可壓縮氣體的伯努利方程

可壓縮氣體的伯努利方程

在普通物理教材和教學(xué)中，我們只討論了不可壓縮的伯努利方程。討論液體和低速氣體的運(yùn)動(dòng)可以是有效的，但不能處理高速和高速氣體的流動(dòng)。在這項(xiàng)工作中，我們使用可壓縮氣體的伯努利方程來討論高速氣流的實(shí)際問題。1容器內(nèi)空氣的極值工業(yè)生產(chǎn)中常用的儲(chǔ)液器通常有一個(gè)進(jìn)液口和一個(gè)排氣口.以儲(chǔ)水容器為例,如圖1所示.開始容器內(nèi)有一個(gè)大氣壓的空氣,在注水過程中容器內(nèi)氣壓會(huì)升高.容器內(nèi)氣壓的最大值是很重要的參量,決定了容器的強(qiáng)度設(shè)計(jì).下面討論儲(chǔ)水容器內(nèi)氣壓的極值.首先建立儲(chǔ)水容器內(nèi)氣壓變化所滿足的微分方程.設(shè)儲(chǔ)水容器容積為V0,開始容器內(nèi)充滿與環(huán)境大氣相同的空氣,氣壓、溫度、密度分別為pa、Ta、ρa(bǔ).設(shè)t時(shí)刻容器內(nèi)的氣壓、體積、溫度、密度分別為p、V、T、ρ.設(shè)t—t+dt時(shí)間內(nèi)注入的水的體積為dV水,排出的空氣體積為dV,并設(shè)整個(gè)排氣過程為等熵過程,把空氣當(dāng)作理想氣體,則對(duì)于留在容器內(nèi)t時(shí)刻體積為(V-dV)、壓強(qiáng)為p的那些空氣,在t+dt時(shí)刻體積壓縮為(V-dV水)、壓強(qiáng)為(p+dp),于是由等熵過程的泊松(Poisson)公式有即于是得其中γ為比熱容比.設(shè)t時(shí)刻注入水和排出空氣的體積流量分別為q水、q,則由于容器內(nèi)空氣進(jìn)入排氣管后體積膨脹,所以這里的排出空氣體積流量q不等于排氣管中的空氣體積流量qe.將上式代入式(1)得其中定義氣壓極值pm為使dp/dt=0的氣壓.由式(2)可知,當(dāng)q水-q=0時(shí)容器內(nèi)氣壓達(dá)到極值pm,即為容器內(nèi)氣壓為極值的條件.體積流量取決于進(jìn)水管和排氣管中流體的流速.流速要用伯努利方程計(jì)算.排氣管中空氣的流速可以達(dá)到聲速,因此要應(yīng)用適用于可壓縮流體的普遍伯努利方程.2ue鋼結(jié)構(gòu)及密度的擬合普通物理教材中一般不講普遍的伯努利方程.下面簡要介紹如何由歐拉方程推導(dǎo)普遍的伯努利方程.適用于理想流體(無粘滯性的流體)的歐拉方程為其中f為流體所受單位質(zhì)量的保守體積力.對(duì)定常流動(dòng),有于是式(5)為討論同一條流線上各點(diǎn)的參量關(guān)系.用dr=vdt點(diǎn)積方程的兩邊得化簡為其中ue788為單位質(zhì)量的勢函數(shù),-due788=f·dr.式(6)就是理想流體定常流動(dòng)時(shí)沿流線上點(diǎn)的參量所滿足的微分方程,也就是普遍的伯努利方程.式(6)也可以由熱力學(xué)第一定律在絕熱條件下導(dǎo)出.在普通物理學(xué)中當(dāng)考慮內(nèi)能后也可以推導(dǎo)出式(6).若流體不可壓縮,則ρ為常數(shù),式(6)為即式(7)就是不可壓縮流體所滿足的最常見的伯努利方程.如果是可壓縮理想氣體,并且流動(dòng)過程中等熵,則由泊松(Poisson)公式以及ρV=常數(shù),得到則于是由式(6),可壓縮理想氣體在等熵定常流動(dòng)過程中沿流線的微分方程為即有了可壓縮流體的伯努利方程式(6),才可以嚴(yán)格討論在什么情況下可以近似應(yīng)用不可壓縮流體的伯努利方程(7)計(jì)算氣體的流動(dòng).