淺談數(shù)學(xué)是什么

淺談數(shù)學(xué)是什么菲爾茲獎(jiǎng)得主小平邦彥的心中的數(shù)學(xué)，可能和很多人所想的數(shù)學(xué)不同。他強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)的一種感覺——數(shù)感，一種對(duì)數(shù)學(xué)形成的感知，并且其敏銳性和聽覺相似，而與聰明無關(guān)。他還認(rèn)為數(shù)學(xué)也是實(shí)驗(yàn)科學(xué)，是一種思想上的實(shí)驗(yàn)。這些獨(dú)到的視角將有助于我們理解、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。本文原作是發(fā)表于1965年的《數(shù)學(xué)的建議》，收錄在他的隨筆《惰者集：數(shù)感與數(shù)學(xué)》》中。如果讀者對(duì)他有所了解，可能會(huì)知道他常說自己懶惰，甚至“只會(huì)算術(shù)”，但他對(duì)數(shù)學(xué)的深入思考、對(duì)數(shù)學(xué)教育事業(yè)的關(guān)心，值得細(xì)細(xì)品味。本文經(jīng)授權(quán)節(jié)選自《惰者集：數(shù)感與數(shù)學(xué)》（人民郵電出版社·圖靈新知，2022年2月版）第一章“數(shù)學(xué)印象”，有刪減。數(shù)學(xué)是什么，這說不清道不明。不過，每一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的人多多少少都有各自的見解。在本文中，我會(huì)坦率地講述數(shù)學(xué)家眼中的數(shù)學(xué)印象，比如像我這樣專門研究數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家是如何看待數(shù)學(xué)的，以便為讀者提供參考。人們通常認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門由嚴(yán)密邏輯所構(gòu)建的學(xué)問，即便不是與邏輯完全一致，也大致相同。實(shí)際上，數(shù)學(xué)與邏輯并沒有多大關(guān)系。當(dāng)然，數(shù)學(xué)必須遵循邏輯。不過，邏輯對(duì)于數(shù)學(xué)的作用類似于語法對(duì)于文學(xué)。書寫符合語法的文章與用語法編織語言、創(chuàng)作小說是截然不同的。同樣，依照邏輯進(jìn)行推論與使用邏輯構(gòu)筑數(shù)學(xué)理論也并非同一層面上的事情。任何人都能理解一般邏輯，如果將數(shù)學(xué)歸為邏輯，那么任何人都能理解數(shù)學(xué)。然而眾所周知，無法理解數(shù)學(xué)的初中生或高中生大有人在，語言能力優(yōu)異、數(shù)學(xué)能力不足的學(xué)生十分常見。因此我認(rèn)為，數(shù)學(xué)在本質(zhì)上與邏輯不同。數(shù)感我們?cè)囍伎紨?shù)學(xué)之外的自然科學(xué)，比如說物理學(xué)。物理學(xué)研究的是自然現(xiàn)象中的物理現(xiàn)象，同理可得，數(shù)學(xué)研究的是自然現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。那么，理解數(shù)學(xué)相當(dāng)于“觀察”數(shù)學(xué)現(xiàn)象。這里所說的“觀察”不是指“用眼觀看”，而是通過一定感覺所形成的感知。雖然很難用言語去描述這種感覺，不過這是一種明顯不同于邏輯推理能力的純粹的感覺，在我看來這種感知幾乎接近于視覺?；蛟S我們可以稱之為直覺，不過為了凸顯其純粹性，在接下來的表述中，我將其稱為“數(shù)感”。直覺一詞含有“瞬間領(lǐng)悟真相”的意思，所以不太合適。數(shù)感的敏銳性類似于聽覺的敏銳性，也就是說基本上與是否聰明無關(guān)（本質(zhì)上無關(guān)，但不意味著沒有統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)）。不過數(shù)學(xué)的理解需要憑借數(shù)感，正如樂感不好的人無法理解音樂，數(shù)感不好的人同樣無法理解數(shù)學(xué)（給不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的孩子當(dāng)家教時(shí)，就能明白這種感覺。