2015年清華大學夏令營試題解析

2015年清華大學夏令營試題解析01一質(zhì)量為m、長為L的柔軟繩自由懸垂，下端恰與一臺秤的秤盤接觸，如圖1所示.某時刻放開柔軟繩上端，求臺秤的最大讀數(shù).解析設(shè)t時刻落到秤盤的繩長為x，此時繩速為.在時間內(nèi)，有質(zhì)量為的繩落到盤秤上，其中為繩的線密度.取向上為正方向，根據(jù)動量定理，有（忽略微元段繩本身的重力沖量）.解得.故.所以臺秤的最大讀數(shù)為3mg，出現(xiàn)在軟繩將要全部掉到盤秤上時.02單位面積帶電量為的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為R的圓板，如圖2所示.求圓孔軸線上任意一點Q（坐標為x）的電場強度.解析無限大平板挖去一個圓板所產(chǎn)生的場強E可以等效為一個無限大平板產(chǎn)生的場強減去一個半徑為R的圓板產(chǎn)生的場強.根據(jù)高斯定理，有.由積分可求得帶電圓板產(chǎn)生的場強為.所以合場強為.03如圖3所示，一對等量異號點電荷和的間距為，求兩電荷延長線上一點和中垂面上一點的場強，和到兩電荷連線中點O的距離都是r.解析點的場強為點的場強為對于電偶極子，之間的距離l遠比場點到它們的距離r小得多.當時，有，.所以在電偶極子延長線上，的大小為.在中垂面上，的大小為.04推導點電荷的電勢表達式.解析在正點電荷Q的電場中，把正試探電荷q沿電場線從a點移到b點，我們來計算在此過程中庫侖力所做的功.我們把ab分成很多足夠小的小段，其中任一小段的兩端到場源電荷的距離分別為和，則試探電荷在該段所受的平均力為.于是庫侖力在這一小段里做的功為.對各小段的功求和，就得到庫侖力對試探電荷所做的總功，即.于是a、b兩點的電勢差為.規(guī)定離場源電荷無窮遠處（即）為電勢零點，則在離場源電荷處的電勢為.05如圖4所示，某質(zhì)子加速器使每個質(zhì)子獲得動能，很細的質(zhì)子束射向一個遠離加速器、半徑為r的金屬球，從球心到質(zhì)子束延長線的垂直距離為.假定質(zhì)子與金屬球相碰后將其電荷q全部交給金屬球，經(jīng)足夠長時間后，求金屬球的最高電勢值（以無窮遠處的電勢為零）.解析設(shè)質(zhì)子初速度為，當金屬球充電到電勢為U時，質(zhì)子與金屬球相切而過，此時速度設(shè)為v.由于質(zhì)子在向金屬球運動時，只受庫侖力且力的方向沿球徑向，故質(zhì)子對球心O的角動量守恒，有.解得.根據(jù)動能定理，有.解得.06如圖5所示，質(zhì)量為M的足夠長金屬導軌abcd放在光滑的絕緣水平面上.一電阻不計、質(zhì)量為m的導體棒PQ放置在導軌上，始終與導軌接觸良好，PQbc構(gòu)成矩形.棒與導軌間的動摩擦因數(shù)為μ，棒左側(cè)有兩個固定于水平面的立柱.導軌bc段長為L，開始時PQ左側(cè)導軌的總電阻為R，右側(cè)導軌單位長度的電阻為。.以ef為界，其左側(cè)勻強磁場方向豎直向上，右側(cè)勻強磁場水平向左，磁感應強度大小均為B.在t=0時，一水平向左的拉力F垂直作用于導軌的bc邊上，使導軌由靜止開始做勻加速直線運動，加速度為a.（1）求回路中感應電動勢及感應電流隨時間變化的表達式.（2）經(jīng)過多少時間拉力F達到最大值？拉力F的最大值為多少？（3）某一過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為Q，導軌克服摩擦力做功為W，求導軌動能的增加量.解析（1）感應電動勢為.感應電流為.（2）導軌所受安培力為.導軌所受摩擦力為.根據(jù)牛頓第二定律，有.解得.由均值不等式，得.上式取等號的條件為，即.所以拉力F的最大值為.（3）設(shè)此過程中導軌運動距離為s，根據(jù)動能定理，有.摩擦力做功為.解得.導軌動能的增加量為.07如果質(zhì)量相同的小球a、b在沿一條直線運動的過程中發(fā)生彈性正碰撞，則a的碰后速度等于b的碰前速度，b的碰后速度等于a的碰前速度.如圖6所示，將光滑水平絕緣的大桌面取為坐標面，空間有豎直向下（圖中朝里）的勻強磁場B.（1）平面上的小球a，質(zhì)量為m、電量為，初速度方向垂直于y軸，大小為，而后a將做勻速圓周運動，試求圓周運動的半徑R和運動周期T.（2）圖6中小球、質(zhì)量同為m，電量也同為q，開始時分別位于y軸上的、（>）位置，初速度方向如圖所示，大小也同為.設(shè)、間可能發(fā)生的碰撞都是彈性碰撞而且不會相互轉(zhuǎn)移電荷（下同）.已知能到達處，試求-的所有可能取值.（3）圖6中小球b的質(zhì)量也為m，電量也為q，t=0時位于x軸上距O稍遠的位置，初速度大小也為.現(xiàn)在給你一個質(zhì)量為m、電量為-q、初速度大小為的小球.t=0時的初始位置和初始速度方向由你選定，但要求在時刻（），b球可達到x軸上與相距盡可能遠的（>）位置，最后給出你所得的-的值.設(shè)b與兩球發(fā)生彈性正碰，而且電量也不會轉(zhuǎn)移.（注：解題時可以略去球之間的電作用力）.解析（1）洛倫茲力提供帶電小球做勻速圓周運動的向心力，則解得帶電小球做勻速圓周運動的周期為.（2）第一種情況如圖7所示，兩球未發(fā)生碰撞，轉(zhuǎn)過半圈后到達處，轉(zhuǎn)過半圈后到達處，則.第二種情況如圖8所示，兩球各自轉(zhuǎn)過半圈后相碰，發(fā)生彈性碰撞并交換速度，以后轉(zhuǎn)過半圈后到