壓縮感知技術(shù)研究進展分析

壓縮感知技術(shù)研究進展摘要：信號采樣是聯(lián)系模擬信源和數(shù)字信息的橋梁.人們對信息的巨量需求造成了信號采樣、傳輸和存儲的巨大壓力.如何緩和這種壓力又能有效提取承載在信號中的有用信息是信號與信息解決中急需解決的問題之一.近年國際上出現(xiàn)的壓縮感知理論(CompressedSensing,CS)為緩和這些壓力提供理解決辦法.本文綜述了CS理論框架及核心技術(shù)問題,并介紹了仿真實例、應(yīng)用前景,評述了其中的公開問題,對研究中現(xiàn)存的難點問題進行了探討,最后對CS技術(shù)做了一下總結(jié)和展望.核心詞：壓縮感知；稀疏表達；觀察矩陣；編碼；解碼AdvancesinTheoryandApplicationofCompressedSensingAbstract：Samplingisthebridgebetweenanalogsourcesignalanddigitalsignal.Withtherapidprogressofinformationtechnologies,thedemandsforinformationareincreasingdramatically.Sotheexistingsystemsareverydifficulttomeetthechallengesofhighspeedsampling,largevolumedatatransmissionandstorage.Howtoacquireinformationinsignalefficientlyisanurgentprobleminelectronicinformationfields.Inrecentyears,anemergingtheoryofsignalacquirement.compressedsensing(CS)providesagoldenopportunityforsolvingthisproblem.Thispaperreviewsthetheoreticalframeworkandthekeytechnicalproblemsofcompressedsensingandintroducesthelatestdevelopmentsofsignalsparserepresentation,designofmeasurementmatrixandreconstructionalgorithm.ThenthispaperalsoreviewsseveralopenproblemsinCStheoryanddiscussestheexistingdifficultproblems.Intheend,theapplicationfieldsofcompressedsensingareintroduced.Keywords:compressedsensing;sparserepresentation;theobservationmatrix;coding;decoding一、引言在過去的半個世紀(jì)里，奈奎斯特采樣定理幾乎支配著全部的信號或圖像等的獲取、解決、存儲以及傳輸。它規(guī)定采樣頻率必須不不大于或等于信號帶寬的兩倍，才干不失真的重構(gòu)原始信號。在許多實際應(yīng)用中，例如高分辨率的數(shù)碼裝置及超帶寬信號解決，高速采樣產(chǎn)生了龐大的數(shù)據(jù)，為了減少存儲，解決或傳輸成本，只保存其中少量的重要數(shù)據(jù)。由于采樣后得到的大部分?jǐn)?shù)據(jù)都被丟棄了，因此這種方式造成了采樣資源的嚴(yán)重浪費。構(gòu)想如果在采樣的同時直接提取信號的少量重要信息，就能夠大大減少采樣頻率，節(jié)省資源，提高效率并且仍能夠精確重構(gòu)原始信號或圖像。