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文檔簡介
類比思維在微分學(xué)中的應(yīng)用獲獎科研報告摘
要:類比思想是人類發(fā)現(xiàn)新知識的重要源泉,是人們提高學(xué)習(xí)和生活效率的一種方法,是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的一種途徑。多元函數(shù)微分學(xué)教學(xué)中科學(xué)地應(yīng)用類比法,能夠使抽象、復(fù)雜的多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為比較形象、簡單的一元函數(shù),在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中起著十分重要的作用。下面我先梳理了各知識點(diǎn),然后對照起來作比較,最后把多元函數(shù)與一元函數(shù)對照起來做了一個總結(jié)。
關(guān)鍵詞:類比思維;多元函數(shù);隱函數(shù);一元函數(shù)
二元函數(shù)的定義:設(shè)x,y,z為三個變量,D為x0y坐標(biāo)面上的非空點(diǎn)集,若對任意的(x,y)∈D,變量Z均按照一定的法則f有唯一的值與之對應(yīng),則稱Z是X和Y的二元函數(shù),記作Z=f(x,y)。其中X和Y稱為自變量,點(diǎn)集D稱為函數(shù)Z=(x,y)的定義域,常記為Df;Z稱為因變量,函數(shù)值的集合Zf={z∣z=f(x,y),(x,y)∈Df}稱為函數(shù)Z=(x,y)的值域。
一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。函數(shù)連續(xù)不一定的函數(shù)可微,例:y=|x|函數(shù)連續(xù)不一定函數(shù)可導(dǎo),例:y=|x|當(dāng)x=0時y不可導(dǎo);函數(shù)可導(dǎo)不一定連續(xù);函數(shù)可導(dǎo)不一定可微;可導(dǎo)指的是偏導(dǎo)數(shù)存在,即沿x軸,y軸方向的導(dǎo)數(shù)存在(注意只有兩個方向),但是二元函數(shù)的連續(xù)性是從各個方向,以任何形式來取極限的,所以從這個方面來講,多元函數(shù)可導(dǎo)不一定能保證其連續(xù),如果是可微就可以推出連續(xù),因?yàn)榭晌⒕涂疾炝怂蟹较颉?/p>
關(guān)于偏導(dǎo)數(shù),在一元函數(shù)中,導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率。對于二元函數(shù)的“變化率”,由于自變量多了一個,情況就要復(fù)雜的多。x方向的偏導(dǎo):設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y),點(diǎn)(x0,y0)是其定義域D內(nèi)一點(diǎn)。把y固定在y0而讓x在x0有增量△x,相應(yīng)地函數(shù)z=f(x,y)有增量(稱為對x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。如果△z與△x之比當(dāng)△x→0時的極限存在,那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù),記作f'x(x0,y0)或函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù),實(shí)際上就是把y固定在y0看成常數(shù)后,一元函數(shù)z=f(x,y0)在x0處的導(dǎo)數(shù)。y方向的偏導(dǎo):同樣,把x固定在x0,讓y有增量△y,如果極限存在那么此極限稱為函數(shù)z=(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)。記作f'y(x0,y0)。
求法:當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導(dǎo)數(shù)f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時,我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導(dǎo)。如果函數(shù)f(x,y)在域D的每一點(diǎn)均可導(dǎo),那么稱函數(shù)f(x,y)在域D可導(dǎo)。此時,對應(yīng)于域D的每一點(diǎn)(x,y),必有一個對x(對y)的偏導(dǎo)數(shù),因而在域D確定了一個新的二元函數(shù),稱為f(x,y)對x(對y)的偏導(dǎo)函數(shù)。簡稱偏導(dǎo)數(shù)。按偏導(dǎo)數(shù)的定義,將多元函數(shù)關(guān)于一個自變量求偏導(dǎo)數(shù)時,就將其余的自變量看成常數(shù),此時他的求導(dǎo)方法與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法是一樣的。
多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則永遠(yuǎn)都是一樣的,就是鏈?zhǔn)椒▌t和基本求導(dǎo)公式。
