全等三角形幾種類(lèi)型總結(jié)5

...wd......wd......wd...全等三角形與角平分線(xiàn)全等圖形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形就是全等圖形．全等多邊形：能夠完全重合的多邊形就是全等多邊形．相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，相互重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角．全等多邊形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等．如以以下圖，兩個(gè)全等的五邊形，記作：五邊形≌五邊形．這里符號(hào)“≌〞表示全等，讀作“全等于〞．全等三角形：能夠完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角分別相等；反之，如果兩個(gè)三角形的邊和角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．全等三角形對(duì)應(yīng)的中線(xiàn)、高線(xiàn)、角平分線(xiàn)及周長(zhǎng)面積均相等．全等三角形的概念與表示：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形．能夠相互重合的頂點(diǎn)、邊、角分別叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角．全等符號(hào)為“≌〞．全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線(xiàn)相等，面積相等．尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊．(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角．(3)有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊．(4)有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角．(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角．全等三角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS)：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．(2)角邊角定理(ASA)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．(3)邊邊邊定理(SSS)：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．(4)角角邊定理(AAS)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．(5)斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．判定三角形全等的根本思路：全等三角形的圖形歸納起來(lái)有以下幾種典型形式：⑴平移全等型⑵對(duì)稱(chēng)全等型⑶旋轉(zhuǎn)全等型由全等可得到的相關(guān)定理：⑴角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．⑵到一個(gè)角的兩邊的距離一樣的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上．⑶等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角)．⑷等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)和底邊上的高互相重合．⑸等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等⑹線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．⑺和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．與角平分線(xiàn)相關(guān)的問(wèn)題角平分線(xiàn)的兩個(gè)性質(zhì)：⑴角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；⑵到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．它們具有互逆性．角平分線(xiàn)是天然的、涉及對(duì)稱(chēng)的模型，一般情況下，有以下三種作輔助線(xiàn)的方式：1．由角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，2．過(guò)角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，從而形成等腰三角形，3．，這種對(duì)稱(chēng)的圖形應(yīng)用得也較為普遍，三角形中線(xiàn)的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)三角形中線(xiàn)的相關(guān)定理：直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半等腰三角形底邊的中線(xiàn)三線(xiàn)合一(底邊的中線(xiàn)、頂角的角平分線(xiàn)、底邊的高重合)三角形中位線(xiàn)定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)．三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于它的一半．中位線(xiàn)判定定理：經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線(xiàn)必平分第三邊．中線(xiàn)中位線(xiàn)相關(guān)問(wèn)題(涉及中點(diǎn)的問(wèn)題)見(jiàn)到中線(xiàn)(中點(diǎn))，我們可以聯(lián)想的內(nèi)容無(wú)非是倍長(zhǎng)中線(xiàn)以及中位線(xiàn)定理(以后還要學(xué)習(xí)中線(xiàn)長(zhǎng)公式)，尤其是在涉及線(xiàn)段的等量關(guān)系時(shí)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)的應(yīng)用更是較為常見(jiàn)．例題精講例題精講板塊一、全等三角形的認(rèn)識(shí)與性質(zhì)在、上各取一點(diǎn)、，使，連接、相交于再連結(jié)、，假設(shè)，則圖中全等三角形共有哪幾對(duì)并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．【穩(wěn)固】如以下圖，，，在上，與相交于．圖中有幾對(duì)全等三角形請(qǐng)一一找出來(lái)，并簡(jiǎn)述全等的理由．板塊二、三角形全等的判定與應(yīng)用(2008年巴中市高中階段教育學(xué)校招生考試)如圖，，，．