這就是Donoho、Candes以及Tao等人提出壓縮感知（CompressedSensing、CompressiveSampling或CompressiveSensing，CS）理論的重要思想。壓縮感知理論指出：如果信號在某個變換域是稀疏的或可壓縮的，就能夠運用一種與變換基不有關(guān)的觀察矩陣將變換所得的高維信號投影到一種低維空間上，根據(jù)這些少量的觀察值，通過求解凸優(yōu)化問題就能夠?qū)崿F(xiàn)信號的精確重構(gòu)。在傳統(tǒng)理論的指導(dǎo)下，信號X的編解碼過程如圖1所示：編碼端首先獲得X的N點采樣值，經(jīng)變換后只保存其中K個最大的投影系數(shù)并對它們的幅度和位置編碼，最后將編得的碼值進行存儲或傳輸。解壓縮僅是編碼過程的逆變換。事實上，采樣得到的大部分?jǐn)?shù)據(jù)都是不重要的，即K值很小，但由于奈奎斯特采樣定理的限制，采樣點數(shù)N可能會非常大，采樣后的壓縮是造成資源浪費的根本所在。CS較好的解決了這一問題，它將信號的采樣、壓縮及編碼合并在了同一環(huán)節(jié)中，不通過N點采樣的中間過程而直接得到信號的表達，其編解碼過程如圖2所示?？蓧嚎s信號X通過一種線性觀察過程獲得M個觀察值后直接進行存儲或傳輸。在滿足一定的條件下接受端能夠根據(jù)這M個觀察值通過一種非線性優(yōu)化過程恢復(fù)出原信號X。壓縮感知的基本理論及核心問題假設(shè)有一信號，長度為，基向量為，對信號進行變換：顯然是信號在時域的表達，是信號在域的表達。信號與否含有稀疏性或者近似稀疏性是運用壓縮感知理論的核心問題，若(1)式中的只有個是非零值者僅經(jīng)排序后按指數(shù)級衰減并趨近于零，可認(rèn)為信號是稀疏的。信號的可稀疏表達是壓縮感知的先驗條件。在已知信號是可壓縮的前提下，壓縮感知過程可分為兩步：設(shè)計一種與變換基不有關(guān)的維測量矩陣對信號進行觀察，得到維的測量向量。由維的測量向量重構(gòu)信號。2.1信號的稀疏表達文獻[4]給出稀疏的數(shù)學(xué)定義：信號在正交基下的變換系數(shù)向量為，如果對于和，這些系數(shù)滿足：則闡明系數(shù)向量在某種意義下是稀疏的．文獻[1]給出另一種定義：如果變換系數(shù)的支撐域的勢不大于等于，則能夠說信號是項稀疏。如何找到信號最佳的稀疏域?這是壓縮感知理論應(yīng)用的基礎(chǔ)和前提，只有選擇適宜的基表達信號才干確保信號的稀疏度，從而確保信號的恢復(fù)精度。在研究信號的稀疏表達時，能夠通過變換系數(shù)衰減速度來衡量變換基的稀疏表達能力。Candes和Tao研究表明，滿足含有冪次(power-law)速度衰減的信號，可運用壓縮感知理論得到恢復(fù)。近來幾年，對稀疏表達研究的另一種熱點是信號在冗余字典下的稀疏分解．這是一種全新的信號表達理論：用超完備的冗余函數(shù)庫取代基函數(shù)，稱之為冗余字典，字典中的元素被稱為原子．字典的選擇應(yīng)盡量好地符合被逼近信號的構(gòu)造，其構(gòu)成能夠沒有任何限制．從從冗余字典中找到含有最佳線性組合的K項原子來表達一種信號，稱作信號的稀疏逼近或高度非線性逼近?，F(xiàn)在信號在冗余字典下的稀疏表達的研究集中在兩個方面：(1)如何構(gòu)造一種適合某一類信號的冗余字典；(2)如何設(shè)計快速有效的稀疏分解算法．這兩個問題也始終是該領(lǐng)域研究的熱點，學(xué)者們對此已做了某些探索，其中以非相干字典為基礎(chǔ)的一系列理論證明得到了進一步改善．西安電子科技大學(xué)的石光明專家也對稀疏表達問題進行了認(rèn)真研究，并基于多組正交基級聯(lián)而成的冗余字典提出一種新的稀疏分解辦法。2.2信號的觀察矩陣用一種與變換矩陣不有關(guān)的測量矩陣對信號進行線性投影，得到線性測量值：測量值是一種維向量，這樣使測量對象從維降為維。觀察過程是非自適應(yīng)的即測量矩陣少的選擇不依賴于信號。