對(duì)你來說已經(jīng)顯而易見的問題，在不擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)的孩子看來卻怎么也無法理解，因此你會(huì)苦于不知如何解釋）。在證明定理時(shí)，數(shù)學(xué)家并沒有察覺自己的數(shù)感發(fā)揮了作用，因此會(huì)以為是按照縝密的邏輯進(jìn)行了證明。其實(shí)，只要用形式邏輯符號(hào)去解析證明，數(shù)學(xué)家就會(huì)發(fā)現(xiàn)事實(shí)并非如此。因?yàn)檫@樣最終只會(huì)得到一串冗長(zhǎng)的邏輯符號(hào)，實(shí)際上完全不可能證明定理（當(dāng)然我的重點(diǎn)并不在于指責(zé)證明過程的邏輯不夠嚴(yán)密，而是在于指出數(shù)感能幫助我們省略邏輯推理這個(gè)過程，直接引導(dǎo)我們走向前方）。近來經(jīng)常聽到人們?cè)谟懻摂?shù)學(xué)感覺，可以說數(shù)學(xué)感覺的基礎(chǔ)正是數(shù)感。所有數(shù)學(xué)家天生都具有敏銳的數(shù)感，只是自己沒有察覺而已。數(shù)學(xué)同樣以自然現(xiàn)象為研究對(duì)象也許有人認(rèn)為將自然現(xiàn)象的一部分作為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象太過魯莽。但是，正如數(shù)學(xué)家在證明新的定理時(shí)，通常不會(huì)說“發(fā)明”了定理，而是表達(dá)為“發(fā)現(xiàn)”了定理。由此可見，數(shù)學(xué)現(xiàn)象與物理現(xiàn)象一樣，都是自然界中的固有之物。我也證明過幾個(gè)新定理，但我從來不覺得那些定理是自己想出來的。這些定理一直都存在，只不過碰巧被我發(fā)現(xiàn)了而已。經(jīng)常會(huì)有人指出，數(shù)學(xué)對(duì)于理論物理學(xué)有著不可思議的奇妙作用。甚至?xí)屓水a(chǎn)生一種觀念，以為所有物理現(xiàn)象都需要依托數(shù)學(xué)法則而存在。而且，大部分情況下，在物理學(xué)理論被發(fā)現(xiàn)之前，數(shù)學(xué)家們?cè)缇蜏?zhǔn)備好了該理論所需的數(shù)學(xué)知識(shí)。黎曼空間對(duì)于愛因斯坦廣義相對(duì)論的作用就是最好的例子。為什么數(shù)學(xué)對(duì)物理學(xué)的作用如此之大？當(dāng)然，只要解釋說數(shù)學(xué)是物理學(xué)的語言，這個(gè)話題就到此為止了。比如，廣義相對(duì)論中黎曼空間的作用的確可以說是一種語言，但是數(shù)學(xué)對(duì)于量子力學(xué)的作用卻堪稱是一種神秘的魔法，無法單純將其視為一種語言。打開量子力學(xué)的教材，首先是關(guān)于光干涉、電子散射等實(shí)驗(yàn)的說明，接著是用波函數(shù)（即希爾伯特空間中的矢量）來描述光子、電子等粒子的狀態(tài)，最后推出態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理是量子力學(xué)中的基本原理，它表達(dá)了如果狀態(tài)A是狀態(tài)B與狀態(tài)C的疊加，那么A的波函數(shù)是B的波函數(shù)與C的波函數(shù)的線性組合。什么是粒子的狀態(tài)？例如，粒子加速器中電子的狀態(tài)由粒子加速器決定，所以粒子的狀態(tài)可以理解成粒子所在的環(huán)境。在量子力學(xué)中，極復(fù)雜的環(huán)境也只由一個(gè)波函數(shù)（矢量）來描述，因此首先需對(duì)環(huán)境進(jìn)行簡(jiǎn)化和數(shù)學(xué)化。如何理解狀態(tài)A是狀態(tài)B與狀態(tài)C的疊加？如果是教材中的光干涉等情況，那么就比較容易理解。不過，在通常情況下說環(huán)境A是環(huán)境B與環(huán)境C的疊加，這就不容易理解了。不確定性原理，例如不可能同時(shí)測(cè)量一個(gè)粒子的位置和它的速度，是通過測(cè)量實(shí)驗(yàn)對(duì)粒子的干擾來加以說明的，最終表明一個(gè)粒子無法同時(shí)存在于測(cè)量位置的裝置和測(cè)量速度的裝置中。換言之，即粒子不可能同時(shí)存在兩種環(huán)境。那么如何理解這兩種環(huán)境的疊加呢？只能說實(shí)在是難以理解。另外，波函數(shù)的線性組合運(yùn)算如同數(shù)學(xué)中的初級(jí)運(yùn)算一樣簡(jiǎn)單。