABD中，DE為斜邊AB上的中線，

∴DE=AB，

即=．

同理=．

∵EF為△ABC的中位線，

∴EF=BC，

即=．

∴==．

∴△DFE∽△ABC．

總結(jié)升華：本題證明方法較多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個(gè)角的兩邊成比例，即=，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以證出△DEF∽△ABC．

類型三、相似三角形的性質(zhì)

5．△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長(zhǎng)分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長(zhǎng)度，你能求出△DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度嗎？試說(shuō)明理由.

思路點(diǎn)撥：因沒(méi)有說(shuō)明長(zhǎng)4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進(jìn)行討論.

解：設(shè)另兩邊長(zhǎng)是xcm，ycm，且x<y.

(1)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)5cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

(2)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)6cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

(3)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)7cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

綜上所述，△DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度應(yīng)是cm,cm或cm，cm或cm，cm三種可能.

總結(jié)升華：一定要深刻理解“對(duì)應(yīng)”，若題中沒(méi)有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類.

6．如圖所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長(zhǎng)邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積.

思路點(diǎn)撥：利用已知條件及相似三角形的判定方法及性質(zhì)求出矩形的長(zhǎng)和寬，從而求出矩形的面積.

解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC.

∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.

∵矩形兩鄰邊之比為1：2，設(shè)EF=xcm，則EH=2xcm.

由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，得，

∴，∴，.

∴EF=6cm，EH=12cm.

∴.

總結(jié)升華：解決有關(guān)三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計(jì)算問(wèn)題，經(jīng)常利用相似三角形“對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”和“面積比等于相似比的平方”的性質(zhì)，若圖中沒(méi)有高可以先作出高.

舉一反三

【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點(diǎn)，CM交AB于N，若，求.

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

∴

∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴

∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC

∴

∴=1：2.

總結(jié)升華：圖中有兩個(gè)“”字形，已知線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個(gè)“”字形，利用M為DE中點(diǎn)的條件將條件由一個(gè)“”字形轉(zhuǎn)化到另一個(gè)“”字形，從而解決問(wèn)題.

類型四、相似三角形的應(yīng)用

7．如圖，我們想要測(cè)量河兩岸相對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬)，你有什么方法？

方案1：如上左圖，構(gòu)造全等三角形，測(cè)量CD，得到AB=CD，得到河寬.

方案2：

思路點(diǎn)撥：這是一道測(cè)量河寬的實(shí)際問(wèn)題，還可以借用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，比例式中四條線段，測(cè)出了三條線段的長(zhǎng)，必能求出第四條.

如上右圖，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90°角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90°，沿CD方向再走17m到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么A、B之間的距離是多少？

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

答：河寬為85m．

總結(jié)升華：方案2利用了“”型基本圖形，實(shí)際上測(cè)量河寬有很多方法，可以用“”型基本圖形，借助相似；也可用等腰三角形等等.

舉一反三

【變式1】如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影長(zhǎng)是2m．

(1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么?

(2)求古塔的高度．

解：(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE

∴∠ACB=∠AED=90°

∵∠A=∠A

∴△ABC∽△ADE

(2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴

∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m

∴

∴DE=16m

答：古塔的高度為16m.

【變式2】已知：如圖，陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC？

思路點(diǎn)撥：光線AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.則，利用邊的比例關(guān)系求出BC.

解：作EF⊥DC交AD于F.因?yàn)锳D∥BE，所以又因?yàn)椋?/p>

所以，所以.

因?yàn)锳B∥EF，AD∥BE，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=1.8m.

所以m.

類型五、相似三角形的周長(zhǎng)與面積

8．已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點(diǎn)，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點(diǎn)，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積．

思路點(diǎn)撥：利用△ADE∽△BCE，以及其他有關(guān)的已知條件，可以求出△BCE的面積．△ABC的邊AB上的高也是△BCE的高，根據(jù)AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面積．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面積．

解：∵DA∥BC，

∴△ADE∽△BCE．

∴S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．

∵AE︰BE=1︰2，

∴S△ADE︰S△BCE=1︰4．

∵S△ADE=1，

∴S△BCE=4．

∵S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，

∴S△ABC=6．

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC．

∵AE︰AB=1︰3，

∴S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．

∴S△AEF==．

總結(jié)升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方．

舉一反三

【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比.