測量矩陣的設(shè)計規(guī)定信號從轉(zhuǎn)換為的過程中，所測量到的個測量值不會破壞原始信號的信息，確保信號的精確重構(gòu)。由于信號是是可稀疏表達的，上式能夠表達為下式：其中是一種矩陣。上式中，方程的個數(shù)遠不大于未知數(shù)的個數(shù)，方程無擬定解，無法重構(gòu)信號。但是，由于信號是K稀疏，若上式中的滿足有限等距性質(zhì)(RestrictedIsometryProperty，簡稱RIP)，即對于任意K稀疏信號和常數(shù)，矩陣滿足：則K個系數(shù)能夠從M個測量值精確重構(gòu)。RIP性質(zhì)的等價條件是測量矩陣和稀疏基不有關(guān)。現(xiàn)在，用于壓縮感知的測量矩陣重要有下列幾個：高斯隨機矩陣，二值隨機矩陣(伯努力矩陣)，傅立葉隨機矩陣，哈達瑪矩陣，一致球矩陣等。2.3信號的重構(gòu)算法當(dāng)矩陣滿足RIP準(zhǔn)則時。壓縮感知理論能夠通過對上式的逆問題先求解稀疏系數(shù)，然后將稀疏度為K的信號從維的測量投影值中對的地恢復(fù)出來。解碼的最直接辦法是通過范數(shù)下求解的最優(yōu)化問題：從而得到稀疏系數(shù)的預(yù)計。由于上式的求解是個NP—HARD問題。而該最優(yōu)化問題與信號的稀疏分解十分類似，因此有學(xué)者從信號稀疏分解的有關(guān)理論中尋找更有效的求解途徑。文獻[10]表明，最小范數(shù)下在一定條件下和最小范數(shù)含有等價性，可得到相似的解。那么上式轉(zhuǎn)化為最小范數(shù)下的最優(yōu)化問題：最小范數(shù)下最優(yōu)化問題又稱為基追蹤(BP)，其慣用實現(xiàn)算法有：內(nèi)點法和梯度投影法。內(nèi)點法速度慢，但得到的成果十分精確：而梯度投影法速度快，但沒有內(nèi)點法得到的成果精確。二維圖像的重構(gòu)中，為充足運用圖像的梯度構(gòu)造?？尚拚秊檎w部分(TotalVariation，TV)最小化法。由于最小范數(shù)下的算法速度慢，新的快速貪婪法被逐步采用，如匹配追蹤法(MP)和正交匹配追蹤法(OMP)。另外，有效的算法尚有迭代閾值法以及多個改善算法。三、壓縮感知仿真實例對256×256大小的8bit灰度lena圖像進行仿真計算，由于數(shù)據(jù)量過大，將圖像分為16×16大小的分塊進行計算，稀疏矩陣采用DCT矩陣，觀察矩陣采用高斯隨機矩陣，重構(gòu)算法采用OMP（正交匹配追蹤）算法。MATLAB代碼以下：在MATLABRb中的計算成果以下：原圖像采樣率0.7采樣率0.5采樣率0.3采用均方誤差MSE評價重構(gòu)后的圖像質(zhì)量。不同采樣率下的計算時間與計算誤差以下圖所示：四、CS的應(yīng)用前景能從少量的非有關(guān)觀察值中高效獲取可壓縮信號的信息，CS的這一特點決定了其應(yīng)用的廣泛性。CS的應(yīng)用領(lǐng)域涉及數(shù)據(jù)壓縮、模擬/信息的轉(zhuǎn)換、壓縮成像、信道編碼、信道預(yù)計、生物傳感、語音識別、雷達成像、雷達遙感、學(xué)習(xí)理論及模式識別等諸多領(lǐng)域。在壓縮成像方面，RICE大學(xué)已成功研制了“單像素”壓縮數(shù)碼攝影機，該相機不像傳統(tǒng)相機那樣獲取原始信號的N個像素值，而是直接獲取M個隨機線性觀察值，在實踐中為取代傳統(tǒng)相機邁出了實質(zhì)性的一步。在通信領(lǐng)域，壓縮感知也有著強大的生命力，由于無線多徑信道普通狀況下是稀疏的，即使在時延擴展很大時，大幅度的徑的個數(shù)也極少，因此運用少量的導(dǎo)頻就能獲取未知信道的頻域響應(yīng)預(yù)計。另外壓縮感知理論還可用于通信信道的錯誤檢測、傳感網(wǎng)絡(luò)的分布式信源編碼、認(rèn)知無線電中的頻譜感知等。