2023年湖南省長(zhǎng)沙市初中學(xué)業(yè)水平考試中考數(shù)學(xué)真題試卷【含答案】

2023年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)，本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1.下列各數(shù)中，是無(wú)理數(shù)的是（）A. B.π C. D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：A．是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；C．是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．0是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是無(wú)理數(shù)，熟知無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．2.下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義（如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對(duì)稱圖形）對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義可知：A、B、C都不是軸對(duì)稱圖形，只有D是軸對(duì)稱圖形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的定義，難度不大，掌握定義是解答的關(guān)鍵．3.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法與冪的乘方、完全平方公式、整式的乘法對(duì)每個(gè)式子一一判斷即可．【詳解】解：A、，本選項(xiàng)符合題意；B、，本選項(xiàng)不符合題意；C、，本選項(xiàng)不符合題意；D、，本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4.下列長(zhǎng)度的三條線段，能組成三角形的是（）A.1，3，4 B.2，2，7 C.4，5，7 D.3，3，6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系分別判斷即可．【詳解】解：，∴1，3，4不能組成三角形，故A選項(xiàng)不符合題意；，∴2，2，7不能組成三角形，故B不符合題意；，∴4，5，7能組成三角形，故C符合題意；，∴3，3，6不能組成三角形，故D不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5.2022年，長(zhǎng)沙市全年地區(qū)生產(chǎn)總值約為1400000000000元，比上年增長(zhǎng)．其中數(shù)據(jù)1400000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：∵科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵是要正確確定a的值以及n的值．6.如圖，直線直線n，點(diǎn)A在直線n上，點(diǎn)B在直線m上，連接，過(guò)點(diǎn)A作，交直線m于點(diǎn)C．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出，結(jié)合已知條件即可求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，∵直線直線n，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．7.長(zhǎng)沙市某一周內(nèi)每日最高氣溫的情況如圖所示，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.這周最高氣溫是32℃B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是30C.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是24D.周四與周五的最高氣溫相差8℃【答案】B【解析】【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖，可得答案．【詳解】解：A、由縱坐標(biāo)看出，這一天中最高氣溫是32℃，說(shuō)法正確，故A不符合題意；B、這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是27，原說(shuō)法錯(cuò)誤，故B符合題意；C、這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是24，說(shuō)法正確，故C不符合題意；D、周四與周五的最高氣溫相差8℃，由圖，周四、周五最高溫度分別為32℃，24℃，故溫差為（℃），說(shuō)法正確，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了折線統(tǒng)計(jì)圖，由縱坐標(biāo)看出氣溫，橫坐標(biāo)看出時(shí)間是解題的關(guān)鍵．8.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式組的解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：由得，由得，解集在數(shù)軸上表示為：，則不等式組的解集為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．9.下列一次函數(shù)中，y隨x增大而減小的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)、正比例函數(shù)的增減性與系數(shù)的關(guān)系判斷即可．【詳解】解：由一次函數(shù)、正比例函數(shù)增減性知，x系數(shù)小于0時(shí)，y隨x的增大而減小，，故只有D符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.“千門萬(wàn)戶瞳瞳日，總把新桃換舊符”．春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，古人常用寫“桃符”的方式來(lái)祈福避禍，而現(xiàn)在，人們常用貼“?！弊帧①N春聯(lián)、掛燈籠等方式來(lái)表達(dá)對(duì)新年的美好祝愿．某商家在春節(jié)期間開展商品促銷活動(dòng)，顧客凡購(gòu)物金額滿100元，就可以從“?！弊?、春聯(lián)、燈籠這三類禮品中免費(fèi)領(lǐng)取一件．禮品領(lǐng)取規(guī)則：顧客每次從裝有大小、形狀、質(zhì)地都相同的三張卡片(分別寫有“?！弊?、春聯(lián)、燈籠)的不透明袋子中，隨機(jī)摸出一張卡片，然后領(lǐng)取一件與卡片上文字所對(duì)應(yīng)的禮品．現(xiàn)有2名顧客都只領(lǐng)取了一件禮品，那么他們恰好領(lǐng)取同一類禮品的概率是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別用表示寫有“?！弊?、春聯(lián)、燈籠的三張卡片，利用列表法求出概率即可．【詳解】解：分別用A，B，C表示寫有“?！弊?、春聯(lián)、燈籠的三張卡片，列表如下：ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共有9中等可能的結(jié)果，其中他們恰好領(lǐng)取同一類禮品有種等可能的結(jié)果，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查列表法求概率，解題的關(guān)鍵是正確的列出表格．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11.分解因式：n2﹣100=_____．【答案】（n-10）（n+10）【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【詳解】解：n2-100=n2-102=（n-10）（n+10）．