解：設(shè)原地塊為△ABC，地塊在甲圖上為△A1B1C1，在乙圖上為△A2B2C2.

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且，，

∴，

∴.

【變式2】如圖，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上．

(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

解：(1)∵S△PQC=S四邊形PABQ

∴S△PQC：S△ABC=1：2

∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC

∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2

∴CP2=42×，∴CP=.

(2)∵S△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等，

∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周長(zhǎng))=6

∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC

∴，即：

解得，CP=類型六、綜合探究

9．如圖，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)，PE⊥BP，P為垂足，PE交DC于點(diǎn)E，

(1)設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

(2)請(qǐng)你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

解：(1)∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°

∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D

又∵PE⊥BP，∴∠APB+∠DPE=90°，

又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE，

∴△ABP∽△DPE

∴，即

∴

(2)欲使四邊形ABED為矩形，只需DE=AB=2，即，解得

∵，∵均符合題意，故AP=1或4.

總結(jié)升華：

(1)求以線段長(zhǎng)為變量的兩個(gè)函數(shù)間的關(guān)系時(shí)，常常將未知線段和已知線段作為三角形的邊，利用相似

三角形的知識(shí)解決.

(2)解決第(2)小問(wèn)時(shí)要充分挖掘運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中點(diǎn)的特殊位置，再轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值，通過(guò)建立方程

解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

10．如圖，在△ABC中，BC=2，BC邊上的高AD=1，P是BC上任意一點(diǎn)，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.

(1)設(shè)BP=，△PEF的面積為，求與的函數(shù)解析式和的取值范圍；

(2)當(dāng)P在BC邊上什么位置時(shí)，值最大.

解：(1)∵BC=2，BC邊上的高AD=1

∴△ABC的面積為1

∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC

∴，∴

同理△CEP∽△CAB

∴，

∴

∵PE∥AB，PF∥AC，∴四邊形PFAE為平行四邊形

∴

∴.

(2)

∴當(dāng)時(shí)，即P點(diǎn)在BC邊的中點(diǎn)時(shí)，值最大.

總結(jié)升華：建立三角形的面積與線段長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系，可考慮從以下幾方面考慮：

(1)從面積公式入手；

(2)從相似三角形的性質(zhì)入手；將面積的比轉(zhuǎn)化為相似比的平方；

(3)從同底或等高入手，將面積比轉(zhuǎn)化為底之比或高之比.

九年級(jí)（上）第四章圖形的相似(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形.(2)相似多邊形：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比．一．成比例線段（1）線段的比如果選用同一單位量得兩條線段的長(zhǎng)度分別為，那么就說(shuō)這兩條線段的比是，或?qū)懗桑ⅲ涸谇缶€段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一。（2）成比例線段在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．注：=1\*GB3①比例線段是有順序的，如果說(shuō),成比例，那么應(yīng)得比例式為：=．=2\*GB3②a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng),如果b=c，即那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)，此時(shí)有。③判斷給定的四條線段是否成比例的方法：第一排：現(xiàn)將四條線段的長(zhǎng)度統(tǒng)一單位，再按大小順序排列好；第二算:分別算出前兩條線的長(zhǎng)度之比與后兩條線段的長(zhǎng)度之比；第三判：若兩個(gè)比相等，則這四條線段是成比例線段，否則不是（3）比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）基本性質(zhì)：a:b=c:d則有ad=bc（兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)向之積）；②．注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如，除了可化為，還可化為，，，，，，．（2）更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：（3）合、分比性質(zhì)：．（4）等比性質(zhì)：如果，那么．注：①此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法”（即引入新的參數(shù)k）這樣可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算變形中一種常用方法．②應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零．可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立．如：；其中．（4）比例題常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，設(shè)參法，連等設(shè)k法，消元法二，平行線分線段成比例（1）平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.已知AD∥BE∥CF,可得等.注意：是所截的線段成比例，而跟平行線無(wú)關(guān)，所以比例線段中不可能有AD,BE,CF的比例關(guān)系（2）黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項(xiàng)，即，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中≈0.618．即簡(jiǎn)記為：注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形三．相似三角形的概念相似三角形概念：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”．相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．注意：①對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母按相同的順序?qū)?，這樣寫(xiě)比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．兩個(gè)三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例．三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.由DE∥BC可得：注：①重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.②易錯(cuò)點(diǎn)：EQ(錯(cuò))(對(duì))四．三角形相似的判定方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．(一)相似三角形的判斷定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似．（有些像SAS）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．（二）判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用．(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似．一共產(chǎn)生三對(duì)相似三角形（三）射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。五．相似三角形常見(jiàn)的圖形1、下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱為“平行線型”的相似三角形（有“A型”與“X型”圖）即平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共邊型”、“蝶型”）如圖：稱為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”）(4)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。2、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：（1）若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形）則Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；3.全等與相似的比較：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(ASA)

兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(AAS)

兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(SAS)

三邊對(duì)應(yīng)相等(SSS)

直角三角形中一直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)相等(HL)相似判定的預(yù)備定理

兩角對(duì)應(yīng)相等

兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等

三邊對(duì)應(yīng)成比例

直角三角形中斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)成比例4.相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．5.相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的相似必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①對(duì)應(yīng)邊成比例；②對(duì)應(yīng)角相等。兩個(gè)同時(shí)成立才可以說(shuō)明多邊形相似，缺一不可，如兩個(gè)矩形不一定相似，缺少①。(1)相似多邊形周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比．(2)相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方．注意：相似多邊形問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問(wèn)題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識(shí)是基礎(chǔ)和關(guān)鍵．六．相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線作法

1、證明題常用方法歸納：（1）總體思路:“等積式”變“比例式”，“比例的對(duì)應(yīng)邊”找“相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊”當(dāng)有多條邊相等的時(shí)候要會(huì)轉(zhuǎn)移邊

(2)找相似：通過(guò)“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.常用方法：一對(duì)平行線之間有多少個(gè)交點(diǎn)，就會(huì)產(chǎn)生多少對(duì)相似三角形

(3)找中間比：若沒(méi)有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這幾個(gè)字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來(lái)。①②③(4)添加輔助線：若上述方法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。（5）比例問(wèn)題：常用處理方法是將“一份”看著k;對(duì)于等比問(wèn)題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（6）．對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來(lái)的辦法處理。2.相似圖形的證明題型題型一：相似之中間項(xiàng)轉(zhuǎn)化,解題思路：一條平行線至少能產(chǎn)生一組比例式，利用比例式等量代換題型二：輔助線X圖題型三：面積相等題題型四：周長(zhǎng)相等題題型五：相似旋轉(zhuǎn)題型六：非相似三角形的面積比題型七：相似外角推論題型八：函數(shù)題七．位似圖形1.如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.2.這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.（1）位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn).（2）位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.（3）位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線.（4）位似多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比3.畫(huà)位似圖形的一般步驟：（1）確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)）（2）分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)（或截取）.（3）根據(jù)已知的位似比，確定所畫(huà)位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.（4）順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形.①②③④⑤注：①位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或頂點(diǎn)上）。②外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱為“外位似”（即同向位似圖形）③內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形）（5）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為k（k>0）,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky),反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-kx,-ky),比例的性質(zhì)比例線段平行線分線段成比例相似圖形相似多邊形的性質(zhì)相似三角形的判定利用相似測(cè)高相似三角形的性質(zhì)經(jīng)典例題透析類型一、相似三角形的概念

1．判斷對(duì)錯(cuò)：

(1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？

(2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？

(3)兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？

(4)兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？

(5)兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？

思路點(diǎn)撥：要說(shuō)明兩個(gè)三角形相似，要同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.要說(shuō)明不相似，則只要否定其中的一個(gè)條件.

解：(1)不一定相似.反例

直角三角形只確定一個(gè)直角，其他的兩對(duì)角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.