五、研究的公開問題5.1p2范數(shù)優(yōu)化問題壓縮感知理論在圖像壓縮編碼等方面也應(yīng)當(dāng)有很廣泛的前景,但由于信號的恢復(fù)辦法是建立在12范數(shù)意義下,數(shù)據(jù)之間尚有很大的冗余性沒有去除,相比傳統(tǒng)的小波變換編碼,壓縮感知理論應(yīng)用于圖像壓縮的效果還不抱負(fù).p2范數(shù)的優(yōu)化是提高基于壓縮感知理論的壓縮算法效果的必經(jīng)之路.p2范數(shù)的優(yōu)化辦法是一種公開問題(openproblem),對它的研究將推動壓縮感知理論在壓縮方面的應(yīng)用,含有很深遠的意義.p2范數(shù)意義下的優(yōu)化問題是一種凸函數(shù)優(yōu)化問題,現(xiàn)在已有某些成熟的算法,但p2范數(shù)的優(yōu)化是一種非凸函數(shù)的優(yōu)化問題,其中有諸多數(shù)學(xué)問題有待解決.有關(guān)p2范數(shù)非凸函數(shù)優(yōu)化問題,也有某些學(xué)者開展研究.如RickChartrand[用典型的合成數(shù)據(jù)做了某些實驗,表明在一定的稀疏誤差范疇內(nèi),能夠得到最小值.在文獻[19]中,他進一步給出了變換基空間內(nèi)的系數(shù)嚴(yán)格的等距條件(restrictedisometry),由于有了嚴(yán)格的約束,完全適合于大多數(shù)實際的信號.筆者盼望通過借用自然優(yōu)化計算以及將p2范數(shù)非凸函數(shù)轉(zhuǎn)換為近似凸函數(shù)優(yōu)化等辦法,提出一種新的求解p2范數(shù)范數(shù)的優(yōu)化問題,以實現(xiàn)在p2范數(shù)意義下的壓縮感知理論的信號恢復(fù),最大可能減少信號的冗余.該思路正在研究之中.5.2觀察矩陣與恢復(fù)性能關(guān)系前面提到,觀察矩陣與稀疏變換基的不相干特性是壓縮感知理論含有良好性能的基礎(chǔ).由于隨機高斯分布的觀察矩陣含有與其它固定基都不有關(guān)的特性而被廣泛采用.但在實際的應(yīng)用中,這種觀察矩陣存在存儲矩陣元素容量巨大、計算復(fù)雜度高的缺點.文獻[20]提出一種部分傅立葉變換采樣的辦法.它首先對信號進行傅立葉變換再對變換系數(shù)進行隨機抽取.這種隨機抽取使得各觀察值含有隨機不有關(guān)的特性.由于變換時能夠采用快速算法而使得計算量大大減少.但由于傅立葉基僅與在空域稀疏的信號不相干,故這種觀察矩陣的應(yīng)用范疇受到很大的限制.另外,采用隨機濾波器濾波也是一種有效的觀察辦法,但是現(xiàn)在仍缺少理論基礎(chǔ),也缺少對其性能的具體分析.文獻[21]將偽高斯矩陣和部分傅立葉辦法巧妙的結(jié)合在一起,提出了一種構(gòu)造化的隨機觀察矩陣設(shè)計辦法,這種觀察矩陣含有與全部基不相干的特性,同時也有較快的計算速度.總結(jié)以上的工作能夠得出以下結(jié)論:觀察矩陣的隨機不有關(guān)特性是對的恢復(fù)信號的一種充足條件,觀察矩陣和信號的高度不相干是有效恢復(fù)信號的確保.但是,現(xiàn)在仍然無法擬定隨機不有關(guān)特性與否是最優(yōu)恢復(fù)信號的必要條件,這仍是一種公開問題.另外,如何衡量觀察矩陣的不相干特性,以及它們與恢復(fù)性能之間的關(guān)系也是一種尚未解決的問題.另外,自適應(yīng)的觀察矩陣設(shè)計也是觀察矩陣設(shè)計的一種重要方面.在眾多有關(guān)壓縮感知理論的文獻中,大部分的觀察矩陣都是預(yù)先設(shè)計好的,不需要根據(jù)觀察信號而自適應(yīng)變化.事實上,如果能夠進行自適應(yīng)的觀察,壓縮感知的壓縮性能能夠得到進一步的提高.在文獻[22]中,作者用Bayes預(yù)計的觀點對壓縮感知做出了一種全新的解釋.