能力專題15運(yùn)算求解能力（教師版）

能力專題15運(yùn)算求解能力運(yùn)算求解是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是依據(jù)運(yùn)算法則解決問題過程中的基本能力。高考考查目標(biāo)是要求學(xué)生正確理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等。通過本專題的復(fù)習(xí)要在運(yùn)算求解的過程中,注意多算多思增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；注意有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題；注意通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣，注意運(yùn)算中形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。運(yùn)算求解是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是依據(jù)運(yùn)算法則解決問題過程中的基本能力。高考考查目標(biāo)是要求學(xué)生正確理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等。通過本專題的復(fù)習(xí)要在運(yùn)算求解的過程中,注意多算多思增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；注意有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題；注意通過運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問題的習(xí)慣，注意運(yùn)算中形成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神。專題中兩個(gè)探究（變形中的運(yùn)算技巧、建系解決幾何問題）從兩個(gè)方面闡述了計(jì)算的地位和作用。只要通過練習(xí)、比較、反思就能找到最佳的運(yùn)算方法和運(yùn)算方向，就能最快最準(zhǔn)的解決問題。——大冶一中高級(jí)教師陳俊杰探究1：定義、公理公式及其變形中的運(yùn)算技巧【典例剖析】例1.(2022·廣東揭陽(yáng)市·聯(lián)考)已知橢圓x29+y2b2=1(0<b<3)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，過點(diǎn)F1且不與x軸重合的直線l交橢圓于A，B(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)求△ABF選題意圖:選題意圖:圓錐曲線是歷年高考的必考內(nèi)容，小題和大題均會(huì)考查，正確解答圓錐曲線問題的一個(gè)前提是解決好數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本功，有時(shí)巧妙設(shè)定直線方程，可以避免分類討論，利用韋達(dá)定理時(shí)注意優(yōu)化運(yùn)算過程的方法（例如利用點(diǎn)差法設(shè)而不求，面積轉(zhuǎn)化法，化齊次方程等），本題第2問提供兩種解法，運(yùn)算量形成對(duì)比，法一明顯優(yōu)越于法二.思維引導(dǎo)：(1)由直線l垂直x軸時(shí)，|AB|=83，求出A，B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；

(2)方法一、設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線l的方程x=ty-5，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得|y1【解析】解：1由直線l垂直x軸時(shí)，AB=83，

可設(shè)A-c,43，B-c,-43，

由c29+169b2=1b2+c2=9，解得b=2c=5，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y24=1；

2法1：設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，直線l的方程為x=ty-5，

聯(lián)立x=ty-5x29+y24=1，消去x并化簡(jiǎn)得4t2+9y2-85ty-16=0，

由韋達(dá)定理得y1+y2=8AB=(x1-x2)2+(y=24≤245×145=6，

當(dāng)且僅當(dāng)41k2+1=51k2+1即k=±2時(shí)等號(hào)成立，【變式訓(xùn)練】練11.(2022·遼寧省·模擬)設(shè)a=log35，b=log57，則A.2b-1-2a1+a B.2b-2-a1+a C.2ab-1-2a1+a【答案】D

【解析】解：∵a=log35，b=log57，∴ab=log3練12.(2022·江蘇揚(yáng)州市·月考)分子間作用力只存在于分子與分子之間或惰性氣體原子間的作用力，在一定條件下兩個(gè)原子接近，則彼此因靜電作用產(chǎn)生極化，從而導(dǎo)致有相互作用力，稱范德瓦爾斯相互作用.今有兩個(gè)惰性氣體原子，原子核正電荷的電荷量為q，這兩個(gè)相距R的惰性氣體原子組成體系的能量中有靜電相互作用能U.其計(jì)算式子為U=kcq21R+1R+x1-x2-1R+x1-1R-x2，其中，kc為靜電常量，A.kcq2x1x2【答案】D

【解析】解：U=kc≈kc故選：D．練13.(2021·湖北荊州市·模擬)已知函數(shù)f(x)=sin?(2021x+π4)+cos?(2021x-π4)的最大值為M，若存在實(shí)數(shù)m,n，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)A.π2021 B.2π2021 C.4π【答案】B