(2)不一定相似.反例

等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.因此兩個(gè)等腰三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，兩底邊的比不一定等于對(duì)應(yīng)腰的比，所以等腰三角形不一定相似.

(3)一定相似.

在直角三角形ABC與直角三角形A′B′C′中

設(shè)AB=a，A′B′=b，則BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b

∴

∴ABC∽A′B′C′

(4)一定相似.

因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟?，各角都等?0度，所以兩個(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，因此兩個(gè)等邊三角形一定相似.

(5)一定相似.

全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，所以對(duì)應(yīng)邊比為1，所以全等三角形一定相似，且相似比為1.

舉一反三

【變式1】?jī)蓚€(gè)相似比為1的相似三角形全等嗎？

解析：全等.因?yàn)檫@兩個(gè)三角形相似，所以對(duì)應(yīng)角相等.又相似比為1，所以對(duì)應(yīng)邊相等.

因此這兩個(gè)三角形全等.

總結(jié)升華：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

(1)兩個(gè)直角三角形，兩個(gè)等腰三角形不一定相似.

(2)兩個(gè)等腰直角三角形，兩個(gè)等邊三角形一定相似.

(3)兩個(gè)全等三角形一定相似，且相似比為1；相似比為1的兩個(gè)相似三角形全等.

【變式2】下列能夠相似的一組三角形為()

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形

解析：根據(jù)相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿足三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條對(duì)應(yīng)邊的比相等.而A中只有一組直角相等，其他的角是否對(duì)應(yīng)相等不可知；B中什么條件都不滿足；D中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角組成的三角形，且對(duì)應(yīng)邊的比也相等.答案選C.

類型二、相似三角形的判定

2．如圖所示，已知中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE與BC相交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.

思路點(diǎn)撥：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根據(jù)平行線找相似三角形.

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.

∴△BEF∽△CDF∽△AED.

∴當(dāng)△BEF∽△CDF時(shí)，相似比；當(dāng)△BEF∽△AED時(shí)，相似比；

當(dāng)△CDF∽△AED時(shí)，相似比.

總結(jié)升華：本題中△BEF、△CDF、△AED都相似，共構(gòu)成三對(duì)相似三角形.求相似比不僅要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后次序，若次序顛倒，則相似比成為原來(lái)的倒數(shù).

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，則△ABC和△EDF相似嗎？為什么？

思路點(diǎn)撥：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知兩邊長(zhǎng)，所以可利用勾股定理分別求出第三邊AC和DE，再看三邊是否對(duì)應(yīng)成比例.

解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.

由勾股定理得.

在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.

由勾股定理，得.

在△ABC和△EDF中，，，，

∴，

∴△ABC∽△EDF(三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似).

總結(jié)升華：

(1)本題易錯(cuò)為只看3，6，4，10四條線段不成比例就判定兩三角形不相似.利用三邊判定兩三角形相

似，應(yīng)看三角形的三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，而不是兩邊.

(2)本題也可以只求出AC的長(zhǎng)，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，判定兩三角形相似.

4．如圖所示，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時(shí)，△ACD與△ABC相似？試分別加以列舉.

思路點(diǎn)撥：此題屬于探索問(wèn)題，由相似三角形的識(shí)別方法可知，△ACD與△ABC已有公共角∠A，要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的識(shí)別方法尋找一個(gè)條件即可.

解：當(dāng)滿足以下三個(gè)條件之一時(shí)，△ACD∽△ABC.

條件一：∠1=∠B.

條件二：∠2=∠ACB.

條件三：，即.

總結(jié)升華：本題的探索鑰匙是相似三角形的識(shí)別方法.在探索兩個(gè)三角形相似時(shí)，用分析法，可先假設(shè)△ACD∽△ABC，然后尋找兩個(gè)三角形中邊的關(guān)系或角的關(guān)系即可.本題易錯(cuò)為出現(xiàn)條件四：.不符合條件“最小化”原則，因?yàn)闂l件三能使問(wèn)題成立，所以出現(xiàn)條件四是錯(cuò)誤的.