而態(tài)疊加原理則主張通過簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算來表示各種復(fù)雜奇怪狀態(tài)的疊加。也就是說，數(shù)學(xué)運(yùn)算支配了作為量子力學(xué)對(duì)象的物理現(xiàn)象。這種數(shù)學(xué)運(yùn)算與物理現(xiàn)象的關(guān)系，并非是通過解析疊加的物理意義而將其用數(shù)學(xué)公式表現(xiàn)出來，而是將“波函數(shù)的線性組合可以描述狀態(tài)的疊加”視為公理，然后依據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算來確定疊加的意義。正如費(fèi)曼（R.P.Feynman）所言，除了數(shù)學(xué)之外，沒有其他方法能說明態(tài)疊加原理了。我們只能認(rèn)為量子力學(xué)基于數(shù)學(xué)的無窮魔法，因此我認(rèn)為物理現(xiàn)象的背后存在著固有的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。數(shù)學(xué)是實(shí)驗(yàn)科學(xué)我認(rèn)為，數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象的意義與物理學(xué)家研究自然現(xiàn)象相同。也許有人認(rèn)為，物理學(xué)家需要進(jìn)行各種實(shí)驗(yàn)，而數(shù)學(xué)家僅僅在思考而已。不過，這種情況下的“思考”含有“思考實(shí)驗(yàn)”的意思，與考試中對(duì)題目的“思考”性質(zhì)全然不同。考試題目一般是將固定范圍內(nèi)的已知內(nèi)容組合在一起，一小時(shí)之內(nèi)肯定能夠解開，所以相當(dāng)于提供了明晰的思考對(duì)象和思考方法。然而，實(shí)驗(yàn)是調(diào)查未知的自然現(xiàn)象，因此無法預(yù)測(cè)結(jié)果，甚至無法得到結(jié)果。這種實(shí)驗(yàn)的形式同樣存在于數(shù)學(xué)中，探究未知數(shù)學(xué)現(xiàn)象的思考實(shí)驗(yàn)，其思考對(duì)象和思考方法都具有未知性。這也是數(shù)學(xué)研究過程中最大的困難。最簡(jiǎn)單易懂的思考實(shí)驗(yàn)當(dāng)屬從具體事實(shí)中歸納猜想。例如我們嘗試思考一下，偶數(shù)最少能表示成幾個(gè)素?cái)?shù)之和。偶數(shù)2本身是素?cái)?shù)，暫且另當(dāng)別論。除此之外，正如4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=5+5，100=47+53……所示，偶數(shù)一般能表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。根據(jù)上述結(jié)論，我們可以從中推出“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的和”（這個(gè)命題就是著名的哥德巴赫猜想，點(diǎn)這里看我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)為證明它而作出的卓越貢獻(xiàn)）。如果調(diào)查多個(gè)事實(shí)能夠猜想出定理的形式，那么之后只要思考如何證明該定理即可，也就是說研究的最初難關(guān)已經(jīng)突破。當(dāng)然，數(shù)學(xué)中僅僅依靠積累幾個(gè)事實(shí)是無法證明定理的，定理的證明必須另外進(jìn)行思考。初等數(shù)論的許多定理就是先由實(shí)驗(yàn)結(jié)果引發(fā)猜想，然后才得到證明。而且，從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，恩里格斯（F.Enriques）、卡斯特爾諾沃（G.Castelnuovo）等意大利代數(shù)幾何學(xué)家獲得的驚人成果中，依據(jù)實(shí)驗(yàn)得到成果的不在少數(shù)。托德（J.A.Todd）在其1930年左右發(fā)表的論文中曾明確斷言：“代數(shù)幾何是實(shí)驗(yàn)科學(xué)?！敝钡阶罱ň幷咦ⅲ罕疚陌l(fā)表于1969年5月），上述幾位數(shù)學(xué)家的定理才全部得以嚴(yán)密證明。不過值得注意的是，盡管他們當(dāng)時(shí)給出的定理證明不夠完全，但是定理本身卻是正確的。發(fā)現(xiàn)新定理現(xiàn)在數(shù)學(xué)的研究對(duì)象一般都非常抽象，實(shí)例也十分抽象，讓人難以理解。