對(duì)式(6)兩邊沿流線從點(diǎn)1到點(diǎn)2積分,得當(dāng)1、2兩點(diǎn)的氣體相對(duì)壓差較小時(shí),密度ρ的變化也較小,于是其中ρ∈[ρ2,ρ1].因此得到這也就是應(yīng)用式(7)得到的結(jié)果.3均有空氣在大氣中表達(dá)空氣和容器內(nèi)充放電時(shí)聲速的變化水可以看作不可壓縮流體,忽略重力勢能的影響,由式(7)得到注水的流速同樣忽略重力勢能的影響,取容器內(nèi)空氣流速為零,則由式(9)得到排氣管內(nèi)空氣流速為其中pe、ρe、分別為排氣管內(nèi)空氣的壓強(qiáng)、質(zhì)量密度、聲速.推導(dǎo)中還用到式(8).定義氣壓比剛開始注水時(shí),容器內(nèi)氣壓p較低,β較小,排氣管內(nèi)空氣流速也較低,排氣管內(nèi)氣壓pe等于環(huán)境大氣壓pa.排氣管內(nèi)空氣(pe,Te)來自容器內(nèi)初始狀態(tài)的空氣(pa,Ta),由于整個(gè)流動(dòng)過程是等熵的,所以排氣管內(nèi)空氣和容器內(nèi)初始狀態(tài)的空氣有關(guān)系:peγ-1Te-γ=Paγ-1Ta-γ.這樣,當(dāng)排氣管內(nèi)氣壓pe等于pa時(shí),排氣管內(nèi)聲速ce也等于環(huán)境大氣聲速ca.隨著注水的進(jìn)行,容器內(nèi)氣壓不斷增加,排氣管內(nèi)空氣流速也不斷增加,直到排氣管內(nèi)空氣流速達(dá)到聲速.空氣流速達(dá)到聲速是臨界狀態(tài),此時(shí)容器內(nèi)壓強(qiáng)稱為臨界壓強(qiáng)pc,比值β稱為臨界比值βc.臨界狀態(tài)下,仍有pe=pa,ce=ca.于是由式(11)令ve=ce得對(duì)空氣,γ=1.4,于是空氣的臨界參量當(dāng)p繼續(xù)升高,β>βc時(shí),由流體力學(xué)收縮管實(shí)驗(yàn)結(jié)論,排氣管內(nèi)空氣流速一直保持為聲速,不可能超聲速(如果想獲得超聲速氣流,必須用一種截面積先減小后增大的拉瓦爾噴管).此時(shí)排氣管內(nèi)氣壓pe要隨之升高,保持與p不變的比值關(guān)系,即pe≡p/βc.排氣管內(nèi)氣壓不再與環(huán)境氣壓相同而是高于環(huán)境氣壓,空氣從排氣管進(jìn)入大氣后還要再一次膨脹.雖然空氣流速一直等于聲速,但是由于pe在增加因此聲速也在提高.容器內(nèi)壓強(qiáng)為p(>pc)時(shí)排氣管內(nèi)的聲速(流速)為其中R=8.31J/(mol·K)為氣體普適常量,M=28.9×10-3kg/mol為空氣的摩爾質(zhì)量,Te為排氣管內(nèi)溫度.由理想氣體的等熵關(guān)系pγ-1T-γ=常數(shù),得所以由式(12)得于是容器內(nèi)壓強(qiáng)為p(氣壓比為β>βc)時(shí)排氣管內(nèi)的聲速(流速)為其中Ta為環(huán)境溫度,若取Ta=293K,則ca=343m/s.4分離出極值空氣所對(duì)應(yīng)的氮?dú)鈽O值方程容器內(nèi)的水和注水管中的水其密度相同,所以注水的體積流量為(設(shè)注水管截面積為S水)其中定義注水壓強(qiáng)比排氣管里空氣的體積流量(設(shè)排氣管截面積為Se)如前所述,排出氣體的體積流量q不等于排氣管里氣體的體積流量qe.但是由于是定常流動(dòng),在同一流管中質(zhì)量流量q質(zhì)量是相同的,于是由式(8)得若p≤pc(β≤βc)時(shí),pe=pa,則若p>pc(β>βc)時(shí),pe/p=βc-1這樣,氣壓極值條件式(4)就是關(guān)于極值氣壓所對(duì)應(yīng)的氣壓比βm的方程.