舉一反三

【變式1】已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)．

求證：△ADQ∽△QCP．

思路點(diǎn)撥：因△ADQ與△QCP是直角三角形，雖有相等的直角，但不知AQ與PQ是否垂直，所以不能用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等判定．而四邊形ABCD是正方形，Q是CD中點(diǎn)，而B(niǎo)P=3PC，所以可用對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等的方法來(lái)判定．具體證明過(guò)程如下：

證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴=2

∵=3，∴=4

又∵BC=2DQ，∴=2

在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，

∴△ADQ∽△QCP．

【變式2】如圖，弦和弦相交于內(nèi)一點(diǎn)，求證：.

思路點(diǎn)撥：題目中求證的是等積式，我們可以轉(zhuǎn)化為比例式，從而找到應(yīng)證哪兩個(gè)三角形相似.同時(shí)圓當(dāng)中同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等要會(huì)靈活應(yīng)用.

證明：連接，.

在

∴∽

∴.

【變式3】已知：如圖，AD是△ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)．

求證：△DFE∽△ABC．

思路點(diǎn)撥：EF為△ABC的中位線，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜邊上的中線，DE=AB，DF=AC．因此考慮用三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．

證明：在Rt△ABD中，DE為斜邊AB上的中線，

∴DE=AB，

即=．

同理=．

∵EF為△ABC的中位線，

∴EF=BC，

即=．

∴==．

∴△DFE∽△ABC．

總結(jié)升華：本題證明方法較多，可先證∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再證夾這個(gè)角的兩邊成比例，即=，也可證明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都可以證出△DEF∽△ABC．

類型三、相似三角形的性質(zhì)

5．△ABC∽△DEF，若△ABC的邊長(zhǎng)分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一邊的長(zhǎng)度，你能求出△DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度嗎？試說(shuō)明理由.

思路點(diǎn)撥：因沒(méi)有說(shuō)明長(zhǎng)4cm的線段是△DEF的最大邊或最小邊，因此需分三種情況進(jìn)行討論.

解：設(shè)另兩邊長(zhǎng)是xcm，ycm，且x<y.

(1)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)5cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

(2)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)6cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

(3)當(dāng)△DEF中長(zhǎng)4cm線段與△ABC中長(zhǎng)7cm線段是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，有，

從而x=cm，y=cm.

綜上所述，△DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度應(yīng)是cm,cm或cm，cm或cm，cm三種可能.

總結(jié)升華：一定要深刻理解“對(duì)應(yīng)”，若題中沒(méi)有給出圖形，要特別注意是否有圖形的分類.

6．如圖所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC中，且長(zhǎng)邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積.

思路點(diǎn)撥：利用已知條件及相似三角形的判定方法及性質(zhì)求出矩形的長(zhǎng)和寬，從而求出矩形的面積.

解：∵四邊形EFGH是矩形，∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC.

∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.

∵矩形兩鄰邊之比為1：2，設(shè)EF=xcm，則EH=2xcm.

由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，得，

∴，∴，.

∴EF=6cm，EH=12cm.

∴.

總結(jié)升華：解決有關(guān)三角形的內(nèi)接矩形、內(nèi)接正方形的計(jì)算問(wèn)題，經(jīng)常利用相似三角形“對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”和“面積比等于相似比的平方”的性質(zhì)，若圖中沒(méi)有高可以先作出高.

舉一反三

【變式1】△ABC中，DE∥BC，M為DE中點(diǎn)，CM交AB于N，若，求.

解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC

∴

∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴

∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC

∴

∴=1：2.

總結(jié)升華：圖中有兩個(gè)“”字形，已知線段AD與AB的比和要求的線段ND與NB的比分別在這兩個(gè)“”字形，利用M為DE中點(diǎn)的條件將條件由一個(gè)“”字形轉(zhuǎn)化到另一個(gè)“”字形，從而解決問(wèn)題.

類型四、相似三角形的應(yīng)用

7．如圖，我們想要測(cè)量河兩岸相對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬)，你有什么方法？

方案1：如上左圖，構(gòu)造全等三角形，測(cè)量CD，得到AB=CD，得到河寬.