在文獻中,壓縮感知的解的可信度能夠通過微分熵來衡量,這樣在已有觀察的基礎(chǔ)上,下一次最優(yōu)的觀察向量應(yīng)當(dāng)使問題解的微分熵下降最快,它能夠由已有的觀察向量和觀察值唯一擬定.而且,幸運的是這一特性在編碼端和解碼端是同樣的.由于對觀察矩陣的最優(yōu)化設(shè)計,BayesianCS與使用普通的隨機觀察矩陣相比,在同等觀察次數(shù)的狀況下,性能得到了很大的提高.固然這也付出了一定的代價,計算最優(yōu)觀察向量需要很大的計算量,因此能夠簡捷有效地擬定最優(yōu)觀察向量仍是這方面的一種有待解決的問題.5.3分布式壓縮感知理論(DistributedCompressedSensing,DCS)現(xiàn)在,針對單個信號的壓縮感知的研究和應(yīng)用已經(jīng)開展得比較進一步,但是對分布式信號的解決仍然研究得不夠.例如,對于一種包含大量傳感器節(jié)點的傳感器網(wǎng)絡(luò),每個傳感器都會采集大量的數(shù)據(jù),這些數(shù)據(jù)將會傳輸?shù)揭环N控制中心,也會在各個節(jié)點之間傳輸.顯然,在這種分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)中,數(shù)據(jù)傳輸對功耗和帶寬的需求非常大,那么,如何對分布式信號進行壓縮以減少通信壓力成為非常急迫的需求.,Haupt和Nowak將壓縮感知理論應(yīng)用到多個信號的環(huán)境中,然而他們的辦法僅研究了多個信號的互有關(guān)性,卻沒有考慮單個信號的內(nèi)有關(guān)性.Baron等人在壓縮感知理論的基礎(chǔ)上提出了分布式壓縮感知(DCS)[18],進一步擴展了壓縮感知理論的應(yīng)用,將單信號的壓縮采樣擴展到了信號群的壓縮采樣,它著重研究如何運用信號內(nèi)有關(guān)性和互有關(guān)性對多個信號進行聯(lián)合重構(gòu).這種聯(lián)合重構(gòu)的重要意義在于,相對于壓縮感知,分布式壓縮感知可節(jié)省相稱可觀的觀察數(shù)目.文獻[18]中的實驗成果表明對于兩個有關(guān)的信號可節(jié)省的觀察數(shù)目大概為30%.DCS理論建立在一種稱之為信號群的/聯(lián)合稀疏(JSM)0概念上.它指出,如果多個信號都在某個基下稀疏,并且這些信號彼此有關(guān),那么每個信號都能夠通過運用另一種不有關(guān)基(例如一種隨機矩陣)進行觀察和編碼,得到遠少于信號長度的編碼.將每個編碼后的少量數(shù)據(jù)傳輸?shù)浇獯a端,那么在適宜的條件(如JSM21)下,解碼端運用接受到的少量數(shù)據(jù)就能夠精確重建每一種信號.文獻[18]系統(tǒng)地敘述了DCS理論及其應(yīng)用,提出了對應(yīng)的壓縮感知辦法及恢復(fù)算法,并采用稀疏的隨機投影矩陣作為觀察矩陣,具體分析了分布式壓縮感知理論的觀察過程,而文獻[23]則從重構(gòu)誤差預(yù)計的角度對分布式壓縮感知理論進行了研究.DCS理論為分布式信號的解決提供了新的辦法,現(xiàn)在的熱點和難點重要集中在如何將其應(yīng)用到多個復(fù)雜的實際傳感器網(wǎng)絡(luò)中.在某種意義上,DCS是一種分布式信源壓縮的框架,它在很長時間內(nèi)都將是一種含有挑戰(zhàn)性的公開難題.六總結(jié)與展望壓縮感知理論運用了信號的稀疏特性,將原來基于奈奎斯特采樣定理的信號采樣過程轉(zhuǎn)化為基于優(yōu)化計算恢復(fù)信號的觀察過程.也就是運用長時間積分換取采樣頻率的減少,省去了高速采樣過程中獲得大批冗余數(shù)據(jù)然后再舍去大部分無用數(shù)據(jù)的中間過程,從而有效緩和了高速采樣實現(xiàn)的壓力,減少了解決、存儲和傳輸?shù)某杀?