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第九章歐氏空間練習(xí)題一、填空題1．設(shè)是一個(gè)歐氏空間，，若對(duì)任意都有，則＝_________．2．在歐氏空間中，向量，，那么＝_________，＝_________．3．在維歐氏空間中，向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)是，那么＝_________，＝_________．4．兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充要條件是__________________．5．已知是一個(gè)正交矩陣，那么＝_________，＝_________．6、已知三維歐式空間中有一組基，其度量矩陣為，則向量的長(zhǎng)度為。7．設(shè)，若與正交，則．8、設(shè)在此內(nèi)積之下的度量矩陣為。9、設(shè)為歐氏空間，則有柯西-施瓦茨不等式：。二、判斷題1．在實(shí)線性空間中，對(duì)于向量，定義，那么構(gòu)成歐氏空間。()2．在維實(shí)線性空間中，對(duì)于向量，定義，則構(gòu)成歐氏空間。()3．是維歐氏空間的一組基，與分別是V中的向量在這組基下的坐標(biāo)，則。()5．是維歐氏空間的一組基，矩陣，其中，則A是正定矩陣。()6．設(shè)是一個(gè)歐氏空間，，并且，則與正交。()7．設(shè)是一個(gè)歐氏空間，,并且，則線性無(wú)關(guān)。()8．若都是歐氏空間的對(duì)稱變換，則也是對(duì)稱變換。()三、計(jì)算題1．把向量組，擴(kuò)充成中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.2．求正交矩陣，使成對(duì)角形。3．在中，對(duì)任意向量，，定義（1）證明：作成歐氏空間．（2）寫(xiě)出這個(gè)歐氏空間的柯西—布涅珂夫斯基不等式．四、證明題1．設(shè)，為同級(jí)正交矩陣，且，證明：．2．設(shè)為半正定矩陣，且，證明：．3．證明：維歐氏空間與同構(gòu)的充要條件是，存在雙射，并且有。4．A為階實(shí)對(duì)稱矩陣，且．證明：存在正交矩陣U，使其中為A的正特征值的個(gè)數(shù)．5．設(shè)為維歐氏空間V的一組基．證明：這組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基的充分必要條件是，對(duì)V中任意向量都有.6、設(shè)是3維

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