方案2：

思路點(diǎn)撥：這是一道測(cè)量河寬的實(shí)際問(wèn)題，還可以借用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，比例式中四條線段，測(cè)出了三條線段的長(zhǎng)，必能求出第四條.

如上右圖，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90°角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90°，沿CD方向再走17m到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上．那么A、B之間的距離是多少？

解：∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

答：河寬為85m．

總結(jié)升華：方案2利用了“”型基本圖形，實(shí)際上測(cè)量河寬有很多方法，可以用“”型基本圖形，借助相似；也可用等腰三角形等等.

舉一反三

【變式1】如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影長(zhǎng)是2m．

(1)圖中△ABC與△ADE是否相似?為什么?

(2)求古塔的高度．

解：(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE

∴∠ACB=∠AED=90°

∵∠A=∠A

∴△ABC∽△ADE

(2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴

∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m

∴

∴DE=16m

答：古塔的高度為16m.

【變式2】已知：如圖，陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC？

思路點(diǎn)撥：光線AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.則，利用邊的比例關(guān)系求出BC.

解：作EF⊥DC交AD于F.因?yàn)锳D∥BE，所以又因?yàn)椋?/p>

所以，所以.

因?yàn)锳B∥EF，AD∥BE，所以四邊形ABEF是平行四邊形，所以EF=AB=1.8m.

所以m.

類型五、相似三角形的周長(zhǎng)與面積

8．已知：如圖，在△ABC與△CAD中，DA∥BC，CD與AB相交于E點(diǎn)，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F點(diǎn)，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積．

思路點(diǎn)撥：利用△ADE∽△BCE，以及其他有關(guān)的已知條件，可以求出△BCE的面積．△ABC的邊AB上的高也是△BCE的高，根據(jù)AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面積．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面積．

解：∵DA∥BC，

∴△ADE∽△BCE．

∴S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．

∵AE︰BE=1︰2，

∴S△ADE︰S△BCE=1︰4．

∵S△ADE=1，

∴S△BCE=4．

∵S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，

∴S△ABC=6．

∵EF∥BC，

∴△AEF∽△ABC．

∵AE︰AB=1︰3，

∴S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．

∴S△AEF==．

總結(jié)升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方．

舉一反三

【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比.

解：設(shè)原地塊為△ABC，地塊在甲圖上為△A1B1C1，在乙圖上為△A2B2C2.

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且，，

∴，

∴.

【變式2】如圖，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上．

(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

解：(1)∵S△PQC=S四邊形PABQ

∴S△PQC：S△ABC=1：2

∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC

∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2

∴CP2=42×，∴CP=.

(2)∵S△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等，

∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周長(zhǎng))=6

∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC

∴，即：

解得，CP=類型六、綜合探究

9．如圖，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)，PE⊥BP，P為垂足，PE交DC于點(diǎn)E，

(1)設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；

(2)請(qǐng)你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

解：(1)∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°

∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D

又∵PE⊥BP，∴∠APB+∠DPE=90°，

又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE，

∴△ABP∽△DPE

∴，即

∴

(2)欲使四邊形ABED為矩形，只需DE=AB=2，即，解得

∵，∵均符合題意，故AP=1或4.

總結(jié)升華：

(1)求以線段長(zhǎng)為變量的兩個(gè)函數(shù)間的關(guān)系時(shí)，常常將未知線段和已知線段作為三角形的邊，利用相似

三角形的知識(shí)解決.

(2)解決第(2)小問(wèn)時(shí)要充分挖掘運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中點(diǎn)的特殊位置，再轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值，通過(guò)建立方程

解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

10．如圖，在△ABC中，BC=2，BC邊上的高AD=1，P是BC上任意一點(diǎn)，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.

(1)設(shè)BP=，△PEF的面積為，求與的函數(shù)解析式和的取值范圍；

(2)當(dāng)P在BC邊上什么位置時(shí)，值最大.

解：(1)∵BC=2，BC邊上的高AD=1

∴△ABC的面積為1

∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC

∴，∴

同理△CEP∽△CAB

∴，

∴

∵PE∥AB，PF∥AC，∴四邊形PFAE為平行四邊形

∴

∴.