【解析】解：f(x)==sin當(dāng)2021x+π4=2k1π+當(dāng)2021x+π4=2k2π-依題意，存在實(shí)數(shù)m,n，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)x，總有f(m)?f(x)?f(n)成立，f(m)=-2,f(n)=2，M?|m-n|=2|2k1,k2是整數(shù)，2(k故選：B．【規(guī)律方法】1.牢固掌握運(yùn)算所需要的概念、性質(zhì)、公式、法則、定理等是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)，對(duì)公式、法則的使用做到會(huì)順用、逆用、變形用.2.圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)特征，揭示了曲線存在的條件及其包含的幾何性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)，靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義常常會(huì)給解題帶來(lái)極大方便.圓錐曲線中未知直線的巧妙設(shè)置，可以避開分類討論，運(yùn)算過程中巧妙使用點(diǎn)差法設(shè)而不求，面積轉(zhuǎn)化法，化齊次方程等，可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的計(jì)算.3.三角函數(shù)部分公式的正用、逆用與變形用主要是從公式的結(jié)構(gòu)方面著手考慮問題的，因此必須要熟悉每個(gè)三角公式的特點(diǎn)，同時(shí)解題時(shí)要善于觀察所給三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與已知公式的結(jié)構(gòu)的差異，在局部上尋求共同點(diǎn).探究2：建系解決幾何問題【典例剖析】例2.(2022·湖北·聯(lián)考)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b=23，2a-c=2bcosC．(1)求B；(2)如圖，圓O是△ABC的外接圓，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)H，過圓心O作OG⊥OA交BC于點(diǎn)G，且OG=3.求選題意圖:選題意圖:解三角形是歷年高考必考內(nèi)容，小題和大題都有可能考查，解題過程常結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等，數(shù)學(xué)運(yùn)算量一般較大，需要具備較好的運(yùn)算求解能力。本題第2問提供兩種解法，法一為常規(guī)解法，按部就班就能解決運(yùn)算量較大，法二通過建系，利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算使求解問題得到簡(jiǎn)化，運(yùn)算量減少.思維引導(dǎo):(1)由2a-c=2bcosC，根據(jù)正弦定理，運(yùn)用“邊化角”，結(jié)合sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC，求解出cosB的值即可得出B；

(2)解法一：在△COG中，由余弦定理得出CG，再由正弦定理得出sin∠CGO，在△OGH中求解OH即可；

解法二：以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OG方向分別為x軸、y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，得出G，C【解析】解：(1)因?yàn)?a-c=2bcosC，由正弦定理，得2sinA-sinC=2sinBcosC，

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，得2cosBsinC-sinC=0，

由0<C<π，得sinC≠0，所以cos?B=12，由0<B<π，得B=π3．

(2)由正弦定理，得OA=OC=12×ACsin?B=12×23sin?π3=2．

由B=π3，得∠AOC=2π3．

解法一：由OG⊥OA，得∠GOC=5π6．

在△COG中，由余弦定理，得CG2=OC2+OG2-2OC×OG×cos?5π6=13，所以CG=13．

由正弦定理，得OCsin∠CGO=CGsin∠GOC，

則sin∠CGO=OC×sin∠GOCCG=【變式訓(xùn)練】練21.(2022·湖北·月考)在一個(gè)半圓中有兩個(gè)互切的內(nèi)切半圓，由三個(gè)半圓弧圍成“曲線三角形”，作兩個(gè)內(nèi)切半圓的公切線把“曲線三角形”分隔成兩塊，且被分隔的這兩塊中的內(nèi)切圓是同樣大小的，如圖，若AC=2CB，則陰影部分與最大半圓的面積比為(

)A.1081 B.2081 C.4【答案】B

【解析】解：設(shè)BC=2r，則AC=4r，AB=6r，

記最大半圓的圓心為O，AC的中點(diǎn)為O1，CB的中點(diǎn)為O2，

兩個(gè)內(nèi)切圓的圓心分別為O3，O4．

建立如圖所示的坐標(biāo)系，

C(0,??0)，O1(-2r,??0)，O(-r,??0)，O2(r,??0)，

設(shè)O3(-a,??t)，O4(b,??v)，

則(2r+a)2-(2r-a)2=t2，得t=22ar，所以O(shè)3(-a,??22ar)，

由圓O與圓O3內(nèi)切，得(-a+r)2+(22ar)2練22.(2022·全國(guó)·聯(lián)考)在正三角形ABC中，M為BC中點(diǎn)，P為三角形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PA=2PM，則PAPB最小值為(

)A.1 B.64 C.22【答案】D

【解析】解：以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MC，MA正方向?yàn)閤，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，則A0,3，M0,0，B-1,0，

設(shè)Px,y，則PA2=x2+(y-3)2，PM2=x=41+2x+1x2+y2=41+2x+11-233y=41-3(x+12)y-32;

當(dāng)x=-12時(shí)，PA2PB2=4，∴PAPB=2;

當(dāng)x≠-練23.(2022·湖北襄陽(yáng)市·月考)在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,D滿足|DA|=|DB|=|DC|，DA?DB=DB?DC=DC?A.434 B.494 C.47+6【答案】B

【解析】解：由|DA|=|DB|=|DC|，可得D為△ABC的外心，

又DA?DB=DB?DC=DC?DA，

可得DB?(DA-DC)=0，DC?(DB-DA)=0，

即DB?CA=DC?AB=0，

即有DB⊥CA，DC⊥AB，可得D為△ABC的垂心，

則D為△ABC的中心，即△ABC為正三角形．

由DA?DB=-2，即有|DA|?|DA|cos120°=-2，

當(dāng)sin(θ-π6)=1，即θ=2π3時(shí)，|【規(guī)律方法】1.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助教，以數(shù)解形”