第二章2.32.3.4兩條平行直線間的距離高中數(shù)學(xué)人教A版

兩條平行直線間的距離第二章

直線的交點坐標(biāo)與距離公式1.理解兩條平行線間的距離公式的推導(dǎo).2.會求兩條平行直線間的距離.學(xué)習(xí)目標(biāo)前面我們已經(jīng)得到了兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，關(guān)于平面上的距離問題，兩條平行直線間的距離也是值得研究的.導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、兩條平行直線間的距離二、由平行直線間的距離求參數(shù)三、平行直線間的距離的最值問題內(nèi)容索引一、兩條平行直線間的距離問題1

已知兩條平行直線l1，l2的方程，如何求l1與l2間的距離？提示根據(jù)兩條平行直線間距離的含義，在直線l1上取任一點P(x0，y0)，點P(x0，y0)到直線l2的距離就是直線l1與直線l2間的距離，這樣求兩條平行直線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離.問題2

怎樣求兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離？因為點P(x0，y0)在直線Ax＋By＋C1＝0上，所以Ax0＋By0＋C1＝0，即Ax0＋By0＝－C1，1.兩條平行直線間的距離：指夾在這兩條平行直線間的

的長.2.公式：兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時為0，C1≠C2)之間的距離d＝

.公垂線段知識梳理注意點：(1)兩平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.(2)運用兩平行直線間的距離公式時，必須保證兩直線方程中x，y的系數(shù)分別對應(yīng)相同.例1

(1)(教材P78例7改編)求兩平行直線l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0間的距離.(2)若傾斜角為45°的直線m被直線l1：x＋y－1＝0與l2：x＋y－3＝0所截得的線段為AB，則AB的長為√解析由題意，可得直線m與直線l1，l2垂直，則由兩平行線間的距離公式，反思感悟求兩條平行直線間距離的兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點到另一條直線的距離，即化線線距為點線距來求.(2)公式法：設(shè)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝跟蹤訓(xùn)練1

已知直線5x＋12y－3＝0與直線10x＋my＋20＝0平行，則它們之間的距離是√則直線10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，二、由平行直線間的距離求參數(shù)例2

已知直線l與直線l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距離相等，則l的方程是_____________.2x－y＋1＝0解析方法一由題意可設(shè)l的方程為2x－y＋c＝0，即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，則直線l的方程為2x－y＋1＝0.方法二由題意知l必介于l1與l2中間，故設(shè)l的方程為2x－y＋c＝0，則直線l的方程為2x－y＋1＝0.反思感悟由兩條平行直線間的距離求參數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為兩平行直線間的距離問題.跟蹤訓(xùn)練2

(多選)若直線x－2y－1＝0與直線x－2y－c＝0的距離為則實數(shù)c的值為A.9 B.－9 C.11 D.－11√√解得c＝11或c＝－9.三、平行直線間的距離的最值問題例3

兩條互相平行的直線分別過點A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自繞著A，B旋轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為d.求：(1)d的變化范圍；解如圖，顯然有0<d≤|AB|.(2)當(dāng)d取最大值時，兩條直線的方程.解由圖可知，當(dāng)d取最大值時，兩直線與AB垂直.所以所求直線的斜率為－3.故所求的直線方程分別為y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.反思感悟應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想求最值(1)解決此題的關(guān)鍵是理解式子表示的幾何意義，將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，從而利用圖形的直觀性加以解決.(2)數(shù)形結(jié)合、運動變化的思想方法在解題中經(jīng)常用到.當(dāng)圖形中的元素運動變化時我們能直觀觀察到一些量的變化情況，進而可求出這些量的變化范圍.跟蹤訓(xùn)練3

已知直線l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，－1)兩點的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時，直線l1的方程是____________.解析當(dāng)兩條平行直線與A，B兩點的連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大.因為A(1,1)，B(0，－1).x＋2y－3＝0即x＋2y－3＝0.1.知識清單：(1)兩條平行線間的距離.(2)兩條平行線間的距離最值問題.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合法、解方程(組)法.3.常見誤區(qū)：運用兩平行線間的距離公式時，必須保證兩直線方程中x，y的系數(shù)分別對應(yīng)相同.課堂小結(jié)隨堂演練1.已知直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，則l1，l2之間的距離為√12342.兩條直線y＝