(2)

∴當(dāng)時(shí)，即P點(diǎn)在BC邊的中點(diǎn)時(shí)，值最大.

總結(jié)升華：建立三角形的面積與線段長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系，可考慮從以下幾方面考慮：

(1)從面積公式入手；

(2)從相似三角形的性質(zhì)入手；將面積的比轉(zhuǎn)化為相似比的平方；

(3)從同底或等高入手，將面積比轉(zhuǎn)化為底之比或高之比.

階段強(qiáng)化專題訓(xùn)練專題一：平行線分線段成比例常見(jiàn)應(yīng)用技巧類型一證比例式技巧1中間比代換法證比例式1.如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB.(1)求證：；(2)若AD:DB=3:5，求CF:CB的值.技巧2等積代換法證比例式2.如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，DE∥BC，過(guò)D作AC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，CF與AB交于P.求證：.技巧3等比代換法證比例式3.如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，求證：.類型2證線段相等技巧4等比過(guò)渡證線段相等(等比例過(guò)渡法)4.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，CF∥BA交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：DE=EF；(2)連結(jié)CD，過(guò)點(diǎn)D作DC的垂線交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：∠B=∠A+∠DGC．類型3證比例和為1技巧5同分母的中間比代換法5.如圖，已知AC∥FE∥BD.求證：專題二：證明相似三角形的方法名師點(diǎn)金要找三角形相似的條件，關(guān)鍵抓住以下幾點(diǎn)：(1)已知角相等時(shí)，找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例；(2)無(wú)法找到角相等時(shí)，判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例；(3)除此之外，也可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”.方法1利用邊或角的關(guān)系判定兩直角三角形相似1.下面關(guān)于直角三角形相似敘述錯(cuò)誤的是()A.有一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似B.兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似C.有一條直角邊相等的兩個(gè)直角三角形相似D.兩個(gè)等腰直角三角形相似2.如圖，BC⊥AD，垂足為C，AD=6.4，CD=1.6，BC=9.3，CE=3.1.求證：△ABC∽△DEC.方法2利用角判定兩三角形相似3.如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連接BD并延長(zhǎng)，與CE交于點(diǎn)E.(1)求證：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的長(zhǎng)．方法3利用邊角判定兩三角形相似4.如圖，AB＝3AC，BD＝3AE，又BD∥AC，點(diǎn)B，A，E在同一條直線上．求證：△ABD∽△CAE.方法4利用三邊判定兩三角形相似5.如圖，AD是△ABC的高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)．求證：△DEF∽△ABC.專訓(xùn)三巧作平行線構(gòu)造相似三角形名師點(diǎn)金：解題時(shí)，往往會(huì)遇到要證的問(wèn)題與相似三角形聯(lián)系不上或者說(shuō)圖中根本不存在相似三角形的情況，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是這類幾何證明題的一種重要方法．常作的輔助線有以下幾種：(1)由比例式作平行線；(2)有中點(diǎn)時(shí)，作中位線；(3)根據(jù)比例式，構(gòu)造相似三角形．訓(xùn)練角度1巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形1.如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，BD分別交AE，AF于點(diǎn)P，Q，求BP:PQ:QD.訓(xùn)練角度2過(guò)頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形2.如圖，在△ABC中，AC＝BC，F(xiàn)為底邊AB上一點(diǎn)，BF:AF＝3:2，取CF的中點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，求BE:EC的值．3.如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)E.求證：AE:ED＝2AF:FB.訓(xùn)練角度3過(guò)一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形4.如圖，在△ABC中，AB＞AC，在邊AB上取一點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使AD＝AE，直線DE和BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P.求證:BP:CP=BD:EC.訓(xùn)練角度4過(guò)一點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)M為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，且AE=AB，連接EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.