高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修一）：第19講 3.3冪函數(shù)（學(xué)生版）

第05講3.3冪函數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解冪函數(shù)的概念，會(huì)求冪函數(shù)的解析式；②掌握常見(jiàn)冪函數(shù)的圖像；③利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式大小。④利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式及待定參數(shù)的求解通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握冪函數(shù)的概念，能根據(jù)冪函數(shù)的要求求出冪函數(shù)的解析式，并能根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求待定參數(shù).知識(shí)點(diǎn)01一：冪函數(shù)的概念1、定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).2、冪函數(shù)的特征①中前的系數(shù)為“1”②中的底數(shù)是單個(gè)的自變量“”③中是常數(shù)【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】?jī)绾瘮?shù)滿(mǎn)足形式，故，滿(mǎn)足條件，共2個(gè)故選：B知識(shí)點(diǎn)02：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、五個(gè)冪函數(shù)的圖象(記憶五個(gè)冪函數(shù)的圖象）當(dāng)時(shí)，我們得到五個(gè)冪函數(shù)：；；；；2、五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)定義域值域奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減定點(diǎn)3、拓展：①，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；②，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減.【即學(xué)即練2】（江西省贛州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題）冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為_(kāi)_____.【答案】【詳解】由函數(shù)是冪函數(shù)，則，解得或；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，不合題意.故答案為：.題型01判斷函數(shù)是否為冪函數(shù)【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在函數(shù)①，②，③，④，，⑥中，是冪函數(shù)的是（

）A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【典例2】（2023秋·云南德宏·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是冪函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)題型02求冪函數(shù)的值【典例1】（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【典例2】（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________．【變式1】（2023秋·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）若是冪函數(shù)，且，則__________題型03求冪函數(shù)的解析式【典例1】（2023·浙江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是冪函數(shù)，且滿(mǎn)足：①；②在上單調(diào)遞增，請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù)___________.【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則函數(shù)解析式為_(kāi)________．【變式1】（2023秋·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)在第一象限單調(diào)遞減，則______.題型04根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)【典例1】（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．3 C．或3 D．1或【典例2】（2023·寧夏銀川·銀川一中校考二模）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．【變式1】（2023秋·陜西咸陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知冪函數(shù)滿(mǎn)足，則______.【變式2】（2023春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)__________.題型05求冪函數(shù)的定義域【典例1】（2023秋·浙江·高一校聯(lián)考期末）已知冪函數(shù)，則此函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)______．【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的定義域.題型06求冪函數(shù)的值域【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_______.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值域?yàn)開(kāi)___________．【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的值域是（

）A． B．C． D．題型07冪函數(shù)的圖象的判斷及應(yīng)用【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知冪函數(shù)（且與互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（

）

A．、均為奇數(shù)且 B．為奇數(shù)，為偶數(shù)且C．為奇數(shù)，為偶數(shù)且 D．為偶數(shù)，為奇數(shù)且【典例2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【變式1】（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的圖像大致為（

）A．B．C．D．題型08冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)______．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)__________．【變式1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)的圖像一定經(jīng)過(guò)第______象限題型09冪函數(shù)的單調(diào)性【典例1】（多選）（2023秋·重慶長(zhǎng)壽·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)：①，②，③，④，既是偶函數(shù)，又在上為增函數(shù)的是_________．【變式1】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．是減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【變式2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則__________.題型10冪函數(shù)的奇偶性【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則等于（

）A．1 B．2 C．1或2 D．3【典例2】（2023秋·山東棗莊·高一棗莊八中?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).(1)求的值;(2)若函數(shù)，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【變式1】（2023春·河北保定·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)，若冪函數(shù)定義域?yàn)镽，且其圖像關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng)，則的值可以為（

）A．1 B．4 C．7 D．10【變式2】（2023春·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件①和②的冪函數(shù)，條件：①是偶函數(shù)；②為上的減函數(shù)．則________．題型11根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【典例1】（2023秋·浙江杭州·高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，則的值為（

）A． B．1 C．3 D．1或【典例2】（2023春·四川廣安·高一?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實(shí)數(shù)的值．【變式1】（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┮阎瘮?shù)是冪函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【變式2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為_(kāi)_____．題型12根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式【典例1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）求不等式的解.【變式1】（2023·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是__________.【變式2】（2023秋·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)校考期末）若冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則滿(mǎn)足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．題型13根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【典例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，若，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)，；(2)，；(3)，，．【變式1】（2023春·遼寧鞍山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減2．（2023春·四川宜賓·高一?？茧A段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖北宜昌·高一校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B．C． D．4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，下列3個(gè)冪函數(shù)的圖象，則其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③6．（2023秋·安徽·高一校聯(lián)考期末）若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（

）A．3 B．1 C．或3 D．1或7．（2023秋·廣東湛江·高一雷州市第一中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，圖中的曲線(xiàn)是冪函數(shù)在第一象限的圖象，已知取，四個(gè)值，則相應(yīng)于，，，的依次為（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，8．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示是函數(shù)（均為正整數(shù)且互質(zhì)）的圖象，則（

）A．是奇數(shù)且B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且D．是奇數(shù)，且二、多選題9．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川二中?？计谀﹥绾瘮?shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．函數(shù)是偶函數(shù)C． D．函數(shù)的值域?yàn)?0．（2023春·山西忻州·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上為減函數(shù) D．在上為減函數(shù)三、填空題11．（2023秋·廣東肇慶·高一廣東肇慶中學(xué)?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)和，則實(shí)數(shù)m＝______.12．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為_(kāi)_________.四、解答題13．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.請(qǐng)從如下2個(gè)條件：①對(duì)任意的，都有；②對(duì)任意的，都有中任選1個(gè)作為已知條件，求解下列問(wèn)題.(1)求的解析式；(2)在（1）問(wèn)的條件下，當(dāng)時(shí)，求的值域.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）14．（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