6x－4y＋13＝0之間的距離為√1234解析兩條直線的方程分別為3.P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為√1234解析易知直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0平行，故|PQ|的最小值即兩平行直線間的距離，4.兩平行直線l1：x＋2y＋20＝0與l2：x＋2y＋c＝0間的距離為或40 或30C.－20或10 D.－20或401234√即|20－c|＝10，解得c＝10或c＝30.課時對點練√基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.兩平行直線5x＋12y＋3＝0與10x＋24y＋5＝0之間的距離是√解析5x＋12y＋3＝0可化為10x＋24y＋6＝0.123456789101112131415163.已知直線3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，則它們之間的距離是√解析因為3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，所以3∶2＝6∶m，所以m＝4.12345678910111213141516x＋y－1＝0 x＋y－2＝0x＋y＝0 D.2x＋y＋2＝0√12345678910111213141516√所以可得所求直線與已知直線平行，設(shè)所求直線方程為2x＋y＋c＝0(c≠1)，解得c＝0或c＝2，故所求直線方程為2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，√12345678910111213141516√解得m＝7或m＝－13，所以m＋n＝3或m＋n＝－17.6.若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為√解析由題意知，直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，當(dāng)a＝3時，直線l1：x＋3y＋6＝0與l2：x＋3y＋6＝0重合；123456789101112131415167.與三條直線l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可圍成正方形的直線方程為______________________.x＋y＝0或x＋y－10＝012345678910111213141516設(shè)所求直線為l4，則l4∥l3，解得c＝0或－10，所以所求直線方程為x＋y＝0或x＋y－10＝0.解析∵直線l1：y＝kx＋1經(jīng)過定點(0,1)，又兩直線關(guān)于點(2,3)對稱，則兩直線經(jīng)過的定點也關(guān)于點(2,3)對稱，∴直線l2恒過定點(4,5)，∴l(xiāng)1與l2的距離的最大值就是兩定點之間的距離，8.若直線l1：y＝kx＋1與直線l2關(guān)于點(2,3)對稱，則直線l2恒過定點______，l1與l2的距離的最大值是_____.(4,5)123456789101112131415169.(1)求平行于直線3x＋4y－2＝0，且與它的距離是1的直線方程；解設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋m＝0.12345678910111213141516解得m＝3或－7，所以所求直線方程為3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.解得c＝9或c＝－3，所以所求直線方程為3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.1234567891011121314151610.設(shè)直線l1：x－2y－1＝0與l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0.(1)若l1∥l2，求l1，l2之間的距離；12345678910111213141516解若l1∥l2，則m≠0，∴l(xiāng)1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0，(2)若直線l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積最大，求直線l2的方程.12345678910111213141516直線l2與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積此時直線l2的方程為2x＋2y－3＝0.11.已知直線l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x軸、y軸上的截距相等，則直線l1與直線l2：x＋y－1＝0間的距離為√解析∵直線l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x軸、y軸上的截距相等，12345678910111213141516綜合運用∴直線l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，12.(多選)兩條平行直線l1，l2分別過點P(－1,3)，Q(2，－1)，它們分別繞P，Q旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則l1，l2之間的距離可能取值為

A.1 B.3 C.5

D.7√所以l1，l2之間距離的取值范圍是(0,5].12345678910111213141516√√13.直線l1，l2分別過點M(1,4)，N(－3,1)，它們分別繞點M和N旋轉(zhuǎn)，但必須保持平行，那么它們之間的距離d的最大值是12345678910111213141516√解析根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示，根據(jù)圖象可得當(dāng)l1∥l2，且l1⊥MN，l2⊥MN時，l1與l2之間的距離為|MN|；當(dāng)l1∥l2，但是l1與MN不垂直，l2與MN不垂直時，過M點向l2引垂線，垂足為P，則l1與l2之間的距離為|MP|；因為|MN|>|MP|，12345678910111213141516即該直線與直線l1所成角為30°，又直線l1的傾斜角為45°，則該直線的傾斜角大小為15°或75°.1234567891011121314151615°或75°拓廣探究1234567891011121314151615.如圖，已知直線l1：x＋y－1＝0，現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置，若l2，l1和坐標(biāo)軸圍成的梯形的面積為4，則l2的方程為___________.x＋y－3＝