浙教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)-專(zhuān)題10-分式及其運(yùn)算(知識(shí)點(diǎn)串講)(解析版)

專(zhuān)題10分式及其運(yùn)算知識(shí)網(wǎng)絡(luò)重難突破知識(shí)點(diǎn)一分式的概念表示兩個(gè)整式相除，且除式中含有字母的代數(shù)式叫做分式。分式中字母的取值不能使分母為零。當(dāng)分母的值為零時(shí)，分式就沒(méi)有意義?！镜淅?】（2020?寧波模擬）使分式有意義的條件是（）A．x＝±3 B．x≠±3 C．x≠﹣3 D．x≠3【點(diǎn)撥】先根據(jù)分式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解析】解：∵分式有意義，∴x﹣3≠0，即x≠3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式有意義的條件，即分式的分母不為0．【變式訓(xùn)練】1．（2019春?雁江區(qū)期中）下列各式：，，+y，，，其中分式共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【點(diǎn)撥】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．【解析】解：，+y，的分母均不含有字母，因此他們是整式，而不是分式．，分母中均含有字母，因此是分式．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以不是分式，是整式．2．（2019秋?溫嶺市期末）要使分式有意義，則x的取值應(yīng)滿足（）A．x≠4 B．x≠﹣2 C．x＝4 D．x＝﹣2【點(diǎn)撥】根據(jù)分式有意義的條件可得x﹣4≠0，再解即可．【解析】解：由題意得：x﹣4≠0，解得：x≠4，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．3．（2019春?越城區(qū)期末）下列分式中不管x取何值，一定有意義的是（）A． B． C． D．【點(diǎn)撥】根據(jù)分式有意義的條件即可求出答案．【解析】解：（A）由分式有意義的條件可知：x≠0，故A不選；（B）由分式有意義的條件可知：x≠±1，故B不選；（D）由分式有意義的條件可知：x≠﹣1，故D不選；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．知識(shí)點(diǎn)二分式的基本性質(zhì)1.分式的分子和分母都乘（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。(其中M是不等于零的整式)2.把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，叫做分式的約分。3.分子、分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式?！镜淅?】（2019秋?玉環(huán)市期末）下列各式從左到右的變形正確的是（）A． B． C． D．【點(diǎn)撥】根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．【解析】解：A、從左邊到右邊不正確，如當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)，＝，＝，兩邊不相等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、＝＝﹣≠﹣，故本選項(xiàng)不符合題意；C、＝≠，故本選項(xiàng)不符合題意；D、＝＝，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能熟記分式的基本性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2019秋?潮州期末）如果把中的x與y都擴(kuò)大3倍，那么這個(gè)代數(shù)式的值（）A．?dāng)U大9倍 B．?dāng)U大3倍 C．不變 D．縮小到原來(lái)的【點(diǎn)撥】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．【解析】解：原式＝＝＝故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．（2019?拱墅區(qū)二模）下列變形正確的是（）A．＝ B． C． D．【點(diǎn)撥】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．【解析】解：（A）≠，故A錯(cuò)誤；（B）＝，故B錯(cuò)誤；（C）﹣1＝，故C錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．3．（2018春?瑞安市期末）根據(jù)分式基本性質(zhì)，將分式的分子、分母首項(xiàng)符號(hào)都會(huì)為“+”，則可變形為（）A． B． C． D．【點(diǎn)撥】利用分式的基本性質(zhì)變形化簡(jiǎn)得出答案．【解析】解：將分式的分子、分母首項(xiàng)符號(hào)都會(huì)為“+”，則可變形為：．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式的基本性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)分式是解題關(guān)鍵．4．（2018秋?黃巖區(qū)期末）下列各分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）A． B． C．、 D．【點(diǎn)撥】利用最簡(jiǎn)分式的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【解析】解：A、原式＝，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、原式＝，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、原式＝m+n，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、為最簡(jiǎn)分式，所以D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)分式：一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式時(shí)，叫最簡(jiǎn)分式．