求證：．(2008年宜賓市)：如圖，，，求證：．【穩(wěn)固】如圖，、相交于點(diǎn)，且，，求證：．(哈爾濱市2008年初中升學(xué)考試)：如圖，、、、四點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，，，．求證：．，如圖，，，，求證：．、分別是正方形的、邊上的點(diǎn)，且．求證：．【穩(wěn)固】、、分別是正方形的、、邊上的點(diǎn)，，．求證：．在凸五邊形中，，，，為中點(diǎn)．求證：．板塊三、截長(zhǎng)補(bǔ)短類(lèi)如圖，點(diǎn)為正三角形的邊所在直線(xiàn)上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)除外)，作，射線(xiàn)與外角的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系?【穩(wěn)固】如圖，點(diǎn)為正方形的邊上任意一點(diǎn)，且與外角的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系如圖，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=，AD=，CB=，∠AMD=75°，∠BMC=45°，則AB的長(zhǎng)為()A.B.C.D.：如圖，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求證：BE+DF=AE.如以下圖，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是頂角為的等腰三角形，以為頂點(diǎn)作一個(gè)的，點(diǎn)、分別在、上，求的周長(zhǎng)．五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求證：AD平分∠CDE板塊四、與角平分線(xiàn)有關(guān)的全等問(wèn)題如圖，的周長(zhǎng)是，，分別平分和，于，且，求的面積．AADOCB在中，為邊上的點(diǎn)，，，求證：．中，，、分別是及平分線(xiàn)．求證：．中，，、分別平分和，、交于點(diǎn)，試判斷、、的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．如圖，是上的一點(diǎn)，又，．求證：．(“希望杯〞競(jìng)賽試題)長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，EF⊥ED交AB于F，則EF=__________．如以下圖，中，平分，、分別在、上．，．求證：∥【穩(wěn)固】如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，假設(shè)，求證：為的角平分線(xiàn)．【穩(wěn)固】在中，，是的平分線(xiàn)．是上任意一點(diǎn)．求證：．如圖，在中，，的平分線(xiàn)交與．求證：．如以下圖，在中，，為的中點(diǎn)，是的平分線(xiàn)，假設(shè)且交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，求證．【穩(wěn)固】如以下圖，是中的外角平分線(xiàn)，于，是的中點(diǎn)，求證且．【穩(wěn)固】如以下圖，在中，平分，，于，求證．如圖，中，，、分別為兩底角的外角平分線(xiàn)，于，于．求證：．【穩(wěn)固】：和分別是的和的外角平分線(xiàn)，，，求證：⑴；⑵．在中，、分別是三角形的外角、的角平分線(xiàn)，，垂足分別是、．求證：，【穩(wěn)固】在中，、分別是三角形的內(nèi)角、的角平分線(xiàn)，，垂足分別是、．求證：，【穩(wěn)固】(北京市中考模擬題)如圖，在四邊形中，平分，過(guò)作，并且，則等于多少如圖，，平分，平分，點(diǎn)在上．探討線(xiàn)段、和之間的等量關(guān)系．探討線(xiàn)段與之間的位置關(guān)系．版塊一、倍長(zhǎng)中線(xiàn)：中，是中線(xiàn)．求證：．【穩(wěn)固】(2002年通化市中考題)在中，，則邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)的取值范圍是什么如圖，中，，是中線(xiàn)．求證：．如圖，在中，是邊上的中線(xiàn)，是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，，求證：．△ABC，∠B=∠C，D，E分別是AB及AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G，求證GD=GE．為的中線(xiàn)，，的平分線(xiàn)分別交于、交于．求證：．在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別為、上的點(diǎn)，且．以線(xiàn)段、、為邊能否構(gòu)成一個(gè)三角形假設(shè)能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形【穩(wěn)固】如以下圖，在中，是的中點(diǎn)，垂直于，如果，求證．(年四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽復(fù)賽·初二組)在中，是斜邊的中點(diǎn)，、分別在邊、上，滿(mǎn)足．假設(shè)，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)________．版塊二、中位線(xiàn)的應(yīng)用是的中線(xiàn)，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于．求證：．如以下圖，在中，，延長(zhǎng)到，使，為的中點(diǎn)，連接、，求證．【穩(wěn)固】△ABC中，AB=AC，BD為AB的延長(zhǎng)線(xiàn)，且BD=AB，CE為△ABC的AB邊上的中線(xiàn)．求證CD=2CE：ABCD是凸四邊形，且AC<BD．E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G點(diǎn)．求證：∠GMN>∠GNM．在中，，，以為底作等腰直角，是的中點(diǎn)，求證：且．如圖，在五邊形中，，，為的中點(diǎn)．求證：．(“祖沖之杯〞數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，中國(guó)國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)試題)如以下圖，是內(nèi)的一點(diǎn)，，過(guò)作于，于，為的中點(diǎn)，求證．(全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題)如以下圖，在中，為的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)、到點(diǎn)、，使．過(guò)、分別作直線(xiàn)、的垂線(xiàn)，相交于點(diǎn)，設(shè)線(xiàn)段、的中點(diǎn)分別為、．求證：(1)；(2)．家庭作業(yè)家庭作業(yè)【習(xí)題1】如圖，，，，求證：．【習(xí)題2】點(diǎn)M，N在等邊三角形ABC的