故答案為：（n-10）（n+10）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵．12.睡眠管理作為“五項(xiàng)管理”中重要的內(nèi)容之一，也是學(xué)校教育重點(diǎn)關(guān)注的內(nèi)容．某老師了解到班上某位學(xué)生的5天睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)）如下：10，9，10，8，8，則該學(xué)生這5天的平均睡眠時(shí)間是_____小時(shí)．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義列式計(jì)算即可．【詳解】解：（小時(shí)）．即該學(xué)生這5天的平均睡眠時(shí)間是9小時(shí)．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)，平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一項(xiàng)指標(biāo)．13.如圖，已知，點(diǎn)D在上，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，連接，則的度數(shù)是_______度．【答案】65【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等和三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴，∵，∴．故答案：65．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在反比例函數(shù)為常數(shù)，，的圖象上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接．若的面積為，則___________________．【答案】##【解析】分析】由的幾何意義可得，從而可求出的值．【詳解】解：的面積為，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了k的幾何意義．用k表示三角形AOB的面積是本題的解題關(guān)鍵．15.如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的上，，，垂足為E，交于點(diǎn)D，連接，則的長(zhǎng)度為_____．【答案】1【解析】【分析】連接，利用圓周角定理及垂徑定理易得，則，結(jié)合已知條件，利用直角三角形中角對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可求得答案．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查圓與直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合已知條件求得是解題的關(guān)鍵．16.毛主席在《七律二首?送瘟神》中寫道“坐地日行八萬(wàn)里，巡天遙看一千河”，我們把地球赤道看成一個(gè)圓，這個(gè)圓的周長(zhǎng)大約為“八萬(wàn)里”．對(duì)宇宙千百年來(lái)的探索與追問(wèn)，是中華民族矢志不渝的航天夢(mèng)想．從古代詩(shī)人屈原發(fā)出的《天問(wèn)》，到如今我國(guó)首次火星探測(cè)任務(wù)被命名為“天問(wèn)一號(hào)”，太空探索無(wú)上境，偉大夢(mèng)想不止步．2021年5月15日，我國(guó)成功實(shí)現(xiàn)火星著陸．科學(xué)家已經(jīng)探明火星的半徑大約是地球半徑的，若把經(jīng)過(guò)火星球心的截面看成是圓形的，則該圓的周長(zhǎng)大約為_____萬(wàn)里．【答案】4【解析】【分析】先求出地球的半徑，再根據(jù)火星的半徑大約是地球半徑的，即可求出答案．【詳解】解：設(shè)地球的半徑為萬(wàn)里，則，解得，∴火星的半徑為萬(wàn)里，∴經(jīng)過(guò)火星球心的截面的圓的周長(zhǎng)大約為萬(wàn)里．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的周長(zhǎng)，熟練掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)公式是關(guān)鍵．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】分別根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪的運(yùn)算法則及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值、零指數(shù)冪的運(yùn)算法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則、特殊角的三角函數(shù)值，熟知各個(gè)運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．18.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，6【解析】【分析】先去括號(hào)、再合并同類項(xiàng)將原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將代入計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，；當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算、化簡(jiǎn)求值等知識(shí)點(diǎn)，正確利用整式混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)成為解題的關(guān)鍵．19.年月日點(diǎn)分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國(guó)空間站．如圖，在發(fā)射的過(guò)程中，飛船從地面處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點(diǎn)時(shí)，從位于地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是，仰角為；后飛船到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得仰角為．（1）求點(diǎn)離地面的高度；（2）求飛船從處到處的平均速度．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)【答案】（1）（2）飛船從處到處的平均速度約為【解析】【分析】（1）根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）在中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，在中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】解：在中，，，，，【小問(wèn)2詳解】在中，，，，，在中，，，，，，飛船從處到處的平均速度．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形-俯角仰角問(wèn)題，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20.為增強(qiáng)學(xué)生安全意識(shí)，某校舉行了一次全校3000名學(xué)生參加的安全知識(shí)競(jìng)賽．