所以依靠具體事實(shí)歸納來猜想定理的方式，在大多數(shù)情況下已經(jīng)難以適用。目前的情況下，關(guān)于發(fā)現(xiàn)新定理的思考實(shí)驗(yàn)方式，我本人也是不得而知。如果將精力都花費(fèi)在思索新的思考方式上，恐怕難有所得。實(shí)際上很多時(shí)候無論如何思考都得不到相應(yīng)的結(jié)果。這樣看的話，是否可以說數(shù)學(xué)研究是一份極其困難的工作呢？不過這倒也未必。有時(shí)候感覺自己什么也沒做，那些應(yīng)當(dāng)思考的事情卻很自然地呈現(xiàn)在眼前，研究工作也得以順利推進(jìn)。夏目漱石在《夢(mèng)十夜》中對(duì)運(yùn)慶（編者注：日本鐮倉時(shí)代的高僧，雕刻技藝十分精湛）雕刻金剛手菩薩像的描述，充分表現(xiàn)了這種感受。這部分內(nèi)容引用如下：運(yùn)慶在金剛手菩薩的粗眉上端一寸處橫向鑿刻，手中的鑿刀忽而豎立，轉(zhuǎn)而自上而下鑿去。鑿刀被敲入堅(jiān)硬的木頭中，厚厚的木屑應(yīng)聲飛落，再仔細(xì)一看，金剛手菩薩怒意盈盈的鼻翼輪廓已清晰呈現(xiàn)。運(yùn)慶的運(yùn)刀方式無拘無束，雕琢過程中絲毫沒有任何遲疑?！八氖址ㄕ嫒缧性屏魉彽端街?，居然都自然地雕琢出了內(nèi)心所想的眉毛、鼻子樣子?！蔽腋锌翗O，不禁自言自語道。結(jié)果，方才那位年輕男子回應(yīng)道：“什么呀，那可不是鑿刻出的眉毛、鼻子，而是眉毛、鼻子本來就埋藏在木頭中，他只是用錘子、鑿子將其呈現(xiàn)出來。就像從泥土中挖出石頭一樣，當(dāng)然不會(huì)出現(xiàn)偏差?！痹谶@種時(shí)刻，我常常感到世間沒有比數(shù)學(xué)更容易的學(xué)科了。如果遇到一些學(xué)生在猶豫將來是否從事數(shù)學(xué)方面的工作，我就會(huì)想建議他們“一定要選數(shù)學(xué)，因?yàn)樵贈(zèng)]有比數(shù)學(xué)更容易的學(xué)科了”。漱石的故事后續(xù)如下：這時(shí)，我恍然大悟，原來這就是雕刻藝術(shù)。這樣的話，好像誰都可以做這個(gè)。想到這里，我突然也有了想要雕刻一座金剛手菩薩像的念頭，于是回到家中，從后院里堆積的木柴中選了一塊木頭，開始動(dòng)手雕琢。然而事與愿違，雖鑿刻良久，木頭中卻仍然尋不到金剛手菩薩的蹤影。我突然醒悟，明治時(shí)期的木頭里根本就不會(huì)藏有金剛手菩薩。數(shù)學(xué)也一樣，普通的木頭里沒有埋藏著定理。不過，僅僅從外表觀察，并看不出里面究竟埋著什么，所以只好嘗試雕刻看看。數(shù)學(xué)中的雕刻就是繁瑣的計(jì)算與查閱文獻(xiàn)，絕不是什么簡(jiǎn)單的事情，而且在大多數(shù)情況下，都會(huì)竹籃打水一場(chǎng)空。因此數(shù)學(xué)研究非常耗時(shí)，而且我覺得運(yùn)氣也是一個(gè)影響研究成敗的重要因素。定理與應(yīng)用現(xiàn)今的數(shù)學(xué)，通過具體事實(shí)的歸納來猜想定理極其困難，不僅如此，定理與具體事實(shí)的關(guān)系也在發(fā)生變化。在大學(xué)低年級(jí)的數(shù)學(xué)中，定理之所以是定理，是因?yàn)槠淇蓱?yīng)用于許多事實(shí)中，沒有應(yīng)用的定理則多沒有意義。好的定理可以說就是應(yīng)用廣泛的定理。從這個(gè)意義上來說，函數(shù)論的柯西積分定理是最好的數(shù)學(xué)定理之一。但是在最近的數(shù)學(xué)中，幾乎很少看到擁有廣泛應(yīng)用性的定理。豈止如此，許多定理幾乎毫無應(yīng)用性可言。正如某君不客氣地評(píng)價(jià)：“現(xiàn)代數(shù)學(xué)只有兩種，有定理卻沒有應(yīng)用實(shí)例的數(shù)學(xué)與只有應(yīng)用實(shí)例卻沒有定理的數(shù)學(xué)?！睆默F(xiàn)代數(shù)學(xué)的立場(chǎng)出發(fā)，“不管有沒有應(yīng)用，好的定理就是好的定理”，不過我卻總覺得沒有應(yīng)用的定理多少還是有點(diǎn)兒美中不足。數(shù)學(xué)的唯一理解方法即使不做研究，只是閱讀有關(guān)數(shù)學(xué)的書和論文，也非常費(fèi)時(shí)。如果只讀定理部分而跳過證明過程的話，似乎很快就能讀完兩三本書。但是實(shí)際上，跳過證明的閱讀方式如浮光掠影，留下的印象非常淺，結(jié)果多會(huì)一無所得。想要理解數(shù)學(xué)書，只能一