知識(shí)點(diǎn)三分式的乘除分式乘分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘?！镜淅?】（2019?海曙區(qū)一模）化簡(jiǎn)：．【點(diǎn)撥】根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案．【解析】解：原式＝?＝．【點(diǎn)睛】本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式訓(xùn)練】1．（2018春?金華期中）化簡(jiǎn)：＝；＝﹣x2y．【點(diǎn)撥】約分即可得；先因式分解、除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可得．【解析】解：＝，＝﹣x（y﹣x）?＝﹣x2y，故答案為：、﹣x2y．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的乘除法，解題的關(guān)鍵是掌握分式的約分和乘除運(yùn)算法則．2．化簡(jiǎn)：?．【點(diǎn)撥】先將分子分母因式分解，再約分．【解析】解：原式＝?＝?＝?＝a﹣b．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除法，熟悉因式分解是解題的關(guān)鍵．3．化簡(jiǎn)：（ab﹣b2）÷．【點(diǎn)撥】直接根據(jù)分式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：原式＝b（a﹣b）×＝b．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的乘除法，熟知分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘是解答此題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)四分式的加減及混合運(yùn)算1.同分母的分式相加減，分式的分母不變，把分子相加減。2.把分母不相同的幾個(gè)分式化為分母相同的分式，叫做通分。經(jīng)過(guò)通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減，然后按同分母分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算。3.通分時(shí)，一般取各分母的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各分母所有字母的最高次冪的積作為公分母?！镜淅?】（2019?海寧市二模）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中|x|≤1，且x為整數(shù)．小海同學(xué)的解法如下：解：原式＝﹣…①＝（x﹣1）2﹣x2+3…②＝x2﹣2x﹣1﹣x2+3…③＝﹣2x+2．…④當(dāng)x＝﹣1時(shí)，…⑤原式＝﹣2×（﹣1）+2…⑥＝2+2＝4．…⑦請(qǐng)指出他解答過(guò)程中的錯(cuò)誤（寫(xiě)出相應(yīng)的序號(hào)，多寫(xiě)不給分），并寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【點(diǎn)撥】第二步錯(cuò)誤，不能去分母，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程即可．【解析】解：第②步錯(cuò)誤，正確解答過(guò)程為：原式＝﹣＝﹣＝＝﹣，由|x|≤1，得到﹣1≤x≤1，即整數(shù)x＝﹣1，0，1，當(dāng)x＝0時(shí)，原式＝2．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020?柯橋區(qū)模擬）計(jì)算的結(jié)果是﹣1．【點(diǎn)撥】先變形為同分母分式的減法，再約分即可得．【解析】解：原式＝﹣＝＝＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的加減運(yùn)算法則和分式的基本性質(zhì)．2．（2019春?諸暨市期末）已知3x2﹣7x+3＝0，則＝．【點(diǎn)撥】由已知等式得出3x﹣7+＝0，即x+＝，再兩邊平方即可得出答案．【解析】解：∵3x2﹣7x+3＝0，∴3x﹣7+＝0，則x+＝，∴（x+）2＝，即+2＝，則＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．3．（2019?溫嶺市一模）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+）÷，請(qǐng)選擇一個(gè)有意義的x的值代入求值．【點(diǎn)撥】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將x＝3代入計(jì)算即可求出值．【解析】解：（1+）÷＝?＝，當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝＝2．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．4．（2019?金華模擬）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中﹣3≤a≤0，請(qǐng)選擇一個(gè)你喜歡的整數(shù)求值．【點(diǎn)撥】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再選取是分式有意義的a的值代入計(jì)算可得．【解析】解：原式＝?﹣＝﹣＝，∵a≠﹣1且a≠﹣2，a≠﹣3，∴取a＝0，則原式＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．5.（2020春?