使得用低成本的傳感器將模擬信息轉(zhuǎn)化為數(shù)字信息成為可能.這種新的采樣理論將可能成為將采樣和壓縮過程合二為一的辦法的理論基礎(chǔ).本文對壓縮感知理論框架的全過程進行了描述,具體敘述了壓縮感知理論所涉及的核心技術(shù),綜述了國內(nèi)外研究成果、存在的公開問題及最新的有關(guān)理論擴展,如冗余字典下的壓縮感知理論、模擬2信息理論、分布式壓縮感知理論等.并對其中的問題進行了概括性討論.壓縮感知理論的研究已有了某些成果,但是仍然存在大量的問題需要研究.概括為下列幾個方面:對于穩(wěn)定的重構(gòu)算法與否存在一種最優(yōu)的擬定性的觀察矩陣;如何構(gòu)造穩(wěn)定的、計算復(fù)雜度較低的、對觀察次數(shù)限制較少的重構(gòu)算法來精確地恢復(fù)可壓縮信號;如何找到一種有效且快速的稀疏分解算法是冗余字典下的壓縮感知理論的難點所在;如何設(shè)計有效的軟硬件來應(yīng)用壓縮感知理論解決大量的實際問題,這方面的研究還遠遠不夠;對于p2范數(shù)優(yōu)化問題的求解研究還遠遠不夠;含噪信號或采樣過程中引入噪聲時的信號重構(gòu)問題也是難點所在,研究成果尚不抱負(fù).另外,壓縮感知理論與信號解決其它領(lǐng)域的融合也遠不夠,如信號檢測、特性提取等.CS理論與機器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)系方面的研究工作已經(jīng)開始.壓縮感知理論是新誕生的,即使尚有許多問題待研究,但它是對傳統(tǒng)信號解決的一種極好的補充和完善,是一種含有強大生命力的理論,其研究成果可能對信號解決等領(lǐng)域產(chǎn)生重大影響參考文獻[1]石光明.劉丹華.高大化.劉哲.林杰.王良君壓縮感知理論及其研究進展-ACTAElectronicaSinica，37(5)[2]張銳基于壓縮感知理論的圖像壓縮初步研究-ComputerKnowledgeAndTechnology，6(4)[3]CandesE,RombergJ,TaoT.Robustuncertaintyprinciples:Exactsignalreconstructionfromhighlyincompletefrequencyinformation[J].IEEETrans.InformationTheory,,52(4):489-509．[4]ECandesandJRomberg,Quantitativerobustuncentaintyprinciplesandoptimallysparsedecompositions[J].FoundationsofComputMath,,6(2):227-218．[5]ECandès.TTaoNearoptimalsignalrecoveryfromrandomprojections:Universalencodingstrategies(12)[6]DLDonohoCompressedsensing(04)[7]BKashin.Thewidthsofcertainfinitedimensionalsetsandclassesofsmoothfunctions[J]．IzvAkadNaukSSSR.1977,41(2):334-351．[8]ECandèsCompressivesampling[9]喻玲娟.謝曉春壓縮感知理論介紹-VideoEngineering，32(12)[10]DONOHOD.TSAIGYExtensionsofcompressedsensing(03)[11]GuangmingShi.JieLin.XuyangChen.FeiQi,DanhuaLiuLiZhangUWBechosignaldetectionwithultralowratesampling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