而多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)就是求偏導(dǎo)的時候需要把別的參數(shù)看作常數(shù);而隱函數(shù)求導(dǎo)時,f(y)的導(dǎo)數(shù)為f'(y)·y'。
多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果函數(shù)u=φ(t)及ψ(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo),函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)z=f[φ(t),ψ(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算:。
隱函數(shù)的求導(dǎo)法則:對于一個已經(jīng)確定存在且可導(dǎo)的情況下,我們可以用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t來進(jìn)行求導(dǎo)。在方程左右兩邊都對x進(jìn)行求導(dǎo),由于y其實(shí)是x的一個函數(shù),所以可以直接得到帶有y'的一個方程,然后化簡得到y(tǒng)'的表達(dá)式。隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解一般有好幾種方法:方法①:先把隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù),再利用顯函數(shù)求導(dǎo)的方法求導(dǎo);方法②:隱函數(shù)左右兩邊對x求導(dǎo)(但要注意把y看作x的函數(shù));方法③:利用一階微分形式不變的性質(zhì)分別對x和y求導(dǎo),再通過移項(xiàng)求得的值;方法④:把n元隱函數(shù)看作(n+1)元函數(shù),通過多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的商求得n元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。舉個例子,若欲求z=f(x,y)的導(dǎo)數(shù),那么可以將原隱函數(shù)通過移項(xiàng)化為f(x,y,z)=0的形式,然后通過(式中F'y,F(xiàn)'x分別表示y和x對z的偏導(dǎo)數(shù))來求解。相對比多元復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,一元函數(shù)的求導(dǎo)比較簡單且方便,通常復(fù)雜的多元函數(shù)求導(dǎo)都是由一元函數(shù)求導(dǎo)一步步演變出來的。一元函數(shù)求導(dǎo)基本都是用[f(x)十g(x)]'=f'(x)十g'(x);[f(x)*g(x)]'=f'(x)*g(x)十f(x)*g'(x);[f(x)/g(x)]'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/g?(x)這幾個公式。
二元函數(shù)的必要條件:設(shè)函數(shù)Z=f(x,y)在點(diǎn)(Xo,Yo)處具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(Xo,Yo)處有極值,則fx(Xo,Yo)=0,fy(Xo,Yo)=0。與一元函數(shù)類似,某點(diǎn)處兩個偏導(dǎo)數(shù)等于0只是二元函數(shù)在該點(diǎn)取極值的必要條件,也就是說,偏導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn),但是二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。多元函數(shù)極值的充分條件:設(shè)函數(shù)Z=f(x,y)在點(diǎn)(Xo,Yo)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又fx(Xo,Yo)=0,fy(Xo,Yo)=0,令fxx(Xo,Yo)=A,fxy(Xo,Yo)=B,fyy(Xo,Yo)=C,則f(x,y)在(Xo,Yo)處是否取得極值的條件如下:①AC-B?>0時具有極值,且當(dāng)A0時有極小值;②AC-B?0或者<0,多元函數(shù)的充要條件也是很知類似的對一階和二階導(dǎo)數(shù)道進(jìn)行判定,只不過多元函數(shù)而言,一階導(dǎo)數(shù)是一個向量,由函數(shù)對各個分量進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)得到的。對于多元函數(shù)求極值,一元函數(shù)求極值更為簡單,通常也有好幾種方法可以求出來,通常方法為首先求出函數(shù)的極值,函數(shù)定義域的邊界點(diǎn)的函數(shù)值、極值點(diǎn)不可微點(diǎn)的函數(shù)值,然后比較這些值的大小,以確定最大值,最小值。為了簡便起見,可以不求極值,只解方程f′(x)=0,解出的根xi是可能的極值點(diǎn),把f(xi)與邊界點(diǎn)函數(shù)值及不可微點(diǎn)函數(shù)值一同比較以確定最值。對于一元函數(shù)而言,還可以用通過其他方法:①求出函數(shù)的值域確定最值.例如,設(shè)y=f
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