求證：BC＝2CD.作輔助線的方法一：作輔助線的方法二：作輔助線的方法三：作輔助線的方法四：全章整合提升密碼專訓(xùn)一：證比例式或等積式的技巧名師點(diǎn)金證比例式或等積式，若遇問(wèn)題中無(wú)平行線或相似三角形時(shí)，則需構(gòu)造平行線或相似三角形，得到等比例線段；若比例式或等積式中的線段分布在兩個(gè)三角形或不在兩個(gè)三角形中，可嘗試證這兩個(gè)三角形相似或先將它們轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形中再證兩三角形相似，若在兩個(gè)明顯不相似的三角形中，可運(yùn)用中間比代換．技巧1構(gòu)造平行線法1.如圖，在△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AE·CF＝BF·EC.2.如圖，已知△ABC的邊AB上有一點(diǎn)D，邊BC的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E，且AD＝CE，DE交AC于點(diǎn)F，試證明：AB·DF＝BC·EF.技巧2三點(diǎn)找三角形相似法3.如圖，在?ABCD中，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE交BC于F.求證：eq\f(DC,AE)＝eq\f(CF,AD).4.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，M為BC的中點(diǎn)，DM⊥BC交CA的延長(zhǎng)線于D，交AB于E.求證：AM2＝MD·ME.技巧3構(gòu)造相似三角形法5.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N.求證：BP·CP＝BM·CN.技巧4等比過(guò)渡法6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G，且∠EDF＝∠ABE.求證：(1)△DEF∽△BDE；(2)DG·DF＝DB·EF.7.如圖，CE是Rt△ABC斜邊上的高，在EC的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P，連接AP，作BG⊥AP于點(diǎn)G，交CE于點(diǎn)D.求證：CE2＝DE·PE.技巧5兩次相似法8.如圖，在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，∠ABC的平分線BE交AC于E，交AD于F.求證：eq\f(BF,BE)＝eq\f(AB,BC).9.如圖，在?ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分別為M，N.求證：(1)△AMB∽△AND；(2)eq\f(AM,AB)＝eq\f(MN,AC).技巧6等積代換法10.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求證：eq\f(AE,AF)＝eq\f(AC,AB).技巧7等線段代換法11.如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，CF∥AB，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，交CF于點(diǎn)F，求證：BP2＝PE·PF.12.已知：如圖，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線EP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.求證：PD2＝PB·PC.專訓(xùn)二巧用“基本圖形”探索相似條件名師點(diǎn)金：幾何圖形大多數(shù)由基本圖形復(fù)合而成，因此熟悉三角形相似的基本圖形，有助于快速、準(zhǔn)確地識(shí)別相似三角形，從而順利找到解題思路和方法．相似三角形的四類結(jié)構(gòu)圖：1.平行線型2.相交線型3.子母型4.旋轉(zhuǎn)型訓(xùn)練角度1平行線型1.如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作ED∥BC交AB于點(diǎn)D.(1)求證：AE·BC＝BD·AC；(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的長(zhǎng)．訓(xùn)練角度2相交線型2.如圖，點(diǎn)D，E分別為△ABC的邊AC，AB上的點(diǎn)，BD，CE交于點(diǎn)O，且eq\f(EO,BO)＝eq\f(DO,CO)，試問(wèn)△ADE與△ABC相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．訓(xùn)練角度3子母型3.如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(DF,AF).訓(xùn)練角度4旋轉(zhuǎn)型4.如圖，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求證：(1)△ADE∽△ABC；(2)eq\f(AD,AE)＝eq\f(BD,CE).專訓(xùn)三利用相似三角形巧證線段的數(shù)量和位置關(guān)系名師點(diǎn)金：判斷兩線段之間的數(shù)量和位置關(guān)系是幾何中的基本題型之一．由角的關(guān)系推出“平行或垂直”是判斷位置關(guān)系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判斷數(shù)量關(guān)系的常用方法．訓(xùn)練角度1證明兩線段的數(shù)量關(guān)系類型1：證明兩線段的相等關(guān)系1.如圖，已知在△ABC中，DE∥BC，BE與CD交于點(diǎn)O，直線AO與BC邊交于點(diǎn)M，與DE交于點(diǎn)N.求證：BM＝MC.2.如圖，一直線和△ABC的邊AB，AC分別交于點(diǎn)D，E，和B