解出βm,就得到氣壓pm極值問題是采用式(17)和式(18)兩個(gè)關(guān)系式中的哪一個(gè)?這可以用嘗試的方法解決.例如先用式(17)計(jì)算,如果結(jié)果βm≤βc,那么計(jì)算正確;否則就要改用式(18)計(jì)算.下面先由式(17)計(jì)算極值氣壓比βm.假設(shè)βm≤βc.將式(15)、式(17)代入式(4)得設(shè)進(jìn)水管、排氣管半徑分別為r水、re,則有取γ=1.4、ca=343m/s、ρ水=1.00×103kg/m3、pa=1.013×105N/m2,得如果re/r水較大,極端情況是容器敞口,則βm→1.取α=10計(jì)算不同re/r水比值情況下的βm,結(jié)果如下:其中re/r水=15/40的情況,已經(jīng)不屬于式(19)解決的問題.取re/r水=12.5/40,計(jì)算不同α情況下的βm,結(jié)果如下:由此可見,在re/r水=12.5/40情況下,從α=4.3起βm>βc都超出式(19)解決的問題的范疇.取γ=1.4、βc=1.8929、ca=343m/s、ρ水=1.00×103kg/m3、pa=1.013×105N/m2,得考慮一個(gè)實(shí)際的例子:r水=40mm、re=12.5mm,α=4.3、5.3、7、10.將r水、re代入計(jì)算得可見都有βm>βc,所以計(jì)算有效.5容器內(nèi)氣量變化1)以儲(chǔ)液罐排氣管內(nèi)空氣流速的計(jì)算為例,說明在氣體相對(duì)壓差較小時(shí),用不可壓縮流體的式(7)和等熵氣體的式(9)來計(jì)算流速近似相等.按式(7)計(jì)算流速其中相對(duì)壓差為Δβ=β-1.當(dāng)Δβue04d1時(shí),于是按式(9)計(jì)算的流速(見式(13))可以近似為兩式的計(jì)算結(jié)果近似相等.2)由上述計(jì)算可知,決定氣壓極值的是注水壓強(qiáng)p水(即α)、排氣管半徑re與注水管半徑r水的比值,與容器的容積無關(guān).由式(19)或式(20)可以很容易地計(jì)算出氣壓極值.3)關(guān)于儲(chǔ)水容器注水過程中容器內(nèi)氣壓的最大值.由式(2)可以定性討論注水過程中容器內(nèi)氣壓變化的規(guī)律.開始注水時(shí),q水最大、V最大而q=0,dp/dt>0,容器內(nèi)氣壓p增加;隨p增加q水減少而q增加,但如果q仍然小于q水則仍然有dp/dt>0,于是p繼續(xù)增加…….這時(shí)可能有兩種情況.第一種情況是直到容器充滿時(shí)q仍然小于q水,于是容器即將充滿的瞬時(shí)氣壓即為最大氣壓,最大氣壓小于上面計(jì)算的氣壓極值.這種情況下,整個(gè)注水過程中容器內(nèi)氣壓一直增加,不可能出現(xiàn)減少現(xiàn)象.第二種情況是容器充滿前達(dá)到q水=q,這時(shí)容器內(nèi)氣壓達(dá)到最大值也就是氣壓極值pmax.由于q水、q都是p的單值函數(shù),在氣壓達(dá)到極值pmax后dp/dt=0,氣壓p不變,q水、q也都不變,即仍然保持q水=q狀態(tài).所以氣壓p達(dá)到極值后就不再改變,直到將容器注滿,也不會(huì)出現(xiàn)氣壓減少的現(xiàn)象.綜上所述,容器內(nèi)氣壓不會(huì)超過氣壓極值.因此氣壓極值可以作為儲(chǔ)液容器強(qiáng)度計(jì)算的重要參考數(shù)據(jù).4)要想了解注水過程中容器內(nèi)氣壓變化的詳細(xì)情況,就要將式(3)、式(15)、式(17)[或者式(18)]代入式(2),得到一個(gè)完整的關(guān)于p隨時(shí)間變化的微分方程.可以用數(shù)值積分的方法得到p(t)-t函數(shù)圖形.但是