從中隨機(jī)抽取n名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行了分析，把成績(jī)分成四個(gè)等級(jí)（D：；C：；B：；A：），并根據(jù)分析結(jié)果繪制了不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）填空：n=，m=；（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）扇形統(tǒng)計(jì)圖中B等級(jí)所在扇形的圓心角度數(shù)為度；（4）若把A等級(jí)定為“優(yōu)秀”等級(jí)，請(qǐng)你估計(jì)該校參加競(jìng)賽的3000名學(xué)生中達(dá)到“優(yōu)秀”等級(jí)的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）150，36；（2）見解析（3）144（4）估計(jì)該校參加競(jìng)賽的3000名學(xué)生中達(dá)到“優(yōu)秀”等級(jí)的學(xué)生人數(shù)有480人【解析】【分析】（1）根據(jù)B等級(jí)的頻數(shù)和所占的百分比，可以求得n的值，根據(jù)C等級(jí)的頻數(shù)和n的值，可以求得m的值；（2）根據(jù)（1）中n的值和頻數(shù)分布直方圖中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出D等級(jí)的頻數(shù)，從而可以將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整；（3）利用360°乘以B等級(jí)的百分比即可；（4）利用3000乘以A等級(jí)的百分比即可．【小問(wèn)1詳解】，∵，∴；故答案為：150，36；【小問(wèn)2詳解】D等級(jí)學(xué)生有：（人），補(bǔ)全的頻數(shù)分布直方圖，如圖所示：【小問(wèn)3詳解】扇形統(tǒng)計(jì)圖中B等級(jí)所在扇形的圓心角度數(shù)為；故答案為：144；【小問(wèn)4詳解】（人），答：估計(jì)該校參加競(jìng)賽的3000名學(xué)生中達(dá)到“優(yōu)秀”等級(jí)的學(xué)生人數(shù)有480人．【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．21.如圖，，，，垂足分別為，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）【解析】分析】（1）利用“”可證明；（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的長(zhǎng)，然后計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】證明：，，，在和中，，；【小問(wèn)2詳解】解：，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．22.為提升學(xué)生身體素質(zhì)，落實(shí)教育部門“在校學(xué)生每天鍛煉時(shí)間不少于1小時(shí)”的文件精神．某校利用課后服務(wù)時(shí)間，在八年級(jí)開展“體育賦能，助力成長(zhǎng)”班級(jí)籃球賽，共個(gè)班級(jí)參加．（1）比賽積分規(guī)定：每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，勝一場(chǎng)積分，負(fù)一場(chǎng)積分．某班級(jí)在場(chǎng)比賽中獲得總積分為分，問(wèn)該班級(jí)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？（2）投籃得分規(guī)則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內(nèi)含分線投籃，投中一球可得分，某班級(jí)在其中一場(chǎng)比賽中，共投中個(gè)球只有分球和分球，所得總分不少于分，問(wèn)該班級(jí)這場(chǎng)比賽中至少投中了多少個(gè)分球？【答案】（1）該班級(jí)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是場(chǎng)和場(chǎng)；（2）該班級(jí)這場(chǎng)比賽中至少投中了個(gè)分球．【解析】【分析】（1）設(shè)勝了場(chǎng)，負(fù)了場(chǎng)，根據(jù)場(chǎng)比賽中獲得總積分為分可列方程組，求解即可．（2）設(shè)班級(jí)這場(chǎng)比賽中投中了個(gè)分球，則投中了個(gè)分球，根據(jù)所得總分不少于分，列出相應(yīng)的不等式，從而可以求出答案．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)勝了場(chǎng)，負(fù)了場(chǎng)，根據(jù)題意得：，解得，答：該班級(jí)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是場(chǎng)和場(chǎng)；【小問(wèn)2詳解】設(shè)班級(jí)這場(chǎng)比賽中投中了個(gè)分球，則投中了個(gè)分球，根據(jù)題意得：，解得，答：該班級(jí)這場(chǎng)比賽中至少投中了個(gè)分球．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和不等式．23.如圖，在中，平分，交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)和的面積．【答案】（1）見解析（2）；的面積為【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到；（2）根據(jù)線段的和差得到；過(guò)D作交的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到的面積．【小問(wèn)1詳解】證明：在中，，∴，∵平分，∴，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴；過(guò)D作交的延長(zhǎng)線于H，∵，∴，∴，∴，∴，∴的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24.如圖，點(diǎn)A，B，C在上運(yùn)動(dòng)，滿足，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，點(diǎn)E是弦上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），過(guò)點(diǎn)E作弦的垂線，交于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M（點(diǎn)M在劣弧上）．（1）是的切線嗎？請(qǐng)作出你的判斷并給出證明；（2）記的面積分別為，若，求的值；（3）若的半徑為1，設(shè)，，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】（1）是的切線，證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意，由勾股定理，首先求出，從而，然后根據(jù)，可以得解；（2）由題意，據(jù)得，再由，進(jìn)而進(jìn)行變形利用方程的思想可以得解；（3）依據(jù)題意，連接，分別在中，找出邊之間的關(guān)系，進(jìn)而由，可以得解．【小問(wèn)1詳解】解：是的切線．證明：如圖，在中，，∴．又點(diǎn)A，B，C在上，∴是的直徑．∵，∴．又，∴．∴．∴是的切線．【小問(wèn)2詳解】由題意得，．∵，∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．又，∴．∴．∴．由題意，設(shè)，∴．∴．∴．∵，∴．∴．【小問(wèn)3詳解】設(shè)，∵，∴．如圖，連接．∴在中，．∴，．∴在中，，．在中，．（∵，∴）．在中，，．∴．即．∵，∴最大值為F與O重合時(shí)，即為1．∴．綜上，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，切線的判定定理，求角的正切值，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用．25.我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)與同時(shí)滿足，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．