錫山區(qū)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a2+a﹣1＝0．【點(diǎn)撥】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，再由等式得出a2＝1﹣a，代入計(jì)算可得．【解析】解：原式＝[﹣]÷＝?＝，當(dāng)a2+a﹣1＝0時(shí)，a2＝1﹣a，則原式＝＝﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．鞏固訓(xùn)練1．（2019秋?蕭山區(qū)月考）若關(guān)于x的分式，當(dāng)x＝1時(shí)其值為0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)＞3 C．a(chǎn)＞0 D．a(chǎn)≠3【點(diǎn)撥】根據(jù)題意可得x﹣1＝0，且x2﹣4x+a≠0，再代入x＝1的值即可得到a的取值范圍．【解析】解：由題意得：x2﹣4x+a≠0，1﹣4+a≠0，解得：a≠3，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．2．（2018春?慈溪市期末）把分式的分子、分母的最高次項(xiàng)的系數(shù)都化為正數(shù)的結(jié)果為（）A．﹣ B． C． D．【點(diǎn)撥】根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【解析】解：分子分母都乘﹣1，得，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的性質(zhì)，利用分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2018春?拱墅區(qū)期末）下列分式中，最簡(jiǎn)分式是（）A．B．C． D．【點(diǎn)撥】最簡(jiǎn)分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無(wú)互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過(guò)符號(hào)變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．【解析】解：A、是最簡(jiǎn)分式；B、＝＝，此分式不是最簡(jiǎn)分式；C、＝＝，此分式不是最簡(jiǎn)分式；D、＝＝，此分式不是最簡(jiǎn)分式；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查最簡(jiǎn)分式問(wèn)題，分式的化簡(jiǎn)過(guò)程，首先要把分子分母分解因式，互為相反數(shù)的因式是比較易忽視的問(wèn)題．在解題中一定要引起注意．4．（2018秋?椒江區(qū)期末）下列分式中，最簡(jiǎn)分式是（）A．B．C． D．【點(diǎn)撥】最簡(jiǎn)分式的標(biāo)準(zhǔn)是分子，分母中不含有公因式，不能再約分．判斷的方法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無(wú)互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過(guò)符號(hào)變化化為相同的因式從而進(jìn)行約分．【解析】解：A、不符合最簡(jiǎn)分式，B、不符合最簡(jiǎn)分式，C、符合最簡(jiǎn)分式，D、不符合最簡(jiǎn)分式，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查最簡(jiǎn)分式問(wèn)題，分式的化簡(jiǎn)過(guò)程，首先要把分子分母分解因式，互為相反數(shù)的因式是比較易忽視的問(wèn)題．在解題中一定要引起注意．5．（2019春?樂(lè)清市期中）若﹣＝1，則分式的值是﹣2．【點(diǎn)撥】根據(jù)異分母分式加減法法則把原式變形，得到y(tǒng)﹣x＝xy，代入計(jì)算即可．【解析】解：﹣＝1，則＝1，∴y﹣x＝xy，∴＝﹣＝﹣＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的加減、分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．（2019?下城區(qū)二模）若多項(xiàng)式A滿足，A?（﹣a+1）＝a2﹣1，則A＝﹣a﹣1．【點(diǎn)撥】注意到a2﹣1滿足兩數(shù)的平方差，則可利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算【解析】解：∵a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），A?（﹣a+1）＝A?[﹣（a﹣1）]＝﹣A?（a﹣1）＝a2﹣1∴﹣A＝a+1，∴A＝﹣a﹣1故答案為：﹣a﹣1【點(diǎn)睛】此題主要考查平方差公式的逆運(yùn)算，同時(shí)考查利用平方差公式化簡(jiǎn)分式求值．7．（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）分式計(jì)算（1）（2）（3）；（4）【點(diǎn)撥】（1）直接約分即可得；（2）先因式分解、將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分即可得；（3）根據(jù)同分母分式加法法則計(jì)算可得；（4）先通分，再根據(jù)法則計(jì)算可得．【解析】解：（1）原式＝﹣；（2）原式＝b（a﹣b）?＝b；（3）原式＝＝＝＝2；（4）原式＝﹣+＝＝＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．8．（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知（1）求代數(shù)式A；（2）在0，1，2，3中選一個(gè)使題目有意義的數(shù)字代入求A的值．【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)分式的除法法則把原式化簡(jiǎn)，求出求代數(shù)式A；（2）根據(jù)分式有意義的條件選擇一個(gè)數(shù)，代入計(jì)算即可．